Celosía complementada

En la disciplina matemática de la teoría del orden , una red complementada es una red acotada (con el elemento menor 0 y el elemento mayor 1), en la que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b que satisface a  ∨  b  = 1 y a  ∧  b  = 0. Los complementos no necesitan ser únicos.

Una red relativamente complementada es una red tal que cada intervalo [ c ,  d ], visto como una red acotada por derecho propio, es una red complementada.

Una ortocomplementación en una red complementada es una involución que invierte el orden y asigna cada elemento a un complemento. Una red ortocomplementada que satisface una forma débil de la ley modular se denomina red ortomodular .

En los retículos distributivos acotados , los complementos son únicos. Cada retículo distributivo complementado tiene una ortocomplementación única y, de hecho, es un álgebra de Boole .

Una red complementada es una red acotada (con el elemento menor 0 y el elemento mayor 1), en la que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b tal que

a ∨ b = 1 y     a ∧ b = 0.

En general, un elemento puede tener más de un complemento. Sin embargo, en una red distributiva (acotada) cada elemento tendrá como máximo un complemento. ^[1] Una red en la que cada elemento tiene exactamente un complemento se denomina red unívocamente complementada ^[2]

Una red con la propiedad de que cada intervalo (considerado como una subred) está complementado se denomina red relativamente complementada . En otras palabras, una red relativamente complementada se caracteriza por la propiedad de que para cada elemento a en un intervalo [ c , d ] hay un elemento b tal que

a ∨ b = d     y     a ∧ b = c .

Un elemento de este tipo b se llama complemento de a relativo al intervalo.

Una red distributiva se complementa si y solo si está acotada y relativamente complementada. ^{[3] [4]} La red de subespacios de un espacio vectorial proporciona un ejemplo de una red complementada que no es, en general, distributiva.

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Una ortocomplementación en una red acotada es una función que asigna cada elemento a a un "ortocomplemento" a ^⊥ de tal manera que se satisfacen los siguientes axiomas: ^[5]

Ley del complemento

a ^⊥ ∨ a = 1 y a ^⊥ ∧ a = 0.

Ley de involución

a ^⊥⊥ = a .

Inversión del orden

si a ≤ b entonces b ^⊥ ≤ a ^⊥ .

Una red ortocomplementada u ortolattice es una red acotada dotada de una ortocomplementación. La red de subespacios de un espacio de producto interno y la operación de complemento ortogonal proporcionan un ejemplo de una red ortocomplementada que no es, en general, distributiva. ^[6]

• Algunas celosías complementadas
• 
  En la red pentagonal N ₅ , el nodo del lado derecho tiene dos complementos.
• 
  La red romboidal M ₃ no admite ortocomplementación.
• 
  La red M ₄ admite 3 ortocomplementaciones.
• 
  La red hexagonal admite una ortocomplementación única, pero no está unívocamente complementada.

Las álgebras de Boole son un caso especial de retículas ortocomplementadas, que a su vez son un caso especial de retículas complementadas (con estructura adicional). Las ortolactias se utilizan con mayor frecuencia en lógica cuántica , donde los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert separable representan proposiciones cuánticas y se comportan como una retícula ortocomplementada.

Las redes ortocomplementadas, como las álgebras de Boole, satisfacen las leyes de De Morgan :

• ( a ∨ b ) ^⊥ = a ^⊥ ∧ b ^⊥
• ( a ∧ b ) ^⊥ = a ^⊥ ∨ b ^⊥ .

Una red se llama modular si para todos los elementos a , b y c la implicación

si a ≤ c , entonces a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ c

se cumple. Esto es más débil que la distributividad ; por ejemplo, la red M ₃ mostrada anteriormente es modular, pero no distributiva.

Un debilitamiento natural adicional de esta condición para redes ortocomplementadas, necesaria para aplicaciones en lógica cuántica, es requerirla solo en el caso especial b = a ^⊥ . Por lo tanto, una red ortomodular se define como una red ortocomplementada tal que para dos elementos cualesquiera la implicación

si a ≤ c , entonces a ∨ ( a ^⊥ ∧ c ) = c

sostiene.

Las redes de esta forma son de importancia crucial para el estudio de la lógica cuántica , ya que son parte de la axiomización de la formulación del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica . Garrett Birkhoff y John von Neumann observaron que el cálculo proposicional en lógica cuántica es "formalmente indistinguible del cálculo de subespacios lineales [de un espacio de Hilbert] con respecto a productos de conjuntos , sumas lineales y complementos ortogonales" correspondientes a los roles de y , o y no en redes booleanas. Esta observación ha estimulado el interés en los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert, que forman una red ortomodular. ^[7]

• Red pseudocomplementada

• Birkhoff, Garrett (1961). Teoría de retículos . Sociedad Matemática Americana.
• Grätzer, George (1971). Teoría de retículos: primeros conceptos y retículos distributivos . WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0442-3.
• Grätzer, George (1978). Teoría general de redes . Basilea, Suiza: Birkhäuser. ISBN 978-0-12-295750-5.
• Rutherford, Daniel Edwin (1965). Introducción a la teoría de retículos . Oliver y Boyd.

• "Red complementada". PlanetMath .
• "Complemento relativo". PlanetMath .
• "Red complementada de forma única". PlanetMath .
• "Red ortocomplementada". PlanetMath .