número p-ádico

En teoría de números , dado un número primo p , los números p -ádicos forman una extensión de los números racionales que es distinta de los números reales , aunque con algunas propiedades similares; los números p -ádicos se pueden escribir en una forma similar a los decimales (posiblemente infinitos ) , pero con dígitos basados ​​en un número primo p en lugar de diez, y extendiéndose hacia la izquierda en lugar de hacia la derecha.

Por ejemplo, comparando la expansión del número racional en base 3 con la expansión 3 -ádica,${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\puntos 121012102\ \ ({\text{3-ádico}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$

Formalmente, dado un número primo p , un número p -ádico puede definirse como una serie

${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$

donde k es un entero (posiblemente negativo), y cada uno es un entero tal que Un entero p -ádico es un número p -ádico tal que$Estilo de visualización ai$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$${\displaystyle k\geq 0.}$

En general, la serie que representa un número p -ádico no es convergente en el sentido habitual, pero sí lo es para el valor absoluto p -ádico donde k es el menor entero i tal que (si todos son cero, se tiene el número p -ádico cero , que tiene 0 como su valor absoluto p -ádico).${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$${\displaystyle a_{i}\neq 0}$$Estilo de visualización ai$

Todo número racional puede expresarse de forma única como la suma de una serie como la anterior, con respecto al valor absoluto p -ádico. Esto permite considerar los números racionales como números p -ádicos especiales y, alternativamente, definir los números p -ádicos como la compleción de los números racionales para el valor absoluto p -ádico, exactamente como los números reales son la compleción de los números racionales para el valor absoluto habitual.

Los números p -ádicos fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, ^[1] aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como un uso implícito de números p -ádicos. ^{[nota 1]}

En términos generales, la aritmética modular módulo un entero positivo n consiste en "aproximar" cada entero por el resto de su división por n , llamado residuo módulo n . La propiedad principal de la aritmética modular es que el residuo módulo n del resultado de una sucesión de operaciones sobre números enteros es el mismo que el resultado de la misma sucesión de operaciones sobre residuos módulo n . Si se sabe que el valor absoluto del resultado es menor que n/2 , esto permite un cálculo del resultado que no involucra ningún entero mayor que n .

Para obtener resultados mayores, un método antiguo, todavía de uso común, consiste en utilizar varios módulos pequeños que son coprimos entre sí y aplicar el teorema chino del resto para recuperar el resultado módulo el producto de los módulos.

Otro método descubierto por Kurt Hensel consiste en utilizar un módulo primo p y aplicar el lema de Hensel para recuperar iterativamente el resultado módulo . Si el proceso continúa infinitamente, esto proporciona eventualmente un resultado que es un número p -ádico.${\displaystyle p^{2},p^{3},\ldots ,p^{n},\ldots }$

La teoría de los números p -ádicos se basa fundamentalmente en los dos lemas siguientes

Todo número racional distinto de cero puede escribirse donde v , m y n son números enteros y ni m ni n son divisibles por p .${\textstyle p^{v}{\frac {m}{n}},}$ El exponente v está determinado de forma única por el número racional y se denomina su valoración p -ádica (esta definición es un caso particular de una definición más general, que se da a continuación). La demostración del lema resulta directamente del teorema fundamental de la aritmética .

Todo número racional distinto de cero r de valoración v puede escribirse de forma única donde s es un número racional de valoración mayor que v , y a es un entero tal que${\displaystyle r=ap^{v}+s,}$${\displaystyle 0<a<p.}$

La prueba de este lema resulta de la aritmética modular : Por el lema anterior, donde m y n son números enteros coprimos con p . El inverso modular de n es un número entero q tal que para algún número entero h . Por lo tanto, se tiene y La división euclidiana de por p da donde ya que mq no es divisible por p . Entonces,${\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},}$${\displaystyle nq=1+ph}$${\textstyle {\frac {1}{n}}=qp{\frac {h}{n}},}$${\textstyle r=p^{v}mq-p^{v+1}{\frac {hm}{n}}.}$${\estilo de visualización mq}$${\displaystyle mq=pk+a}$${\displaystyle 0<a<p,}$

${\displaystyle r=ap^{v}+p^{v+1}{\frac {kn-hm}{n}},}$

Cuál es el resultado deseado.

Esto se puede iterar comenzando desde s en lugar de r , obteniendo lo siguiente.

Dado un número racional distinto de cero r de valoración v y un entero positivo k , hay un número racional de valoración no negativa y k enteros no negativos definidos de manera única menores que p tales que y$estilo de visualización s_ {k}}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{k-1}}$${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle r=a_{0}p^{v}+a_{1}p^{v+1}+\cdots +a_{k-1}p^{v+k-1}+p^{v +k}s_{k}.}$

Los números p -ádicos se obtienen esencialmente al continuar esto infinitamente para producir una serie infinita .

Los números p -ádicos se definen comúnmente mediante series p -ádicas.

Una serie p -ádica es una serie de potencia formal de la forma

${\displaystyle \sum_{i=v}^{\infty}r_{i}p^{i},}$

donde es un entero y son números racionales que son cero o tienen una valoración no negativa (es decir, el denominador de no es divisible por p ).${\estilo de visualización v}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$

Todo número racional puede verse como una serie p -ádica con un único término distinto de cero, que consiste en su factorización de la forma con n y d ambos coprimos con p .${\displaystyle p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$

Dos series p -ádicas y son equivalentes si existe un entero N tal que, para cada entero el número racional ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}}$${\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}}$${\estilo de visualización n>N,}$

${\displaystyle \sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}}$

es cero o tiene una valoración p -ádica mayor que n .

Una serie p -ádica está normalizada si todos son números enteros tales que y o todos son cero. En el último caso, la serie se denomina serie cero .${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p,}$${\displaystyle a_{v}>0,}$${\displaystyle a_{i}}$

Toda serie p -ádica es equivalente a exactamente una serie normalizada. Esta serie normalizada se obtiene mediante una secuencia de transformaciones, que son equivalencias de series; véase § Normalización de una serie p-ádica, más adelante.

En otras palabras, la equivalencia de una serie p -ádica es una relación de equivalencia , y cada clase de equivalencia contiene exactamente una serie p -ádica normalizada.

Las operaciones habituales de series (suma, resta, multiplicación, división) son compatibles con la equivalencia de series p -ádicas. Es decir, denotando la equivalencia con ~ , si S , T y U son series p -ádicas no nulas tales que se tiene${\displaystyle S\sim T,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}}$

Los números p -ádicos se definen a menudo como clases de equivalencia de series p -ádicas, de forma similar a la definición de los números reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy . La propiedad de unicidad de la normalización permite representar de forma única cualquier número p -ádico mediante la serie p -ádica normalizada correspondiente . La compatibilidad de la equivalencia de series conduce casi inmediatamente a las propiedades básicas de los números p -ádicos:

• La suma , la multiplicación y el inverso multiplicativo de números p -ádicos se definen como para series de potencias formales , seguidas de la normalización del resultado.
• Con estas operaciones, los números p -ádicos forman un cuerpo , que es un cuerpo de extensión de los números racionales.
• La valoración de un número p -ádico distinto de cero x , comúnmente denotado como el exponente de p en el primer término distinto de cero de la serie normalizada correspondiente; la valoración de cero es${\displaystyle v_{p}(x)}$${\displaystyle v_{p}(0)=+\infty }$
• El valor absoluto p -ádico de un número p -ádico distinto de cero x , es para el número p -ádico cero, se tiene${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};}$${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

Partiendo de la serie, el primer lema anterior permite obtener una serie equivalente tal que la valoración p -ádica de sea cero. Para ello, se considera el primer no cero Si su valoración p -ádica es cero, basta con cambiar v por i , es decir, empezar la suma desde v . En caso contrario, la valoración p -ádica de es y donde la valoración de es cero; por tanto, se obtiene una serie equivalente cambiando a 0 y a Iterando este proceso, se obtiene eventualmente, posiblemente después de infinitos pasos, una serie equivalente que o bien es la serie cero o bien es una serie tal que la valoración de es cero.${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$${\displaystyle r_{v}}$${\displaystyle r_{i}.}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle j>0,}$${\displaystyle r_{i}=p^{j}s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i+j}}$${\displaystyle r_{i+j}+s_{i}.}$${\displaystyle r_{v}}$

Entonces, si la serie no está normalizada, considere el primer distinto de cero que no sea un entero en el intervalo. El segundo lema anterior permite escribirlo: se obtienen n series equivalentes reemplazando con y sumando con Iterar este proceso, posiblemente infinitas veces, proporciona eventualmente la serie p -ádica normalizada deseada.${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle [0,p-1].}$${\displaystyle r_{i}=a_{i}+ps_{i};}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle a_{i},}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i+1}.}$

Existen varias definiciones equivalentes de números p -ádicos. La que se ofrece aquí es relativamente elemental, ya que no implica ningún otro concepto matemático que los introducidos en las secciones anteriores. Otras definiciones equivalentes utilizan la compleción de un anillo de valoración discreto (véase § Enteros p-ádicos), la compleción de un espacio métrico (véase § Propiedades topológicas) o los límites inversos (véase § Propiedades modulares).

Un número p -ádico puede definirse como una serie p -ádica normalizada . Dado que existen otras definiciones equivalentes que se utilizan comúnmente, a menudo se dice que una serie p -ádica normalizada representa un número p -ádico, en lugar de decir que es un número p -ádico.

También se puede decir que cualquier serie p -ádica representa un número p -ádico, ya que cada serie p -ádica es equivalente a una única serie p -ádica normalizada. Esto es útil para definir operaciones (suma, resta, multiplicación, división) de números p -ádicos: el resultado de dicha operación se obtiene normalizando el resultado de la operación correspondiente sobre la serie. Esto define bien las operaciones sobre números p -ádicos, ya que las operaciones sobre series son compatibles con la equivalencia de series p -ádicas.

Con estas operaciones, los números p -ádicos forman un cuerpo llamado cuerpo de números p -ádicos y denotado o Existe un único homomorfismo de cuerpo de los números racionales en los números p -ádicos, que asigna un número racional a su expansión p -ádica. La imagen de este homomorfismo se identifica comúnmente con el cuerpo de números racionales. Esto permite considerar los números p -ádicos como un cuerpo de extensión de los números racionales, y los números racionales como un subcuerpo de los números p -ádicos.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}$

La valoración de un número p -ádico distinto de cero x , comúnmente denotada como el exponente de p en el primer término distinto de cero de cada serie p -ádica que representa a x . Por convención, es decir, la valoración de cero es Esta valoración es una valoración discreta . La restricción de esta valoración a los números racionales es la valoración p -ádica de , es decir, el exponente v en la factorización de un número racional como con n y d coprimos con p .${\displaystyle v_{p}(x),}$${\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;}$${\displaystyle \infty .}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}p^{v},}$

Los enteros p -ádicos son los números p -ádicos con una valoración no negativa.

Un entero p -ádico se puede representar como una secuencia

${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$

de residuos x _e mod p ^e para cada entero e , satisfaciendo las relaciones de compatibilidad para i < j .${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$

Todo entero es un entero p -ádico (incluido el cero, ya que ). Los números racionales de la forma con d coprimos con p y también son enteros p -ádicos (por la razón de que d tiene un módulo inverso p ^e para cada e ).${\displaystyle 0<\infty }$${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$${\displaystyle k\geq 0}$

Los números enteros p -ádicos forman un anillo conmutativo , denotado o , que tiene las siguientes propiedades.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

• Es un dominio integral , ya que es un subanillo de un cuerpo, o bien, el primer término de la representación en serie del producto de dos series p -ádicas distintas de cero es el producto de sus primeros términos.
• Las unidades (elementos invertibles) de son los números p -ádicos de valoración cero.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Es un dominio ideal principal , tal que cada ideal es generado por una potencia de p .
• Es un anillo local de dimensión de Krull uno, ya que sus únicos ideales primos son el ideal cero y el ideal generado por p , el único ideal maximal .
• Se trata de un anillo de valoración discreto , ya que esto resulta de las propiedades anteriores.
• Es la finalización del anillo local que es la localización del ideal primario.${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} \},}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

La última propiedad proporciona una definición de los números p -ádicos que es equivalente a la anterior: el campo de los números p -ádicos es el campo de fracciones de la completitud de la localización de los enteros en el ideal primo generado por p .

La valoración p -ádica permite definir un valor absoluto en números p -ádicos: el valor absoluto p -ádico de un número p -ádico x distinto de cero es

${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$

donde es la valoración p -ádica de x . El valor absoluto p -ádico de es Este es un valor absoluto que satisface la desigualdad triangular fuerte ya que, para cada x e y se tiene${\displaystyle v_{p}(x)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$Si y sólo si${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p}}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p},|y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

Además, si uno tiene${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$${\displaystyle |x+y|_{p}=\max(|x|_{p},|y|_{p}).}$

Esto hace que los números p -ádicos sean un espacio métrico , e incluso un espacio ultramétrico , con la distancia p -ádica definida por${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

Como espacio métrico, los números p -ádicos forman la compleción de los números racionales dotados del valor absoluto p -ádico. Esto proporciona otra forma de definir los números p -ádicos. Sin embargo, la construcción general de una compleción se puede simplificar en este caso, porque la métrica se define mediante una valoración discreta (en resumen, se puede extraer de cada sucesión de Cauchy una subsucesión tal que las diferencias entre dos términos consecutivos tengan valores absolutos estrictamente decrecientes; dicha subsucesión es la sucesión de las sumas parciales de una serie p -ádica, y por lo tanto se puede asociar una única serie p -ádica normalizada a cada clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy; por lo tanto, para construir la compleción, basta con considerar series p -ádicas normalizadas en lugar de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy).

Como la métrica se define a partir de una valoración discreta, cada bola abierta también está cerrada . Más precisamente, la bola abierta es igual a la bola cerrada donde v es el menor entero tal que De manera similar, donde w es el mayor entero tal que${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$${\displaystyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$${\displaystyle p^{-v}<r.}$${\displaystyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$${\displaystyle p^{-w}>r.}$

Esto implica que los números p -ádicos forman un espacio localmente compacto , y los enteros p -ádicos (es decir, la bola ) forman un espacio compacto .${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$

La expansión decimal de un número racional positivo es su representación como una serie${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$

donde es un número entero y cada uno es también un número entero tal que Esta expansión se puede calcular por división larga del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: Si es un número racional tal que hay un número entero tal que y con La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto que en la iteración asume el papel del número racional original .${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$${\displaystyle 10^{k}\leq r<10^{k+1},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0<a<10,}$${\displaystyle r=a\,10^{k}+r',}$${\displaystyle r'<10^{k}.}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle r}$

La expansión p - ádica de un número racional se define de manera similar, pero con un paso de división diferente. Más precisamente, dado un número primo fijo , cada número racional distinto de cero se puede escribir de forma única como donde es un entero (posiblemente negativo), y son enteros coprimos ambos coprimos con , y es positivo. El entero es la valoración p -ádica de , denotada y es su valor absoluto p -ádico , denotado (el valor absoluto es pequeño cuando la valoración es grande). El paso de división consiste en escribir ${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle v_{p}(r),}$${\displaystyle p^{-k}}$${\displaystyle |r|_{p}}$

${\displaystyle r=a\,p^{k}+r'}$

donde es un número entero tal que y es cero, o un número racional tal que (es decir, ).${\displaystyle a}$${\displaystyle 0\leq a<p,}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle |r'|_{p}<p^{-k}}$${\displaystyle v_{p}(r')>k}$

La expansión -ádica de es la serie de potencias formal${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

se obtiene repitiendo indefinidamente el paso de división anterior sobre residuos sucesivos. En una expansión p -ádica, todos son números enteros tales que${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$

Si con , el proceso se detiene eventualmente con un resto cero; en este caso, la serie se completa con términos finales con un coeficiente cero, y es la representación de en base- p .${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{1}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle r}$

La existencia y el cálculo de la expansión p -ádica de un número racional resulta de la identidad de Bézout de la siguiente manera. Si, como antes, y y son coprimos, existen números enteros y tales que So${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$${\displaystyle td+up=1.}$

${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}.}$

Entonces, la división euclidiana de por da${\displaystyle nt}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle nt=qp+a,}$

Con esto obtenemos el paso de división como ${\displaystyle 0\leq a<p.}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}}\\&=&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}},\\\end{array}}}$

para que en la iteración

${\displaystyle r'=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}}$

es el nuevo número racional.

La unicidad del paso de división y de toda la expansión p -ádica es fácil: si uno tiene Esto significa que divide Puesto que y lo siguiente debe ser verdadero: y Por lo tanto, uno obtiene y puesto que divide debe ser que${\displaystyle p^{k}a_{1}+p^{k+1}s_{1}=p^{k}a_{2}+p^{k+1}s_{2},}$${\displaystyle a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1}).}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a_{1}-a_{2}.}$${\displaystyle 0\leq a_{1}<p}$${\displaystyle 0\leq a_{2}<p,}$${\displaystyle 0\leq a_{1}}$${\displaystyle a_{2}<p.}$${\displaystyle -p<a_{1}-a_{2}<p,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=a_{2}.}$

La expansión p -ádica de un número racional es una serie que converge al número racional, si se aplica la definición de una serie convergente con el valor absoluto p -ádico. En la notación p -ádica estándar, los dígitos se escriben en el mismo orden que en un sistema de base p estándar , es decir, con las potencias de la base aumentando hacia la izquierda. Esto significa que la producción de los dígitos se invierte y el límite ocurre en el lado izquierdo.

La expansión p -ádica de un número racional es eventualmente periódica . A la inversa , una serie con converge (para el valor absoluto p -ádico) a un número racional si y solo si es eventualmente periódica; en este caso, la serie es la expansión p -ádica de ese número racional. La prueba es similar a la del resultado similar para decimales periódicos .${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$

Calculemos la expansión 5-ádica de la identidad de Bézout para 5 y el denominador 3 es (para ejemplos más grandes, esto se puede calcular con el algoritmo euclidiano extendido ). Por lo tanto${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.}$${\displaystyle 2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5({\frac {-1}{3}}).}$

Para el siguiente paso, hay que desarrollar (el factor 5 debe verse como un " desplazamiento " de la valoración p -ádica, similar a la base de cualquier expansión de números, y por lo tanto no debería ser expandido). Para expandir , partimos de la misma identidad de Bézout y la multiplicamos por , obteniendo${\displaystyle -1/3}$${\displaystyle -1/3}$${\displaystyle -1}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}.}$

La "parte entera" no está en el intervalo correcto. Por lo tanto, hay que utilizar la división euclidiana para obtener el resultado.${\displaystyle -2}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle -2=3-1\cdot 5,}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}=3-{\frac {10}{3}}=3+5({\frac {-2}{3}}),}$

y la expansión en el primer paso se convierte en

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5\cdot (3+5\cdot ({\frac {-2}{3}}))=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}}\cdot 5^{2}.}$

De manera similar, uno tiene

${\displaystyle -{\frac {2}{3}}=1-{\frac {5}{3}},}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}}\cdot 5^{3}.}$

Como ya se ha encontrado el "resto" , el proceso puede continuarse fácilmente, dando coeficientes para potencias de cinco impares y para potencias pares . O en la notación 5-ádica estándar${\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}}$

con los puntos suspensivos en el lado izquierdo.${\displaystyle \ldots }$

Es posible utilizar una notación posicional similar a la que se utiliza para representar números en base p .

Sea una serie p -ádica normalizada , es decir, cada uno es un entero en el intervalo. Se puede suponer que estableciendo para (si ), y agregando los términos cero resultantes a la serie.${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle [0,p-1].}$${\displaystyle k\leq 0}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle 0\leq i<k}$${\displaystyle k>0}$

Si la notación posicional consiste en escribir consecutivamente, ordenados por valores decrecientes de i , a menudo con p apareciendo a la derecha como índice:${\displaystyle k\geq 0,}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \ldots a_{n}\ldots a_{1}{a_{0}}_{p}}$

Así pues, el cálculo del ejemplo anterior muestra que

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5},}$

y

${\displaystyle {\frac {25}{3}}=\ldots 131313200_{5}.}$

Cuando se añade un punto separador antes de los dígitos con índice negativo y, si está presente el índice p , aparece justo después del punto separador. Por ejemplo,${\displaystyle k<0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{15}}=\ldots 3131313._{5}2,}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{75}}=\ldots 1313131._{5}32.}$

Si una representación p -ádica es finita por la izquierda (es decir, para valores grandes de i ), entonces tiene el valor de un número racional no negativo de la forma con números enteros. Estos números racionales son exactamente los números racionales no negativos que tienen una representación finita en base p . Para estos números racionales, las dos representaciones son iguales.${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle np^{v},}$${\displaystyle n,v}$

El anillo cociente puede identificarse con el anillo de los enteros módulo Esto puede demostrarse observando que cada entero p -ádico, representado por su serie p -ádica normalizada, es congruente módulo con su suma parcial cuyo valor es un entero en el intervalo Una verificación sencilla muestra que esto define un isomorfismo de anillo de a${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p^{n}.}$${\displaystyle p^{n}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

El límite inverso de los anillos se define como el anillo formado por las sucesiones tales que y para cada i .${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$

La aplicación que asigna una serie p -ádica normalizada a la secuencia de sus sumas parciales es un isomorfismo de anillo desde hasta el límite inverso de Esto proporciona otra forma de definir números enteros p -ádicos ( hasta un isomorfismo).${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$

Esta definición de números enteros p -ádicos es especialmente útil para cálculos prácticos, ya que permite construir números enteros p -ádicos mediante aproximaciones sucesivas.

Por ejemplo, para calcular el inverso p -ádico (multiplicativo) de un entero, se puede utilizar el método de Newton , comenzando desde el inverso módulo p ; luego, cada paso de Newton calcula el inverso módulo a partir del inverso módulo${\textstyle p^{n^{2}}}$${\textstyle p^{n}.}$

El mismo método se puede utilizar para calcular la raíz cuadrada p -ádica de un entero que es un residuo cuadrático módulo p . Este parece ser el método más rápido conocido para comprobar si un entero grande es un cuadrado: basta con comprobar si el entero dado es el cuadrado del valor encontrado en . La aplicación del método de Newton para encontrar la raíz cuadrada requiere que sea mayor que el doble del entero dado, lo que se satisface rápidamente.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\textstyle p^{n}}$

El levantamiento de Hensel es un método similar que permite "elevar" el módulo de factorización p de un polinomio con coeficientes enteros a un módulo de factorización para valores grandes de n . Esto se utiliza comúnmente en algoritmos de factorización de polinomios .${\textstyle p^{n}}$

Existen varias convenciones diferentes para escribir expansiones p -ádicas. Hasta ahora, este artículo ha utilizado una notación para expansiones p -ádicas en las que las potencias de p aumentan de derecha a izquierda. Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión 3-ádica de, por ejemplo, se escribe como${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$

Al realizar operaciones aritméticas en esta notación, los dígitos se desplazan hacia la izquierda. También es posible escribir expansiones p -ádicas de modo que las potencias de p aumenten de izquierda a derecha y los dígitos se desplacen hacia la derecha. Con esta notación de izquierda a derecha, la expansión 3-ádica de es${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$

Las expansiones p -ádicas se pueden escribir con otros conjuntos de dígitos en lugar de {0, 1, ...,  p  − 1 }. Por ejemplo, la expansión 3 -ádica de se puede escribir utilizando dígitos ternarios balanceados { 1 , 0, 1 }, donde 1 representa menos uno, como${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$

De hecho, cualquier conjunto de p enteros que se encuentren en clases de residuos distintas módulo p se puede utilizar como dígitos p -ádicos. En teoría de números, los representantes de Teichmüller se utilizan a veces como dígitos. ^[2]

La notación de comillas es una variante de larepresentaciónplos números racionalesque fue propuesta en 1979 porEric HehneryNigel Horspoolpara implementar en computadoras la aritmética (exacta) con estos números.^[3]

Tanto y son incontables y tienen la cardinalidad del continuo . ^[4] Porque esto resulta de la representación p -ádica, que define una biyección de en el conjunto potencia Porque esto resulta de su expresión como una unión infinita contable de copias de :${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$contiene y es un campo de característica 0 .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Como 0 puede escribirse como suma de cuadrados, ^[5] no puede convertirse en un campo ordenado .${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

El cuerpo de los números reales tiene una única extensión algebraica propia : los números complejos . En otras palabras, esta extensión cuadrática ya está algebraicamente cerrada . Por el contrario, el cierre algebraico de , denotado tiene grado infinito, ^[6] es decir, tiene infinitas extensiones algebraicas no equivalentes. También contrastando el caso de los números reales, aunque hay una única extensión de la valoración p -ádica a la última no es (métricamente) completa. ^{[7] [8]} Su completitud (métrica) se llama o . ^{[8] [9]} Aquí se alcanza un final, ya que está algebraicamente cerrado. ^{[8] [10]} Sin embargo a diferencia de este cuerpo no es localmente compacto . ^[9]${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \Omega _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$y son isomorfos como anillos, ^[11] por lo que podemos considerarlos dotados de una métrica exótica. La prueba de la existencia de tal isomorfismo de campo se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito de tal isomorfismo (es decir, no es constructivo ).${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si es cualquier extensión finita de Galois de , el grupo de Galois es resoluble . Por lo tanto, el grupo de Galois es prosoluble .${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$contiene el n -ésimo cuerpo ciclotómico ( n > 2 ) si y solo si n  | p − 1 . ^[12] Por ejemplo, el n -ésimo cuerpo ciclotómico es un subcuerpo de si y solo si n = 1, 2, 3, 4, 6 o 12 . En particular, no hay p - torsión multiplicativa en si p > 2 . Además, −1 es el único elemento de torsión no trivial en .${\displaystyle \mathbb {Q} _{13}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$

Dado un número natural k , el índice del grupo multiplicativo de las k -ésimas potencias de los elementos distintos de cero de in es finito.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$

El número e , definido como la suma de los recíprocos de los factoriales , no es miembro de ningún cuerpo p -ádico; pero para . Para p = 2 se debe tomar al menos la cuarta potencia. ^[13] (Por lo tanto, un número con propiedades similares a e —es decir, una raíz p -ésima de e ^p — es miembro de para todo p .)${\displaystyle e^{p}\in \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p\neq 2}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Se dice que el principio local-global de Helmut Hasse es válido para una ecuación si se puede resolver sobre los números racionales si y solo si se puede resolver sobre los números reales y sobre los números p -ádicos para cada primo  p . Este principio es válido, por ejemplo, para ecuaciones dadas por formas cuadráticas , pero no para polinomios superiores en varias indeterminadas.

Los números reales y los números p -ádicos son las compleciones de los racionales; también es posible completar otros cuerpos, por ejemplo, cuerpos de números algebraicos generales , de manera análoga. Esto se describirá a continuación.

Supóngase que D es un dominio de Dedekind y E es su campo de fracciones . Elija un ideal primo distinto de cero P de D. Si x es un elemento distinto de cero de E , entonces xD es un ideal fraccionario y puede factorizarse de forma única como un producto de potencias positivas y negativas de ideales primos distintos de cero de D. Escribimos ord _P ( x ) para el exponente de P en esta factorización, y para cualquier elección de número c mayor que 1 podemos establecer

${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$

Completando con respecto a este valor absoluto |⋅| _P se obtiene un cuerpo E _P , la generalización adecuada del cuerpo de números p -ádicos a este contexto. La elección de c no cambia la completitud (diferentes elecciones producen el mismo concepto de sucesión de Cauchy, por lo tanto la misma completitud). Es conveniente, cuando el cuerpo de residuos D / P es finito, tomar para c el tamaño de D / P .

Por ejemplo, cuando E es un cuerpo de números , el teorema de Ostrowski dice que cada valor absoluto no trivial no arquimediano en E surge como algún |⋅| _P . Los restantes valores absolutos no triviales en E surgen de las diferentes incrustaciones de E en los números reales o complejos. (De hecho, los valores absolutos no arquimedianos pueden considerarse simplemente como las diferentes incrustaciones de E en los cuerpos C _p , poniendo así la descripción de todos los valores absolutos no triviales de un cuerpo de números en una base común.)

A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las terminaciones mencionadas anteriormente cuando E es un cuerpo numérico (o, más generalmente, un cuerpo global ), que se consideran como información "local" codificada. Esto se logra mediante anillos de Adele y grupos de idele .

Los números enteros p -ádicos se pueden extender a solenoides p -ádicos . Existe una función de al grupo del círculo cuyas fibras son los números enteros p -ádicos , en analogía a cómo existe una función de al círculo cuyas fibras son .${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

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• Weisstein, Eric W. "Número p-ádico". MathWorld .
• Número p-ádico en Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics