Equivalencia de homotopía de fibra

En topología algebraica , una equivalencia de homotopía de fibra es una función sobre un espacio B que tiene homotopía inversa sobre B (es decir, si es una homotopía entre las dos funciones, es una función sobre B para t ). Es un análogo relativo de una equivalencia de homotopía entre espacios.$estilo de visualización h_{t}}$$estilo de visualización h_{t}}$

Dados los mapas p : D → B , q : E → B , si ƒ: D → E es una equivalencia de homotopía de fibra, entonces para cualquier b en B la restricción

${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to q^{-1}(b)}$

es una equivalencia de homotopía. Si p , q son fibraciones, este es siempre el caso para las equivalencias de homotopía por la siguiente proposición.

La siguiente prueba se basa en la prueba de la Proposición del Capítulo 6, § 5 de (mayo de 1999). Escribimos para una homotopía sobre B .$estilo de visualización {\sim _{B}}$

Observamos primero que basta con mostrar que ƒ admite una homotopía inversa izquierda sobre B . En efecto, si con g sobre B , entonces g es en particular una equivalencia de homotopía. Por lo tanto, g también admite una homotopía inversa izquierda h sobre B y entonces formalmente tenemos ; es decir, .${\displaystyle gf\sim _{B}\nombre del operador {id} }$${\displaystyle h\sim f}$${\displaystyle fg\sim _{B}\nombre del operador {id} }$

Ahora bien, como ƒ es una equivalencia de homotopía, tiene una homotopía inversa g . Como , tenemos: . Como p es una fibración, la homotopía se eleva a una homotopía de g a, digamos, g' que satisface . Por lo tanto, podemos suponer que g está sobre B . Entonces basta con mostrar que g ƒ, que ahora está sobre B , tiene una homotopía inversa izquierda sobre B ya que eso implicaría que ƒ tiene dicha inversa izquierda.${\displaystyle fg\sim \nombre del operador {id} }$${\displaystyle pg=qfg\sim q}$${\displaystyle pg\sim q}$${\displaystyle pg'=q}$

Por lo tanto, la prueba se reduce a la situación donde ƒ: D → D está sobre B vía p y . Sea una homotopía de ƒ a . Entonces, como y como p es una fibración, la homotopía se eleva a una homotopía ; explícitamente, tenemos . Nótese también que está sobre B .${\displaystyle f\sim \nombre del operador {id} _{D}}$$estilo de visualización h_{t}}$${\displaystyle \nombre del operador {id} _{D}}$${\displaystyle ph_{0}=p}$$Estilo de visualización ph_t$${\displaystyle k_{t}:\nombre del operador {id} _{D}\sim k_{1}}$${\displaystyle ph_{t}=pk_{t}}$$estilo de visualización k_{1}$

Mostramos que es una homotopía izquierda inversa de ƒ sobre B . Sea la homotopía dada como la composición de homotopías . Entonces podemos encontrar una homotopía K desde la homotopía pJ hasta la homotopía constante . Como p es una fibración, podemos elevar K a, digamos, L . Podemos terminar dando la vuelta al borde correspondiente a J :$estilo de visualización k_{1}$${\displaystyle J:k_{1}f\sim h_{1}=\nombre del operador {id} _{D}}$${\displaystyle k_{1}f\sim f=h_{0}\sim \nombre del operador {id} _{D}}$$estilo de visualización pk_{1}=ph_{1}}$

${\displaystyle k_{1}f=J_{0}=L_{0,0}\sim _{B}L_{0,1}\sim _{B}L_{1,1}\sim _{B} L_ {1,0} = J_ {1} = \ nombre del operador {id} .}$

• May, J. Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . Chicago Lectures in Mathematics. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51182-0. OCLC  41266205. (Ver capítulo 6.){{cite book}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )