Álgebra geométrica

En matemáticas , un álgebra geométrica (también conocida como álgebra de Clifford ) es un álgebra que puede representar y manipular objetos geométricos como vectores . El álgebra geométrica se construye a partir de dos operaciones fundamentales, la suma y el producto geométrico. La multiplicación de vectores da como resultado objetos de dimensiones superiores llamados multivectores . En comparación con otros formalismos para manipular objetos geométricos, el álgebra geométrica es notable por admitir la división de vectores (aunque generalmente no por todos los elementos) y la suma de objetos de diferentes dimensiones.

El producto geométrico fue mencionado brevemente por primera vez por Hermann Grassmann , ^[1] quien estaba principalmente interesado en desarrollar el álgebra exterior estrechamente relacionada . En 1878, William Kingdon Clifford amplió en gran medida el trabajo de Grassmann para formar lo que ahora se denominan habitualmente álgebras de Clifford en su honor (aunque el propio Clifford eligió llamarlas "álgebras geométricas"). Clifford definió el álgebra de Clifford y su producto como una unificación del álgebra de Grassmann y el álgebra de cuaterniones de Hamilton . Agregar el dual del producto exterior de Grassmann (el "encuentro") permite el uso del álgebra de Grassmann-Cayley , y una versión conforme de esta última junto con un álgebra conforme de Clifford produce un álgebra geométrica conforme (CGA) que proporciona un marco para las geometrías clásicas . ^[2] En la práctica, estas y varias operaciones derivadas permiten una correspondencia de elementos, subespacios y operaciones del álgebra con interpretaciones geométricas. Durante varias décadas, las álgebras geométricas fueron ignoradas, eclipsadas en gran medida por el cálculo vectorial , recién desarrollado para describir el electromagnetismo. El término "álgebra geométrica" ​​fue popularizado nuevamente en la década de 1960 por David Hestenes , quien defendió su importancia para la física relativista. ^[3]

Los escalares y vectores tienen su interpretación habitual y forman subespacios distintos de un álgebra geométrica. Los bivectores proporcionan una representación más natural de las cantidades pseudovectoriales del cálculo vectorial 3D que se derivan como un producto vectorial , como el área orientada, el ángulo de rotación orientado, el par, el momento angular y el campo magnético . Un trivector puede representar un volumen orientado, etc. Se puede utilizar un elemento llamado cuchilla para representar un subespacio y proyecciones ortogonales sobre ese subespacio. Las rotaciones y las reflexiones se representan como elementos. A diferencia de un álgebra vectorial, un álgebra geométrica acomoda naturalmente cualquier número de dimensiones y cualquier forma cuadrática, como en la relatividad .

Ejemplos de álgebras geométricas aplicadas en física incluyen el álgebra del espacio-tiempo (y el álgebra menos común del espacio físico ) y el álgebra geométrica conforme . El cálculo geométrico , una extensión del AG que incorpora diferenciación e integración , se puede utilizar para formular otras teorías como el análisis complejo y la geometría diferencial , por ejemplo, utilizando el álgebra de Clifford en lugar de formas diferenciales . El álgebra geométrica ha sido defendida, sobre todo por David Hestenes ^[4] y Chris Doran ^[5] , como el marco matemático preferido para la física . Los defensores afirman que proporciona descripciones compactas e intuitivas en muchas áreas, incluidas la mecánica clásica y cuántica , la teoría electromagnética y la relatividad . ^[6] El AG también ha encontrado uso como herramienta computacional en gráficos de computadora ^[7] y robótica .

Hay varias formas diferentes de definir un álgebra geométrica. El enfoque original de Hestenes era axiomático, ^[8] "lleno de significado geométrico" y equivalente al álgebra universal ^{[a] de Clifford. [9]} Dado un espacio vectorial de dimensión finita ⁠ ⁠${\estilo de visualización V}$ sobre un cuerpo ⁠ ⁠${\estilo de visualización F}$ con una forma bilineal simétrica (el producto interno , ^[b] por ejemplo, la métrica euclidiana o lorentziana ) ⁠ ⁠${\displaystyle g:V\times V\to F}$ , el álgebra geométrica del espacio cuadrático ⁠ ⁠${\displaystyle (V,g)}$ es el álgebra de Clifford ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ , un elemento del cual se llama multivector. El álgebra de Clifford se define comúnmente como un álgebra cociente del álgebra tensorial , aunque esta definición es abstracta, por lo que la siguiente definición se presenta sin requerir álgebra abstracta .

Definición

Un álgebra asociativa unitaria con una${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ forma bilineal simétrica no degenerada es el álgebra de ${\displaystyle g:V\times V\to F}$Clifford del espacio cuadrático si${\displaystyle (V,g)}$ [ ^10]

• contiene ⁠ ⁠${\displaystyle F}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle V}$ como subespacios distintos
• ⁠ ⁠${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$ para ⁠ ⁠${\displaystyle a\in V}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle V}$ genera ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ como un álgebra
• ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ no es generado por ningún subespacio propio de ⁠ ⁠${\displaystyle V}$ .

Para cubrir formas bilineales simétricas degeneradas, se debe modificar la última condición. ^[c] Se puede demostrar que estas condiciones caracterizan de manera única al producto geométrico.

En el resto de este artículo, solo se considerará el caso real , ⁠ ⁠ . La notación ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ (respectivamente ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q,r)}$ ) se utilizará para denotar un álgebra geométrica para la cual la forma bilineal ⁠ ⁠${\displaystyle g}$ tiene la signatura ⁠ ⁠${\displaystyle (p,q)}$ (respectivamente ⁠ ⁠${\displaystyle (p,q,r)}$ ).

El producto en el álgebra se llama producto geométrico , y el producto en el álgebra exterior contenida se llama producto exterior (frecuentemente llamado producto cuña o producto externo ^[d] ). Es estándar denotar estos respectivamente por yuxtaposición (es decir, suprimiendo cualquier símbolo de multiplicación explícito) y el símbolo ⁠ ⁠${\displaystyle \wedge }$ .

La definición anterior del álgebra geométrica es todavía algo abstracta, por lo que resumiremos aquí las propiedades del producto geométrico. Para multivectores :${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)}$

• ⁠ ⁠${\displaystyle AB\in {\mathcal {G}}(p,q)}$ ( cierre )
• ⁠ ⁠${\displaystyle 1A=A1=A}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ es el elemento identidad (existencia de un elemento identidad )
• ⁠ ⁠${\displaystyle A(BC)=(AB)C}$ ( asociatividad )
• ⁠ ⁠${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle (B+C)A=BA+CA}$ ( distributividad )
• ⁠ ⁠${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$ para ⁠ ⁠${\displaystyle a\in V}$ .

El producto exterior tiene las mismas propiedades, excepto que la última propiedad anterior se reemplaza por ⁠ ⁠${\displaystyle a\wedge a=0}$ por ⁠ ⁠${\displaystyle a\in V}$ .

Nótese que en la última propiedad anterior, el número real ⁠ ⁠${\displaystyle g(a,a)}$ no necesita ser no negativo si ⁠ ⁠${\displaystyle g}$ no es positivo-definido. Una propiedad importante del producto geométrico es la existencia de elementos que tienen un inverso multiplicativo. Para un vector ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , si entonces existe y es igual a ⁠ ⁠ . Un elemento distinto de cero del álgebra no necesariamente tiene un inverso multiplicativo. Por ejemplo, si es un vector en tal que ⁠ ⁠ , el elemento es tanto un elemento idempotente no trivial como un divisor de cero distinto de cero , y por lo tanto no tiene inverso. ^[e]${\displaystyle a^{2}\neq 0}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle g(a,a)^{-1}a}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u^{2}=1}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}$

Es habitual identificar y con sus imágenes bajo las incrustaciones naturales y ⁠ ⁠ . En este artículo, se asume esta identificación. En todo momento, los términos escalar y vector se refieren a elementos de y respectivamente (y de sus imágenes bajo esta incrustación).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle V\to {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$

Interpretación geométrica de elementos de grado en un álgebra exterior real para (punto con signo), ( segmento de línea dirigido o vector), (elemento de plano orientado), (volumen orientado). El producto exterior de vectores se puede visualizar como cualquier forma dimensional (por ejemplo , - paralelepípedo, - elipsoide ) ; con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definidas por la de su límite dimensional y en qué lado está el interior. ^[14] [ ^15]${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

Para los vectores ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ , podemos escribir el producto geométrico de dos vectores cualesquiera ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ como la suma de un producto simétrico y un producto antisimétrico:

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba).}$

Así podemos definir el producto interno de los vectores como

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

de modo que el producto simétrico se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b.}$

Por el contrario, ⁠ ⁠${\displaystyle g}$ está completamente determinado por el álgebra. La parte antisimétrica es el producto exterior de los dos vectores, el producto del álgebra exterior contenida :

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a).}$

Luego por simple adición:

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$la forma no generalizada o vectorial del producto geométrico.

Los productos internos y externos están asociados con conceptos familiares del álgebra vectorial estándar. Geométricamente, y son paralelos si su producto geométrico es igual a su producto interno, mientras que y son perpendiculares si su producto geométrico es igual a su producto externo. En un álgebra geométrica para la cual el cuadrado de cualquier vector distinto de cero es positivo, el producto interno de dos vectores puede identificarse con el producto escalar del álgebra vectorial estándar. El producto externo de dos vectores puede identificarse con el área con signo encerrada por un paralelogramo cuyos lados son los vectores. El producto vectorial de dos vectores en dimensiones con forma cuadrática definida positiva está estrechamente relacionado con su producto externo.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 3}$

La mayoría de los casos de álgebras geométricas de interés tienen una forma cuadrática no degenerada. Si la forma cuadrática es completamente degenerada , el producto interno de dos vectores cualesquiera siempre es cero, y el álgebra geométrica es entonces simplemente un álgebra exterior. A menos que se indique lo contrario, este artículo tratará únicamente álgebras geométricas no degeneradas.

El producto exterior se extiende naturalmente como un operador binario bilineal asociativo entre dos elementos cualesquiera del álgebra, satisfaciendo las identidades

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

donde la suma es sobre todas las permutaciones de los índices, con el signo de la permutación , y son vectores (no elementos generales del álgebra). Como cada elemento del álgebra puede expresarse como la suma de productos de esta forma, esto define el producto exterior para cada par de elementos del álgebra. De la definición se deduce que el producto exterior forma un álgebra alternada .${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$${\displaystyle a_{i}}$

La ecuación de estructura equivalente para el álgebra de Clifford es ^{[16] [17]}

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}\operatorname {Pf} (a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

donde es el Pfaffian de ⁠ ⁠ y proporciona combinaciones , ⁠ ⁠ , de ⁠ ⁠ índices divididos en ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ partes y ⁠ ⁠ es la paridad de la combinación .${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$${\displaystyle A}$${\textstyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2i}$${\displaystyle n-2i}$${\displaystyle k}$

El Pfaffian proporciona una métrica para el álgebra exterior y, como señaló Claude Chevalley, el álgebra de Clifford se reduce al álgebra exterior con una forma cuadrática cero. ^[18] El papel que juega el Pfaffian se puede entender desde un punto de vista geométrico desarrollando el álgebra de Clifford a partir de los símplices . ^[19] Esta derivación proporciona una mejor conexión entre el triángulo de Pascal y los símplices porque proporciona una interpretación de la primera columna de unos.

Un multivector que es el producto exterior de vectores linealmente independientes se llama cuchilla , y se dice que es de grado ⁠ ⁠ . ^[f] Un multivector que es la suma de cuchillas de grado se llama multivector (homogéneo) de grado ⁠ ⁠ . A partir de los axiomas, con clausura, todo multivector del álgebra geométrica es una suma de cuchillas.${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Consideremos un conjunto de vectores linealmente independientes que abarcan un subespacio ⁠ ⁠ -dimensional del espacio vectorial. Con ellos, podemos definir una matriz simétrica real (de la misma manera que una matriz de Gram ).${\displaystyle r}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

Por el teorema espectral , se puede diagonalizar a una matriz diagonal mediante una matriz ortogonal mediante${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {O} }$

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

Definir un nuevo conjunto de vectores , conocidos${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$ como vectores base ortogonales, que serán aquellos transformados por la matriz ortogonal:

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

Como las transformaciones ortogonales conservan los productos internos, se deduce que y, por lo tanto, son perpendiculares. En otras palabras, el producto geométrico de dos vectores distintos está completamente especificado por su producto exterior o, de manera más general,${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

Por lo tanto, cada hoja de grado puede escribirse como el producto exterior de vectores. De manera más general, si se permite un álgebra geométrica degenerada, entonces la matriz ortogonal se reemplaza por una matriz de bloques que es ortogonal en el bloque no degenerado, y la matriz diagonal tiene entradas de valor cero a lo largo de las dimensiones degeneradas. Si los nuevos vectores del subespacio no degenerado se normalizan de acuerdo con${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\widehat {e_{i}}}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

entonces estos vectores normalizados deben elevar al cuadrado a o ⁠ ⁠ . Por la ley de inercia de Sylvester , el número total de ⁠ ⁠ y el número total de ⁠ ⁠ a lo largo de la matriz diagonal es invariante. Por extensión, el número total de estos vectores que elevan al cuadrado a y el número total que elevan al cuadrado a es invariante. (El número total de vectores base que elevan al cuadrado a cero también es invariante, y puede ser distinto de cero si se permite el caso degenerado). Denotamos esta álgebra ⁠ ⁠ . Por ejemplo, modela el espacio euclidiano tridimensional , el espacio-tiempo relativista y un álgebra geométrica conforme de un espacio tridimensional.${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

El conjunto de todos los productos posibles de vectores base ortogonales con índices en orden creciente, incluido el producto vacío, forma una base para toda el álgebra geométrica (un análogo del teorema PBW ). Por ejemplo, la siguiente es una base para el álgebra geométrica ⁠ ⁠ :${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

Una base formada de esta manera se denomina base estándar para el álgebra geométrica, y cualquier otra base ortogonal para producirá otra base estándar. Cada base estándar consta de elementos. Cada multivector del álgebra geométrica se puede expresar como una combinación lineal de los elementos de la base estándar. Si los elementos de la base estándar son un conjunto de índices, entonces el producto geométrico de dos multivectores cualesquiera es${\displaystyle V}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

La terminología " -vector" se utiliza a menudo para describir multivectores que contienen elementos de un solo grado. En el espacio de dimensiones superiores, algunos de estos multivectores no son cuchillas (no se pueden factorizar en el producto exterior de vectores). A modo de ejemplo, en no se puede factorizar ; sin embargo, normalmente, estos elementos del álgebra no se prestan a la interpretación geométrica como objetos, aunque pueden representar cantidades geométricas como rotaciones. Solo los - , - , - y -vectores son siempre cuchillas en el -espacio .${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Un ⁠ ⁠${\displaystyle k}$ -versor es un multivector que puede expresarse como el producto geométrico de vectores invertibles. ^{[g] [21]} Los cuaterniones unitarios (originalmente llamados versores por Hamilton) pueden identificarse con rotores en el espacio 3D de la misma manera que los rotores 2D reales subsumen números complejos; para los detalles, consulte a Dorst. ^[22]${\displaystyle k}$

Algunos autores utilizan el término "producto versor" para referirse al caso frecuente en el que un operando está "emparedado" entre operadores. Las descripciones de rotaciones y reflexiones, incluidos sus morfismos externos, son ejemplos de este tipo de emparedado. Estos morfismos externos tienen una forma algebraica particularmente simple. ^[h] En concreto, una aplicación de vectores de la forma

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$se extiende al morfismo externo${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

Dado que tanto los operadores como el operando son versores, existe la posibilidad de ejemplos alternativos, como rotar un rotor o reflejar un espinor, siempre que se pueda atribuir algún significado geométrico o físico a dichas operaciones.

Por el teorema de Cartan-Dieudonné tenemos que toda isometría puede darse como reflexiones en hiperplanos y como las reflexiones compuestas proporcionan rotaciones entonces tenemos que las transformaciones ortogonales son versores.

En términos de grupo, para un ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ real, no degenerado , habiendo identificado el grupo como el grupo de todos los elementos invertibles de ⁠ ⁠ , Lundholm da una prueba de que el "grupo versor" (el conjunto de versores invertibles) es igual al grupo de Lipschitz ( también conocido como grupo de Clifford, aunque Lundholm desaprueba este uso). ^[23]${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in {\mathcal {G}}\mid v_{i}\in V^{\times }\}}$${\displaystyle \Gamma }$

Denotamos la involución de grado como ⁠ ⁠${\displaystyle {\widehat {S}}}$ y la reversión como ⁠ ⁠${\displaystyle {\widetilde {S}}}$ .

Aunque el grupo de Lipschitz (definido como ⁠ ⁠${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$ ) y el grupo versor (definido como ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \{\prod _{i=0}^{k}v_{i}\mid v_{i}\in V^{\times },k\in \mathbb {N} \}}$ ) tienen definiciones divergentes, son el mismo grupo. Lundholm define los subgrupos ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Pin} }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spin} }$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$ del grupo de Lipschitz. ^[24]

Subgrupo	Definición	Término GA
${\displaystyle \Gamma }$	${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$	Versores
${\displaystyle \operatorname {Pin} }$	${\displaystyle \{S\in \Gamma \mid S{\widetilde {S}}=\pm 1\}}$	Versores de unidad
${\displaystyle \operatorname {Spin} }$	${\displaystyle {\operatorname {Pin} }\cap {\mathcal {G}}^{[0]}}$	Versores de unidad uniforme
${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$	${\displaystyle \{S\in \operatorname {Spin} \mid S{\widetilde {S}}=1\}}$	Rotores

Múltiples análisis de espinores utilizan AG como representación. ^[25]

Se puede establecer una estructura de espacio vectorial graduado en un álgebra geométrica${\displaystyle \mathbb {Z} }$ mediante el uso del producto exterior que es naturalmente inducido por el producto geométrico.

Dado que el producto geométrico y el producto exterior son iguales en los vectores ortogonales, esta clasificación se puede construir convenientemente utilizando una base ortogonal .${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Los elementos del álgebra geométrica que son múltiplos escalares de son de grado y se llaman escalares . Los elementos que están en el lapso de son de grado ⁠ ⁠ y son los vectores ordinarios. Los elementos en el lapso de son de grado y son los bivectores. Esta terminología continúa hasta el último grado de ⁠ ⁠ -vectores. Alternativamente, ⁠ ⁠ -vectores se llaman pseudoescalares , ⁠ ⁠ -vectores se llaman pseudovectores, etc. Muchos de los elementos del álgebra no se califican mediante este esquema ya que son sumas de elementos de diferente grado. Se dice que dichos elementos son de grado mixto . La calificación de multivectores es independiente de la base elegida originalmente.${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

Esta es una gradación como espacio vectorial, pero no como álgebra. Debido a que el producto de una ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ -cuchilla y una ⁠ ⁠${\displaystyle s}$ -cuchilla está contenido en el espacio de ⁠ ⁠ -cuchillas , el álgebra geométrica es un álgebra filtrada .${\displaystyle 0}$${\displaystyle r+s}$

Un multivector se puede descomponer con el operador de proyección de grado ⁠ ⁠ , que genera la porción de grado de ⁠ ⁠ . Como resultado:${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

A modo de ejemplo, el producto geométrico de dos vectores ya que y y ⁠ ⁠ , para otros que y ⁠ ⁠ .${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$

Un multivector también puede descomponerse en componentes par e impar, que pueden expresarse respectivamente como la suma de los componentes de grado par y de grado impar anteriores:${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{[0]}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{[1]}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

Este es el resultado de olvidar la estructura de un espacio vectorial graduado a un${\displaystyle \mathrm {Z} }$ espacio vectorial graduado . El producto geométrico respeta esta gradación más gruesa . Por lo tanto , además de ser un espacio vectorial graduado , el álgebra geométrica es un álgebra graduada , también conocida como superálgebra .${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Restringiéndonos a la parte par, el producto de dos elementos pares también es par. Esto significa que los multivectores pares definen una subálgebra par . La subálgebra par de un álgebra geométrica de dimensión ⁠ ⁠ es ${\displaystyle n}$isomorfa (sin preservar ni la filtración ni la gradación) a un álgebra geométrica completa de dimensiones. Algunos ejemplos incluyen y ⁠ ⁠ .${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$

El álgebra geométrica representa los subespacios de como aspas, y por eso coexisten en la misma álgebra con vectores de ⁠ ⁠ . Un subespacio ⁠ ⁠ -dimensional de se representa tomando una base ortogonal y usando el producto geométrico para formar la aspa ⁠ ⁠ . Hay múltiples aspas que representan ⁠ ⁠ ; todas las que representan son múltiplos escalares de ⁠ ⁠ . Estas aspas se pueden separar en dos conjuntos: múltiplos positivos de y múltiplos negativos de ⁠ ⁠ . Se dice que los múltiplos positivos de tienen la misma orientación que ⁠ ⁠ , y los múltiplos negativos la orientación opuesta .${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$ ${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

Las hojas son importantes ya que las operaciones geométricas como proyecciones, rotaciones y reflexiones dependen de la factorabilidad a través del producto exterior que (la clase restringida de) ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -hojas proporcionan pero que (la clase generalizada de) ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ multivectores de grado no proporcionan cuando ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 4}$ .

Los pseudoescalares unitarios son cuchillas que desempeñan papeles importantes en GA. Un pseudoescalar unitario para un subespacio no degenerado de es una cuchilla que es el producto de los miembros de una base ortonormal para ⁠ ⁠ . Se puede demostrar que si y son ambos pseudoescalares unitarios para ⁠ ⁠ , entonces y ⁠ ⁠ . Si uno no elige una base ortonormal para ⁠ ⁠ , entonces la incrustación de Plücker da un vector en el álgebra exterior pero solo hasta la escala. Usando el isomorfismo del espacio vectorial entre el álgebra geométrica y el álgebra exterior, esto da la clase de equivalencia de para todo ⁠ ⁠ . La ortonormalidad elimina esta ambigüedad excepto por los signos anteriores.${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I'}$${\displaystyle W}$${\displaystyle I=\pm I'}$${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \alpha I}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$

Supongamos que se forma el álgebra geométrica con el conocido producto interno definido positivo en . Dado un plano (subespacio bidimensional) de  ⁠ ⁠ , se puede encontrar una base ortonormal que abarca el plano, y así encontrar un pseudoescalar unitario que represente este plano. El producto geométrico de dos vectores cualesquiera en el espacio de y se encuentra en ⁠ ⁠ , es decir, es la suma de un ⁠ ⁠ -vector y un ⁠ ⁠ -vector.${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$

Por las propiedades del producto geométrico, ⁠ ⁠${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$ . La semejanza con la unidad imaginaria no es incidental: el subespacio es ⁠ ⁠ -álgebra isomorfa a los números complejos . De esta manera, una copia de los números complejos está incrustada en el álgebra geométrica para cada subespacio bidimensional de en el que la forma cuadrática está definida.${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$

A veces es posible identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Dichas unidades surgen de una de las muchas cantidades del álgebra real que se elevan al cuadrado a ⁠ ⁠${\displaystyle -1}$ , y tienen importancia geométrica debido a las propiedades del álgebra y la interacción de sus diversos subespacios.

En ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ , se produce otro caso familiar. Dada una base estándar que consiste en vectores ortonormales de ⁠ ⁠ , el conjunto de todos los ⁠ ⁠ -vectores está abarcado por${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

Al etiquetarlos como ⁠ ⁠${\displaystyle i}$ , y (desviándonos momentáneamente de nuestra convención de mayúsculas), el subespacio generado por ⁠ ⁠ -vectores y ⁠ ⁠ -vectores es exactamente ⁠ ⁠ . Se ve que este conjunto es la subálgebra par de ⁠ ⁠ , y además es isomorfo como ⁠ ⁠ -álgebra a los cuaterniones , otro sistema algebraico importante.${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Es una práctica común extender el producto exterior de los vectores a toda el álgebra. Esto se puede hacer mediante el uso del operador de proyección de grados mencionado anteriormente:

${\displaystyle C\wedge D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$     (el producto exterior )

Esta generalización es coherente con la definición anterior que implica antisimetrización. Otra generalización relacionada con el producto exterior es el producto conmutador:

${\displaystyle C\times D:={\tfrac {1}{2}}(CD-DC)}$     (el producto del conmutador )

El producto regresivo es el dual del producto exterior (que corresponde respectivamente a "encuentro" y "unión" en este contexto). ^[i] La especificación dual de elementos permite, para las hojas ⁠ ⁠${\displaystyle C}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle D}$ , la intersección (o encuentro) donde se debe tomar la dualidad en relación con una hoja que contiene tanto a ⁠ ⁠${\displaystyle C}$ como a ⁠ ⁠${\displaystyle D}$ (la hoja más pequeña de este tipo es la unión). ^[27]

${\displaystyle C\vee D:=((CI^{-1})\wedge (DI^{-1}))I}$

con la unidad pseudoescalar${\displaystyle I}$ del álgebra. El producto regresivo, como el producto exterior, es asociativo. ^[28]

El producto interno de vectores también se puede generalizar, pero de más de una forma no equivalente. El artículo (Dorst 2002) ofrece un tratamiento completo de varios productos internos diferentes desarrollados para álgebras geométricas y sus interrelaciones, y la notación se toma de allí. Muchos autores utilizan el mismo símbolo que para el producto interno de vectores para su extensión elegida (por ejemplo, Hestenes y Perwass). No ha surgido una notación consistente.

Entre estas diferentes generalizaciones del producto interno sobre vectores se encuentran:

${\displaystyle C\;\rfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$   (la contracción de la izquierda )

${\displaystyle C\;\lfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$   (la contracción correcta )

${\displaystyle C*D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{0}}$   (el producto escalar )

${\displaystyle C\bullet D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$   (el producto "punto (gordo)") ^[j]

Dorst (2002) argumenta que es preferible utilizar contracciones en lugar del producto interno de Hestenes; son algebraicamente más regulares y tienen interpretaciones geométricas más claras. Varias identidades que incorporan las contracciones son válidas sin restricción de sus entradas. Por ejemplo,

${\displaystyle C\;\rfloor \;D=(C\wedge (DI^{-1}))I}$

${\displaystyle C\;\lfloor \;D=I((I^{-1}C)\wedge D)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\;\rfloor \;C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\;\lfloor \;B)*A}$

${\displaystyle A\;\rfloor \;(B\;\rfloor \;C)=(A\wedge B)\;\rfloor \;C}$

${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\lfloor \;C=A\;\rfloor \;(B\;\lfloor \;C).}$

Los beneficios de usar la contracción por la izquierda como una extensión del producto interno en vectores incluyen que la identidad se extiende a para cualquier vector y multivector ⁠ ⁠ , y que la operación de proyección se extiende a para cualquier hoja y cualquier multivector (con una modificación menor para acomodar nulo ⁠ ⁠ , que se muestra a continuación).${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{-1})\;\rfloor \;B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Sea una base de ⁠ ⁠ , es decir, un conjunto de vectores linealmente independientes que abarcan el espacio vectorial de dimensión ⁠ ⁠ . La base que es dual a es el conjunto de elementos del espacio vectorial dual que forma un sistema biortogonal con esta base, siendo así que los elementos denotados satisfacen${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ?${\displaystyle \delta }$

Dada una forma cuadrática no degenerada en ⁠ ⁠${\displaystyle V}$ , se identifica naturalmente con ⁠ ⁠ , y la base dual puede considerarse como elementos de ⁠ ⁠ , pero en general no son el mismo conjunto que la base original.${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Dado además un GA de ⁠ ⁠${\displaystyle V}$ , sea

${\displaystyle I=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

sea ​​el pseudoescalar (que no necesariamente es cuadrado de ⁠ ⁠${\displaystyle \pm 1}$ ) formado a partir de la base ⁠ ⁠${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ . Los vectores de base duales pueden construirse como

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})I^{-1},}$

donde denota que el ⁠ ⁠ ésimo vector base se omite del producto.${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$${\displaystyle i}$

Una base dual también se conoce como base recíproca o marco recíproco.

Un uso importante de una base dual es separar vectores en componentes. Dado un vector , los${\displaystyle a}$ componentes escalares se pueden definir como${\displaystyle a^{i}}$

${\displaystyle a^{i}=a\cdot e^{i}\ ,}$

en términos de los cuales se pueden separar en componentes vectoriales como${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a^{i}e_{i}\ .}$

También podemos definir componentes escalares como${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle a_{i}=a\cdot e_{i}\ ,}$

en términos de los cuales se pueden separar en componentes vectoriales en términos de la base dual como${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e^{i}\ .}$

Una base dual como la definida anteriormente para el subespacio vectorial de un álgebra geométrica se puede extender para cubrir todo el álgebra. ^[29] Para que sea más compacto, usaremos una sola letra mayúscula para representar un conjunto ordenado de índices vectoriales. Es decir, escribir

${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{n})\ ,}$

donde ⁠ ⁠${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{n}}$ , podemos escribir una hoja base como

${\displaystyle e_{J}=e_{j_{1}}\wedge e_{j_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n}}\ .}$

La hoja recíproca correspondiente tiene los índices en orden opuesto:

${\displaystyle e^{J}=e^{j_{n}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{2}}\wedge e^{j_{1}}\ .}$

De manera similar al caso anterior con los vectores, se puede demostrar que

${\displaystyle e^{J}*e_{K}=\delta _{K}^{J}\ ,}$

¿Dónde está el producto escalar?${\displaystyle *}$

Con un multivector, podemos definir componentes escalares como ^[30]${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{ij\cdots k}=(e^{k}\wedge \cdots \wedge e^{j}\wedge e^{i})*A\ ,}$

en términos de los cuales se pueden separar en cuchillas componentes como${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A^{ij\cdots k}e_{i}\wedge e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{k}\ .}$

Alternativamente podemos definir componentes escalares

${\displaystyle A_{ij\cdots k}=(e_{k}\wedge \cdots \wedge e_{j}\wedge e_{i})*A\ ,}$

en términos de los cuales se pueden separar en cuchillas componentes como${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A_{ij\cdots k}e^{i}\wedge e^{j}\wedge \cdots \wedge e^{k}\ .}$

Aunque es más fácil trabajar con un versor porque se puede representar directamente en el álgebra como un multivector, los versores son un subgrupo de funciones lineales sobre multivectores, que aún se pueden usar cuando sea necesario. El álgebra geométrica de un espacio vectorial ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -dimensional está abarcado por una base de elementos. Si un multivector se representa por una matriz columna real de coeficientes de una base del álgebra, entonces todas las transformaciones lineales del multivector se pueden expresar como la multiplicación de matrices por una matriz real. Sin embargo, una transformación lineal tan general permite intercambios arbitrarios entre grados, como una "rotación" de un escalar en un vector, que no tiene una interpretación geométrica evidente.${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}\times 1}$${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$

Es de interés una transformación lineal general de vectores a vectores. Con la restricción natural de preservar el álgebra exterior inducida, el externalmorfismo de la transformación lineal es la única extensión ^[k] del versor. Si es una función lineal que asigna vectores a vectores, entonces su externalmorfismo es la función que obedece la regla${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

para una cuchilla, extendida a todo el álgebra a través de la linealidad.

Aunque se ha prestado mucha atención a CGA, cabe señalar que GA no es solo un álgebra, sino una de una familia de álgebras con la misma estructura esencial. ^[31]

El subálgebra par de es isomorfa a los números complejos , como se puede ver al escribir un vector en términos de sus componentes en una base ortonormal y multiplicar por el vector base , obteniéndose${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle e_{1}}$

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

donde nos identificamos desde${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

De manera similar, el subálgebra par de con base es isomorfa a los cuaterniones como se puede ver identificando ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ .${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$

Toda álgebra asociativa tiene una representación matricial; reemplazando los tres vectores base cartesianos por las matrices de Pauli se obtiene una representación de ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Poniendo los puntos sobre el « vector de Pauli » (una díada ):

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$con vectores arbitrarios y y multiplicando por se obtiene:${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$(De manera equivalente, por inspección, ⁠ ⁠${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot (a\times b)}$ )

En física, las principales aplicaciones son el álgebra geométrica del espacio-tiempo de Minkowski 3+1 , ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ , llamada álgebra del espacio-tiempo (STA), ^[3] o menos comúnmente, ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ , interpretada como álgebra del espacio físico (APS).

Mientras que en STA los puntos del espacio-tiempo se representan simplemente por vectores, en APS los puntos del espacio-tiempo ⁠ ⁠${\displaystyle (3+1)}$ -dimensional se representan en cambio por paravectores , un vector tridimensional (espacio) más un escalar unidimensional (tiempo).

En el álgebra del espacio-tiempo, el tensor del campo electromagnético tiene una representación bivectorial ⁠ ⁠${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$ . ^[32] Aquí, es el pseudoescalar unitario (o elemento de volumen de cuatro dimensiones), es el vector unitario en la dirección del tiempo, y y son los vectores clásicos del campo eléctrico y magnético (con un componente de tiempo cero). Usando la corriente de cuatro corrientes ⁠ ⁠ , las ecuaciones de Maxwell se convierten entonces en${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {J}}$

Formulación	Ecuaciones homogéneas	Ecuaciones no homogéneas
Campos	${\displaystyle DF=\mu _{0}J}$
	${\displaystyle D\wedge F=0}$	${\displaystyle D~\rfloor ~F=\mu _{0}J}$
Potenciales (de cualquier calibre)	${\displaystyle F=D\wedge A}$	${\displaystyle D~\rfloor ~(D\wedge A)=\mu _{0}J}$
Potenciales (calibre de Lorenz)	${\displaystyle F=DA}$ ${\displaystyle D~\rfloor ~A=0}$	${\displaystyle D^{2}A=\mu _{0}J}$

En cálculo geométrico, la yuxtaposición de vectores como en indica el producto geométrico y se puede descomponer en partes como ⁠ ⁠ . Aquí está la derivada del covector en cualquier espacio-tiempo y se reduce a en el espacio-tiempo plano. Donde juega un papel en el espacio - tiempo de Minkowski , que es sinónimo del papel de en el espacio - tiempo euclidiano y está relacionado con el d'Alembertiano por ⁠ ⁠ . De hecho, dado un observador representado por un vector temporal que apunta al futuro, tenemos${\displaystyle DF}$${\displaystyle DF=D~\rfloor ~F+D\wedge F}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \bigtriangledown }$${\displaystyle 4}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \bigtriangledown ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\wedge \bigtriangledown =\nabla }$

Los impulsos en este espacio métrico lorentziano tienen la misma expresión que la rotación en el espacio euclidiano, donde es el bivector generado por las direcciones de tiempo y espacio involucradas, mientras que en el caso euclidiano es el bivector generado por las dos direcciones del espacio, lo que refuerza la "analogía" hasta casi la identidad.${\displaystyle e^{\beta }}$${\displaystyle {\beta }}$

Las matrices de Dirac son una representación de ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ , mostrando la equivalencia con las representaciones matriciales utilizadas por los físicos.

Los modelos homogéneos generalmente se refieren a una representación proyectiva en la que los elementos de los subespacios unidimensionales de un espacio vectorial representan puntos de una geometría.

En un álgebra geométrica de un espacio de dimensiones, los rotores representan un conjunto de transformaciones con grados de libertad, correspondientes a rotaciones – por ejemplo, cuando y cuando ⁠ ⁠ . El álgebra geométrica se utiliza a menudo para modelar un espacio proyectivo , es decir, como un modelo homogéneo : un punto, una línea, un plano, etc. se representa mediante una clase de equivalencia de elementos del álgebra que difieren por un factor escalar invertible.${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle n=4}$

Los rotores en un espacio de dimensión tienen grados de libertad, los mismos que el número de grados de libertad en las rotaciones y traslaciones combinadas para un espacio ⁠ ⁠ -dimensional.${\displaystyle n+1}$$n(n-1)/2+n$${\displaystyle n}$

Este es el caso del Álgebra Geométrica Proyectiva (PGA), que se utiliza ^{[33] [34] [35]} para representar isometrías euclidianas en geometría euclidiana (cubriendo así la gran mayoría de aplicaciones de ingeniería de la geometría). En este modelo, se agrega una dimensión degenerada a las tres dimensiones euclidianas para formar el álgebra ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$ . Con una identificación adecuada de subespacios para representar puntos, líneas y planos, los versores de esta álgebra representan todas las isometrías euclidianas propias, que siempre son movimientos de tornillo en el espacio tridimensional, junto con todas las isometrías euclidianas impropias, que incluyen reflexiones, rotorreflexiones, transflexiones y reflexiones puntuales.

PGA se combina  con un operador de complemento para obtener fórmulas de unión, encuentro, distancia y ángulo. ^[36] En efecto, el complemento intercambia los vectores base que están presentes y ausentes en la expresión de cada término de la representación algebraica. Por ejemplo, en el PGA o espacio tridimensional, el complemento de la línea es la línea ⁠ ⁠ , porque y son elementos base que no están contenidos en pero están contenidos en ⁠ ⁠ . En el PGA del espacio bidimensional, el complemento de es ⁠ ⁠ , ya que no hay ningún elemento.${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$

PGA es un sistema ampliamente utilizado que combina el álgebra geométrica con representaciones homogéneas en geometría, pero existen otros sistemas similares. El modelo conforme que se analiza a continuación es homogéneo, al igual que el "Álgebra geométrica cónica" ^[37] ; véase Álgebra geométrica basada en el plano para un análisis de los modelos homogéneos de geometría elíptica e hiperbólica en comparación con la geometría euclidiana derivada de PGA.

Al trabajar dentro de GA, el espacio euclidiano (junto con un punto conforme en el infinito) se integra de manera proyectiva en el CGA a través de la identificación de puntos euclidianos con subespacios 1D en el cono nulo 4D del subespacio vectorial CGA 5D. Esto permite que todas las transformaciones conformes se realicen como rotaciones y reflexiones y es covariante , extendiendo las relaciones de incidencia de la geometría proyectiva a objetos redondos como círculos y esferas.${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

En concreto, añadimos vectores base ortogonales y tales que y a la base del espacio vectorial que genera e identifica vectores nulos.${\displaystyle e_{+}}$${\displaystyle e_{-}}$${\displaystyle e_{+}^{2}=+1}$${\displaystyle e_{-}^{2}=-1}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle n_{\text{o}}={\tfrac {1}{2}}(e_{-}-e_{+})}$como el punto en el origen y

${\displaystyle n_{\infty }=e_{-}+e_{+}}$como un punto conforme en el infinito (ver Compactificación ), dando

${\displaystyle n_{\infty }\cdot n_{\text{o}}=-1.}$