Homotopía

En topología , una rama de las matemáticas , dos funciones continuas de un espacio topológico a otro se denominan homotópicas (del griego antiguo : ὁμός homós "igual, similar" y τόπος tópos "lugar") si una puede ser "deformada continuamente" en la otra, tal deformación se llama homotopía ( / h ə ˈ m ɒ t ə p iː / , [ ^1] hə- MO -tə-pee ; / ˈ h oʊ m oʊ ˌ t oʊ p iː / , ^[2] HOH -moh-toh-pee ) entre las dos funciones. Un uso notable de la homotopía es la definición de grupos de homotopía y grupos de cohomotopía , invariantes importantes en topología algebraica . ^[3]

En la práctica, existen dificultades técnicas a la hora de utilizar homotopías con determinados espacios. Los topólogos algebraicos trabajan con espacios generados de forma compacta , complejos CW o espectros .

Formalmente, una homotopía entre dos funciones continuas f y g de un espacio topológico X a un espacio topológico Y se define como una función continua del producto del espacio X con el intervalo unitario [0, 1] a Y tal que y para todo . ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$${\displaystyle x\en X}$

Si consideramos el segundo parámetro de H como el tiempo, entonces H describe una deformación continua de f en g : en el tiempo 0 tenemos la función f y en el tiempo 1 tenemos la función g . También podemos pensar en el segundo parámetro como un "control deslizante" que nos permite realizar una transición suave de f a g a medida que el control deslizante se mueve de 0 a 1, y viceversa.

Una notación alternativa es decir que una homotopía entre dos funciones continuas es una familia de funciones continuas para tal que y , y la función es continua desde hasta . Las dos versiones coinciden al establecer . No es suficiente exigir que cada función sea continua. ^[4]${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle h_{t}:X\to Y}$${\displaystyle t\en [0,1]}$$estilo de visualización h_{0}=f$${\displaystyle h_{1}=g}$ ${\displaystyle (x,t)\mapsto h_{t}(x)}$${\displaystyle X\times [0,1]}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)}$${\displaystyle h_{t}(x)}$

La animación que se repite en bucle arriba a la derecha proporciona un ejemplo de una homotopía entre dos incrustaciones , f y g , del toro en R ³ . X es el toro, Y es R ³ , f es una función continua del toro a R ³ que lleva al toro a la superficie incrustada con forma de rosquilla con la que comienza la animación; g es una función continua que lleva al toro a la superficie incrustada con forma de taza de café. La animación muestra la imagen de h _t (X) como una función del parámetro t , donde t varía con el tiempo de 0 a 1 en cada ciclo del bucle de animación. Hace una pausa, luego muestra la imagen a medida que t varía de 1 a 0, hace una pausa y repite este ciclo.

Se dice que las funciones continuas f y g son homotópicas si y solo si existe una homotopía H que toma f a g como se describió anteriormente. Ser homotópico es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las funciones continuas de X a Y . Esta relación de homotopía es compatible con la composición de funciones en el siguiente sentido: si f ₁ , g ₁  : X → Y son homotópicas, y f ₂ , g ₂  : Y → Z son homotópicas, entonces sus composiciones f ₂  ∘  f ₁ y g ₂  ∘  g ₁  : X → Z también son homotópicas.

• Si se dan por y , entonces la función dada por es una homotopía entre ellos.${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f(x):=\left(x,x^{3}\right)}$${\displaystyle g(x)=\left(x,e^{x}\right)}$${\displaystyle H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)}$
• De manera más general, si es un subconjunto convexo del espacio euclidiano y son caminos con los mismos puntos finales, entonces existe una homotopía lineal ^[5] (u homotopía de línea recta ) dada por${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f,g:[0,1]\to C}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}}$

• Sea la función identidad en el disco unitario n ; es decir, el conjunto . Sea la función constante que envía cada punto al origen . Entonces, la siguiente es una homotopía entre ellas:${\displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}}$${\displaystyle B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}}$${\displaystyle c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}}$ ${\displaystyle c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}}$

Dados dos espacios topológicos X e Y , una equivalencia homotópica entre X e Y es un par de funciones continuas f  : X → Y y g  : Y → X , tales que g  ∘  f es homotópica a la función identidad id _X y f  ∘  g es homotópica a id _Y . Si existe tal par, entonces se dice que X e Y son homotópicamente equivalentes , o del mismo tipo de homotopía . Intuitivamente, dos espacios X e Y son homotópicamente equivalentes si pueden transformarse uno en otro mediante operaciones de flexión, contracción y expansión. Los espacios que son homotópicamente equivalentes a un punto se denominan contráctiles .

Un homeomorfismo es un caso especial de equivalencia homotópica, en el que g  ∘  f es igual a la función identidad id _X (no sólo homotópica respecto de ella), y f  ∘  g es igual a id _Y . ^{[6] : 0:53:00} Por lo tanto, si X e Y son homeomorfos, entonces son homotópicamente equivalentes, pero lo opuesto no es cierto. Algunos ejemplos:

• Un disco sólido es homotópicamente equivalente a un único punto, ya que se puede deformar el disco a lo largo de líneas radiales de forma continua hasta un único punto. Sin embargo, no son homeomorfos, ya que no existe biyección entre ellos (ya que uno es un conjunto infinito, mientras que el otro es finito).
• La banda de Möbius y una banda no retorcida (cerrada) son homotópicamente equivalentes, ya que ambas bandas se pueden deformar continuamente hasta formar un círculo, pero no son homeomorfas.

• El primer ejemplo de equivalencia de homotopía es con un punto, denotado . La parte que se debe comprobar es la existencia de una homotopía entre y , la proyección de sobre el origen. Esto se puede describir como .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$
• Existe una equivalencia de homotopía entre (la 1-esfera ) y .${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$
  • De manera más general, .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$
• Cualquier fibrado con fibras homotópicamente equivalentes a un punto tiene espacios totales y de base homotópicamente equivalentes. Esto generaliza los dos ejemplos anteriores, ya que es un fibrado con fibras .${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
• Cada fibrado vectorial es un fibrado con una homotopía de fibra equivalente a un punto.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$para cualquier , escribiendo como el espacio total del haz de fibras , luego aplicando las equivalencias de homotopía anteriores.${\displaystyle 0\leq k<n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}$
• Si un subcomplejo de un complejo CW es contráctil, entonces el espacio cociente es homotópicamente equivalente a . ^[7]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/A}$${\displaystyle X}$
• Una retracción de deformación es una equivalencia de homotopía.

Se dice que una función es nula-homotópica${\displaystyle f}$ si es homotópica a una función constante. (La homotopía de a una función constante se denomina entonces a veces homotopía nula ). Por ejemplo, una función del círculo unitario a cualquier espacio es homotópica nula precisamente cuando puede extenderse continuamente a una función del disco unitario a que concuerde con en el límite.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

De estas definiciones se desprende que un espacio es contráctil si y sólo si la función identidad de a sí mismo —que siempre es una equivalencia de homotopía— es nula-homotópica.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

La equivalencia homotópica es importante porque en topología algebraica muchos conceptos son invariantes de homotopía , es decir, respetan la relación de equivalencia homotópica. Por ejemplo, si X e Y son espacios homotópicamente equivalentes, entonces:

• X está conexo por trayectorias si y sólo si Y lo está.
• X está simplemente conexo si y sólo si Y lo está.
• Los grupos de homología y cohomología (singulares) de X e Y son isomorfos .
• Si X e Y están conectados por trayectorias, entonces los grupos fundamentales de X e Y son isomorfos, y también lo son los grupos de homotopía superiores . (Sin el supuesto de conexión por trayectorias, uno tiene π ₁ ( X ,  x ₀ ) isomorfo a π ₁ ( Y , f ( x ₀ )) donde f  : X → Y es una equivalencia de homotopía y x ₀ ∈ X .)

Un ejemplo de un invariante algebraico de espacios topológicos que no es invariante de homotopía es la homología con soporte compacto (que es, en términos generales, la homología de la compactificación , y la compactificación no es invariante de homotopía).

Para definir el grupo fundamental , se necesita la noción de homotopía relativa a un subespacio . Estas son homotopías que mantienen fijos los elementos del subespacio. Formalmente: si f y g son funciones continuas de X a Y y K es un subconjunto de X , entonces decimos que f y g son homotópicas relativas a K si existe una homotopía H  : X × [0, 1] → Y entre f y g tal que H ( k ,  t ) = f ( k ) = g ( k ) para todo k ∈ K y t ∈ [0, 1]. Además, si g es una retracción de X a K y f es la función identidad, esto se conoce como una retracción de deformación fuerte de X a K. Cuando K es un punto, se utiliza el término homotopía puntiaguda .

Cuando dos funciones continuas dadas f y g del espacio topológico X al espacio topológico Y son incrustaciones , uno puede preguntarse si pueden ser conectadas 'a través de incrustaciones'. Esto da lugar al concepto de isotopía , que es una homotopía, H , en la notación utilizada anteriormente, tal que para cada t fijo , H ( x ,  t ) da una incrustación. ^[8]

Un concepto relacionado, pero diferente, es el de isotopía ambiental .

Requerir que dos incrustaciones sean isotópicas es un requisito más fuerte que el de que sean homotópicas. Por ejemplo, la función del intervalo [−1, 1] en los números reales definidos por f ( x ) = − x no es isotópica a la identidad g ( x ) = x . Cualquier homotopía de f a la identidad tendría que intercambiar los puntos finales, lo que significaría que tendrían que 'pasar a través' uno del otro. Además, f ha cambiado la orientación del intervalo y g no, lo cual es imposible bajo una isotopía. Sin embargo, las funciones son homotópicas; una homotopía de f a la identidad es H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] dada por H ( x ,  y ) = 2 yx  −  x .

Se puede demostrar que dos homeomorfismos (que son casos especiales de incrustaciones) de la bola unitaria que coinciden en el límite son isotópicos utilizando el truco de Alexander . Por esta razón, la función del disco unitario en R ² definida por f ( x ,  y ) = (− x , − y ) es isotópica a una rotación de 180 grados alrededor del origen, y por lo tanto la función identidad y f son isotópicas porque pueden conectarse mediante rotaciones.

En topología geométrica —por ejemplo en teoría de nudos— la idea de isotopía se utiliza para construir relaciones de equivalencia. Por ejemplo, ¿cuándo se deben considerar iguales dos nudos? Tomemos dos nudos, K ₁ y K ₂ , en un espacio tridimensional . Un nudo es una incrustación de un espacio unidimensional, el "bucle de cuerda" (o el círculo), en este espacio, y esta incrustación da un homeomorfismo entre el círculo y su imagen en el espacio de incrustación. La idea intuitiva detrás de la noción de equivalencia de nudos es que uno puede deformar una incrustación en otra a través de un camino de incrustaciones: una función continua que comienza en t  = 0 dando la incrustación K ₁ , terminando en t  = 1 dando la incrustación K ₂ , con todos los valores intermedios correspondientes a incrustaciones. Esto corresponde a la definición de isotopía. Una isotopía ambiental , estudiada en este contexto, es una isotopía del espacio más grande, considerada a la luz de su acción sobre la subvariedad incrustada. Los nudos K _​​1 y K ₂ se consideran equivalentes cuando existe una isotopía ambiental que desplaza K ₁ a K ₂ . Esta es la definición adecuada en la categoría topológica.

Se utiliza un lenguaje similar para el concepto equivalente en contextos en los que se tiene una noción más fuerte de equivalencia. Por ejemplo, un camino entre dos incrustaciones suaves es una isotopía suave .

En una variedad lorentziana , ciertas curvas se distinguen como temporales (representando algo que solo va hacia adelante, no hacia atrás, en el tiempo, en cada marco local). Una homotopía temporal entre dos curvas temporales es una homotopía tal que la curva permanece temporal durante la transformación continua de una curva a otra. Ninguna curva temporal cerrada (CTC) en una variedad lorentziana es homotópica temporal hasta un punto (es decir, homotópica temporal nula); por lo tanto, se dice que una variedad de este tipo está conectada de forma múltiple por curvas temporales. Una variedad como la 3-esfera puede estar simplemente conectada (por cualquier tipo de curva) y, sin embargo, estar conectada de forma múltiple temporal . ^[9]

Si tenemos una homotopía H  : X × [0,1] → Y y una cubierta p  : Y → Y y se nos da una función h ₀  : X → Y tal que H ₀ = p ○ h ₀ ( h ₀ se llama una elevación de h ₀ ), entonces podemos elevar todos los H a una función H  : X × [0, 1] → Y tal que p ○ H = H . La propiedad de elevación de homotopía se utiliza para caracterizar fibraciones .

Otra propiedad útil relacionada con la homotopía es la propiedad de extensión de homotopía , que caracteriza la extensión de una homotopía entre dos funciones de un subconjunto de algún conjunto al conjunto mismo. Es útil cuando se trabaja con cofibraciones .

Puesto que la relación de dos funciones que son homotópicas con respecto a un subespacio es una relación de equivalencia, podemos observar las clases de equivalencia de las funciones entre un X y un Y fijos . Si fijamos , el intervalo unitario [0, 1] cruzado consigo mismo n veces, y tomamos su borde como un subespacio, entonces las clases de equivalencia forman un grupo, denotado , donde está en la imagen del subespacio .${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$

Podemos definir la acción de una clase de equivalencia sobre otra, y así obtenemos un grupo. Estos grupos se denominan grupos de homotopía . En el caso , también se denomina grupo fundamental .${\displaystyle n=1}$

La idea de homotopía puede convertirse en una categoría formal de la teoría de categorías . La categoría de homotopía es la categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son clases de equivalencia de homotopía de aplicaciones continuas. Dos espacios topológicos X e Y son isomorfos en esta categoría si y solo si son homotópicamente equivalentes. Entonces, un funtor en la categoría de espacios topológicos es invariante en homotopía si puede expresarse como un funtor en la categoría de homotopía.

Por ejemplo, los grupos de homología son un invariante de homotopía funcional : esto significa que si f y g de X a Y son homotópicos, entonces los homomorfismos de grupo inducidos por f y g en el nivel de grupos de homología son los mismos: H _n ( f ) = H _n ( g ) : H _n ( X ) → H _n ( Y ) para todo n . Del mismo modo, si X e Y están además conexos por caminos , y la homotopía entre f y g es puntual, entonces los homomorfismos de grupo inducidos por f y g en el nivel de grupos de homotopía también son los mismos: π _n ( f ) = π _n ( g ) : π _n ( X ) → π _n ( Y ).

Basándose en el concepto de homotopía, se han desarrollado métodos de cálculo para ecuaciones algebraicas y diferenciales . Los métodos para ecuaciones algebraicas incluyen el método de continuación de homotopía ^[10] y el método de continuación (véase continuación numérica ). Los métodos para ecuaciones diferenciales incluyen el método de análisis de homotopía .

La teoría de homotopía puede utilizarse como base para la teoría de homología : se puede representar un funtor de cohomología en un espacio X mediante aplicaciones de X en un espacio fijo apropiado, hasta la equivalencia de homotopía. Por ejemplo, para cualquier grupo abeliano G y cualquier complejo CW basado X , el conjunto de clases de homotopía basadas de aplicaciones basadas de X al  espacio de Eilenberg-MacLane está en biyección natural con el n - ésimo grupo de cohomología singular  del espacio X. Se dice que el espectro omega de los espacios de Eilenberg-MacLane representan espacios para cohomología singular con coeficientes en G.${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle K(G,n)}$${\displaystyle H^{n}(X,G)}$

• Equivalencia de homotopía de fibra (versión relativa de una equivalencia de homotopía)
• Homeotopía
• Teoría de tipos de homotopía
• Grupo de clases de mapeo
• Conjetura de Poincaré
• Homotopía regular

• Armstrong, MA (1979). Topología básica . Springer. ISBN 978-0-387-90839-7.
• "Homotopía", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Isotopía (en topología)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Spanier, Edwin (diciembre de 1994). Topología algebraica . Springer. ISBN 978-0-387-94426-5.