Teorema de representabilidad de Brown

En matemáticas, el teorema de representabilidad de Brown en la teoría de homotopía ^[1] da las condiciones necesarias y suficientes para que un funtor contravariante F en la categoría de homotopía Hotc de complejos CW conexos puntiagudos , a la categoría de conjuntos Set , sea un funtor representable .

Más específicamente, se nos da

F : Hotc ^op → Establecer ,

y hay ciertas condiciones obviamente necesarias para que F sea del tipo Hom (—, C ), con C un complejo CW conexo puntiagudo que puede deducirse únicamente de la teoría de categorías . El enunciado de la parte sustantiva del teorema es que estas condiciones necesarias son entonces suficientes. Por razones técnicas, el teorema se enuncia a menudo para funtores de la categoría de conjuntos puntiagudos ; en otras palabras, a los conjuntos también se les da un punto base.

El teorema de representabilidad para complejos CW, de Edgar H. Brown , ^[2] es el siguiente. Supóngase que:

1. El functor F asigna coproductos (es decir, sumas de cuñas ) en Hotc a productos en Set :${\displaystyle F(\vee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \prod _{\alpha }F(X_{\alpha }),}$
2. El funtor F asigna los empujes de homotopía en Hotc a retrocesos débiles . Esto se enuncia a menudo como un axioma de Mayer-Vietoris : para cualquier complejo CW W cubierto por dos subcomplejos U y V , y cualesquiera elementos u ∈ F ( U ), v ∈ F ( V ) tales que u y v se restrinjan al mismo elemento de F ( U ∩ V ), hay un elemento w ∈ F ( W ) que se restringe a u y v , respectivamente.

Entonces F es representable por algún complejo CW C , es decir que hay un isomorfismo

F ( Z ) ≅ Hom _Hotc ( Z , C )

para cualquier complejo CW Z , lo cual es natural en Z en cuanto a que para cualquier morfismo de Z a otro complejo CW Y las funciones inducidas F ( Y ) → F ( Z ) y Hom _Hot ( Y , C ) → Hom _Hot ( Z , C ) son compatibles con estos isomorfismos.

La afirmación inversa también es válida: cualquier funtor representado por un complejo CW satisface las dos propiedades anteriores. Esta dirección es una consecuencia inmediata de la teoría de categorías básica, por lo que la parte más profunda e interesante de la equivalencia es la otra implicación.

Se puede demostrar que el objeto representativo C anterior depende funcionalmente de F : cualquier transformación natural de F en otro funtor que satisfaga las condiciones del teorema induce necesariamente una función de los objetos representativos. Esto es una consecuencia del lema de Yoneda .

Si tomamos F ( X ) como el grupo de cohomología singular H ⁱ ( X , A ) con coeficientes en un grupo abeliano dado A , para i fijo > 0, entonces el espacio que representa a F es el espacio de Eilenberg-MacLane K ( A , i ). Esto proporciona un medio para demostrar la existencia de espacios de Eilenberg-MacLane.

Dado que la categoría de homotopía de los complejos CW es equivalente a la localización de la categoría de todos los espacios topológicos en las equivalencias de homotopía débiles , el teorema puede enunciarse de manera equivalente para funtores en una categoría definida de esta manera.

Sin embargo, el teorema es falso sin la restricción a espacios puntiagudos conexos , y una afirmación análoga para espacios no puntiagudos también es falsa. ^[3]

Sin embargo, una afirmación similar se aplica a los espectros en lugar de a los complejos CW. Brown también demostró una versión categórica general del teorema de representabilidad, ^[4] que incluye tanto la versión para complejos CW conexos puntiagudos como la versión para espectros.

Una versión del teorema de representabilidad en el caso de categorías trianguladas se debe a Amnon Neeman. ^[5] Junto con la observación anterior, proporciona un criterio para que un funtor (covariante) F : C → D entre categorías trianguladas que satisfacen ciertas condiciones técnicas tenga un funtor adjunto derecho . Es decir, si C y D son categorías trianguladas con C generada de forma compacta y F un funtor triangulado que conmuta con sumas directas arbitrarias, entonces F es un adjunto izquierdo. Neeman ha aplicado esto para demostrar el teorema de dualidad de Grothendieck en geometría algebraica.

Jacob Lurie ha demostrado una versión del teorema de representabilidad de Brown ^[6] para la categoría de homotopía de una cuasicategoría puntiaguda con un conjunto compacto de generadores que son objetos cogrupo en la categoría de homotopía. Por ejemplo, esto se aplica a la categoría de homotopía de complejos CW puntiagudos y conexos, así como a la categoría derivada no acotada de una categoría abeliana de Grothendieck (en vista del refinamiento categórico superior de Lurie de la categoría derivada).