Grupo fundamental

En el campo matemático de la topología algebraica , el grupo fundamental de un espacio topológico es el grupo de las clases de equivalencia bajo la homotopía de los bucles contenidos en el espacio. Registra información sobre la forma básica, o agujeros, del espacio topológico. El grupo fundamental es el primer y más simple grupo de homotopía . El grupo fundamental es un invariante de homotopía : los espacios topológicos que son homotópicamente equivalentes (o el caso más fuerte de homeomorfos ) tienen grupos fundamentales isomorfos . El grupo fundamental de un espacio topológico se denota por .${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización: pi _{1}(X)}$

Partimos de un espacio (por ejemplo, una superficie ), de un punto en él y de todos los bucles que empiezan y acaban en ese punto: caminos que empiezan en ese punto, recorren el espacio y finalmente vuelven al punto de partida. Dos bucles se pueden combinar de una manera obvia: recorriendo el primer bucle y luego el segundo. Dos bucles se consideran equivalentes si uno puede deformarse en el otro sin romperse. El conjunto de todos esos bucles con este método de combinación y esta equivalencia entre ellos es el grupo fundamental para ese espacio en particular.

Henri Poincaré definió el grupo fundamental en 1895 en su artículo " Análisis del sitio ". ^[1] El concepto surgió en la teoría de superficies de Riemann , en el trabajo de Bernhard Riemann , Poincaré y Felix Klein . Describe las propiedades de monodromía de funciones de valores complejos , además de proporcionar una clasificación topológica completa de superficies cerradas .

En este artículo, X es un espacio topológico. Un ejemplo típico es una superficie como la que se muestra a la derecha. Además, es un punto en X llamado punto base . (Como se explica a continuación, su papel es más bien auxiliar). La idea de la definición del grupo de homotopía es medir cuántas curvas (en términos generales) en X pueden deformarse entre sí. La definición precisa depende de la noción de homotopía de bucles, que se explica primero.$estilo de visualización x_{0}}$

Dado un espacio topológico X , un bucle basado en$estilo de visualización x_{0}}$ se define como una función continua (también conocida como mapa continuo).

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

de modo que el punto inicial y el punto final sean ambos iguales a .${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle \gamma (1)}$$estilo de visualización x_{0}}$

Una homotopía es una interpolación continua entre dos bucles. Más precisamente, una homotopía entre dos bucles (basados ​​en el mismo punto ) es una función continua${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$$estilo de visualización x_{0}}$

${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$

de tal manera que

• $estilo de visualización h(0,t)=x_{0}}$Para todo lo que es, el punto de partida de la homotopía es para todo t (que a menudo se considera un parámetro de tiempo).${\displaystyle t\en [0,1],}$$estilo de visualización x_{0}}$
• $estilo de visualización h(1,t)=x_{0}}$Para todo lo que es, de manera similar el punto final permanece en para todo t .${\displaystyle t\en [0,1],}$$estilo de visualización x_{0}}$
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r),\,h(r,1)=\gamma '(r)}$Para todos .${\displaystyle r\en [0,1]}$

Si existe tal homotopía h , y se dice que son homotópicos . La relación " es homotópica con " es una relación de equivalencia, de modo que el conjunto de clases de equivalencia puede considerarse:${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle \gamma '}$${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle \gamma '}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{todos los bucles}}\gamma {\text{ basados ​​en }}x_{0}\}/{\text{homotopía}}}$.

Este conjunto (con la estructura de grupo descrita a continuación) se denomina grupo fundamental del espacio topológico X en el punto base . El propósito de considerar las clases de equivalencia de bucles hasta la homotopía, en oposición al conjunto de todos los bucles (el llamado espacio de bucles de X ) es que este último, si bien es útil para varios propósitos, es un objeto bastante grande y difícil de manejar. Por el contrario, el cociente anterior es, en muchos casos, más manejable y computable.$estilo de visualización x_{0}}$

Según la definición anterior, es simplemente un conjunto. Se convierte en un grupo (y por lo tanto merece el nombre de grupo fundamental ) utilizando la concatenación de bucles. Más precisamente, dados dos bucles , su producto se define como el bucle$estilo de visualización {\pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}}$

De esta manera, el bucle primero sigue al bucle con "el doble de velocidad" y luego sigue con "el doble de velocidad".${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$

El producto de dos clases de homotopía de bucles y se define entonces como . Se puede demostrar que este producto no depende de la elección de representantes y, por lo tanto, da una operación bien definida en el conjunto . Esta operación se convierte en un grupo. Su elemento neutro es el bucle constante, que permanece en para todos los tiempos t . El inverso de un bucle (clase de homotopía de a) es el mismo bucle, pero recorrido en la dirección opuesta. Más formalmente,${\displaystyle [\gamma _{0}]}$${\displaystyle [\gamma _{1}]}$${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)}$.

Dados tres bucles de base, el producto${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

es la concatenación de estos bucles, recorriendo primero una velocidad cuádruple y luego una velocidad doble. En comparación,${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

recorre los mismos caminos (en el mismo orden), pero con el doble de velocidad y con el cuádruple de velocidad. Por lo tanto, debido a las diferentes velocidades, los dos caminos no son idénticos. El axioma de asociatividad${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

Por lo tanto, depende de manera crucial del hecho de que se consideren los caminos hasta la homotopía. De hecho, ambos compuestos anteriores son homotópicos, por ejemplo, para el bucle que recorre los tres bucles con una velocidad triple. El conjunto de bucles de base hasta la homotopía, equipado con la operación anterior, por lo tanto, se convierte en un grupo.${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

Aunque el grupo fundamental depende en general de la elección del punto base, resulta que, salvo isomorfismo (en realidad, incluso hasta isomorfismo interno ), esta elección no supone ninguna diferencia siempre que el espacio X sea conexo por trayectorias . Por tanto, para espacios conexos por trayectorias, muchos autores escriben en lugar de${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}).}$

En esta sección se enumeran algunos ejemplos básicos de grupos fundamentales. Para empezar, en el espacio euclidiano ( ) o en cualquier subconjunto convexo de sólo hay una clase de homotopía de bucles, y el grupo fundamental es, por tanto, el grupo trivial con un elemento. De manera más general, cualquier dominio estelar –y, aún más general, cualquier espacio contráctil– tiene un grupo fundamental trivial. Por tanto, el grupo fundamental no distingue entre dichos espacios.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Un espacio conexo por caminos cuyo grupo fundamental es trivial se llama simplemente conexo . Por ejemplo, la 2-esfera representada a la derecha, y también todas las esferas de dimensiones superiores , son simplemente conexas. La figura ilustra una homotopía que contrae un bucle particular al bucle constante. Esta idea se puede adaptar a todos los bucles tales que hay un punto que no está en la imagen de Sin embargo, dado que hay bucles tales que (construidos a partir de la curva de Peano , por ejemplo), una prueba completa requiere un análisis más cuidadoso con herramientas de la topología algebraica, como el teorema de Seifert-van Kampen o el teorema de aproximación celular .${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$${\displaystyle \gamma .}$${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$

El círculo (también conocido como 1-esfera)

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

no está simplemente conexo. En cambio, cada clase de homotopía consta de todos los bucles que giran alrededor del círculo un número dado de veces (que puede ser positivo o negativo, dependiendo de la dirección de giro). El producto de un bucle que gira alrededor de m veces y otro que gira alrededor de n veces es un bucle que gira alrededor de m + n veces. Por lo tanto, el grupo fundamental del círculo es isomorfo al grupo aditivo de los números enteros . Este hecho se puede utilizar para dar pruebas del teorema del punto fijo de Brouwer ^[2] y del teorema de Borsuk-Ulam en dimensión 2. ^[3]${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$

El grupo fundamental del ocho es el grupo libre de dos letras. La idea para demostrarlo es la siguiente: eligiendo como punto base el punto en el que se encuentran las dos circunferencias (punteado en negro en la imagen de la derecha), cualquier bucle se puede descomponer como${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

donde a y b son los dos bucles que se enrollan alrededor de cada mitad de la figura como se muestra, y los exponentes son números enteros. A diferencia del grupo fundamental de la figura, el ocho no es abeliano : las dos formas de componer a y b no son homotópicas entre sí:${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$${\displaystyle \pi _{1}(S^{1}),}$

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].}$

De manera más general, el grupo fundamental de un ramo de r círculos es el grupo libre de r letras.

El grupo fundamental de una suma en cuña de dos espacios conectados por trayectorias X e Y se puede calcular como el producto libre de los grupos fundamentales individuales:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

Esto generaliza las observaciones anteriores, ya que la figura ocho es la suma en cuña de dos círculos.

El grupo fundamental del plano perforado en n puntos es también el grupo libre con n generadores. El i -ésimo generador es la clase del bucle que gira alrededor de la i -ésima perforación sin girar alrededor de ninguna otra perforación.

El grupo fundamental también puede definirse para estructuras discretas. En particular, considere un grafo conexo G = ( V , E ) , con un vértice designado v ₀ en V . Los bucles en G son los ciclos que comienzan y terminan en v ₀ . ^[4] Sea T un árbol de expansión de G . Cada bucle simple en G contiene exactamente una arista en E \ T ; cada bucle en G es una concatenación de tales bucles simples. Por lo tanto, el grupo fundamental de un grafo es un grupo libre , en el que el número de generadores es exactamente el número de aristas en E \ T . Este número es igual a | E | − | V | + 1 . ^[5]

Por ejemplo, supongamos que G tiene 16 vértices dispuestos en 4 filas de 4 vértices cada una, con aristas que conectan vértices que son adyacentes horizontal o verticalmente. Entonces G tiene 24 aristas en total, y el número de aristas en cada árbol de expansión es 16 − 1 = 15 , por lo que el grupo fundamental de G es el grupo libre con 9 generadores. ^[6] Nótese que G tiene 9 "agujeros", de manera similar a un ramo de 9 círculos, que tiene el mismo grupo fundamental.

Los grupos de nudos son por definición el grupo fundamental del complemento de un nudo incrustado enPor ejemplo, se sabe que el grupo de nudos del nudo trilobulado es el grupo trenzado , lo que da otro ejemplo de un grupo fundamental no abeliano. La presentación de Wirtinger describe explícitamente los grupos de nudos en términos de generadores y relaciones basadas en un diagrama del nudo. Por lo tanto, los grupos de nudos tienen algún uso en la teoría de nudos para distinguir entre nudos: sino es isomorfo a algún otro grupo de nudosde otro nudo, entoncesno se puede transformar en. Por lo tanto, el nudo trilobulado no se puede transformar continuamente en el círculo (también conocido como el nudo desuniforme ), ya que este último tiene un grupo de nudos. Sin embargo, hay nudos que no se pueden deformar entre sí, pero tienen grupos de nudos isomorfos.${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle B_{3},}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El grupo fundamental de una superficie orientable de género n se puede calcular en términos de generadores y relaciones como

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

Esto incluye al toro , siendo el caso del género 1, cuyo grupo fundamental es

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.}$

El grupo fundamental de un grupo topológico X (con respecto al punto base que es el elemento neutro) es siempre conmutativo. En particular, el grupo fundamental de un grupo de Lie es conmutativo. De hecho, la estructura de grupo en X proporciona otra estructura de grupo: dados dos bucles y en X , se puede definir otro bucle utilizando la multiplicación de grupos en X : ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma '}$${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$

${\displaystyle (\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).}$

Esta operación binaria sobre el conjunto de todos los bucles es a priori independiente de la descrita anteriormente. Sin embargo, el argumento de Eckmann-Hilton muestra que, de hecho, concuerda con la concatenación de bucles anterior y, además, que la estructura de grupo resultante es abeliana. ^{[7] [8]}${\displaystyle \star }$

Una inspección de la prueba muestra que, de manera más general, es abeliano para cualquier H-espacio X , es decir, la multiplicación no necesita tener una inversa, ni tiene que ser asociativa. Por ejemplo, esto muestra que el grupo fundamental de un espacio de bucles de otro espacio topológico Y , es abeliano. Ideas relacionadas conducen al cálculo de Heinz Hopf de la cohomología de un grupo de Lie .${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X=\Omega (Y),}$

Si es una función continua , y con entonces cada bucle en con punto base puede ser compuesto con para producir un bucle en con punto base Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopía y con la composición de bucles. El homomorfismo de grupo resultante , llamado homomorfismo inducido , se escribe como o, más comúnmente,${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y_{0}\in Y}$${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y_{0}.}$${\displaystyle \pi (f)}$

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Esta aplicación de morfismos continuos a homomorfismos de grupo es compatible con la composición de morfismos y morfismos identidad . En el lenguaje de la teoría de categorías , la formación de asociar a un espacio topológico su grupo fundamental es, por tanto, un funtor.

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}}$

de la categoría de espacios topológicos junto con un punto base a la categoría de grupos . Resulta que este funtor no distingue entre morfismos homotópicos con respecto al punto base: si son morfismos continuos con , y f y g son homotópicos con respecto a { x ₀ }, entonces f _∗ = g _∗ . En consecuencia, dos espacios homotópicamente equivalentes y conexos por trayectorias tienen grupos fundamentales isomorfos:${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})=y_{0}}$

${\displaystyle X\simeq Y\implies \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Por ejemplo, la inclusión del círculo en el plano perforado.

${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$

es una equivalencia de homotopía y por lo tanto produce un isomorfismo de sus grupos fundamentales.

El funtor de grupo fundamental convierte productos en productos y coproductos en coproductos . Es decir, si X e Y están conectados por caminos, entonces

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0})}$

y si también son localmente contráctiles , entonces

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

(En la última fórmula, denota la suma de cuña de espacios topológicos puntiagudos y el producto libre de grupos). La última fórmula es un caso especial del teorema de Seifert-van Kampen , que establece que el funtor de grupo fundamental lleva los empujes a lo largo de las inclusiones a los empujes.${\displaystyle \vee }$${\displaystyle *}$

Como se mencionó anteriormente, calcular el grupo fundamental de espacios topológicos incluso relativamente simples tiende a no ser completamente trivial, sino que requiere algunos métodos de topología algebraica .

La abelianización del grupo fundamental puede identificarse con el primer grupo de homología del espacio.

Un caso especial del teorema de Hurewicz afirma que el primer grupo de homología singular es, coloquialmente hablando, la aproximación más cercana al grupo fundamental por medio de un grupo abeliano. En más detalle, al mapear la clase de homotopía de cada bucle a la clase de homología del bucle se obtiene un homomorfismo de grupo.${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$

del grupo fundamental de un espacio topológico X a su primer grupo de homología singular Este homomorfismo no es en general un isomorfismo ya que el grupo fundamental puede ser no abeliano, pero el grupo de homología es, por definición, siempre abeliano. Esta diferencia es, sin embargo, la única: si X está conexo por caminos, este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo es el subgrupo conmutador del grupo fundamental, por lo que es isomorfo a la abelianización del grupo fundamental. ^[9]${\displaystyle H_{1}(X).}$${\displaystyle H_{1}(X)}$

Generalizando la afirmación anterior, para una familia de espacios conexos por caminos el grupo fundamental es el producto libre de los grupos fundamentales de los ^[10] Este hecho es un caso especial del teorema de Seifert–van Kampen , que permite calcular, de forma más general, grupos fundamentales de espacios que se pegan entre sí a partir de otros espacios. Por ejemplo, la 2-esfera se puede obtener pegando dos copias de semiesferas ligeramente superpuestas a lo largo de una vecindad del ecuador . En este caso el teorema da como resultado que es trivial, ya que las dos semiesferas son contráctiles y, por lo tanto, tienen un grupo fundamental trivial. Los grupos fundamentales de superficies, como se mencionó anteriormente, también se pueden calcular utilizando este teorema.${\displaystyle X_{i},}$${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})}$

En el lenguaje de la teoría de categorías, el teorema se puede enunciar de manera concisa diciendo que el funtor de grupo fundamental toma expulsiones (en la categoría de espacios topológicos) a lo largo de las inclusiones a expulsiones (en la categoría de grupos). ^[11]

Dado un espacio topológico B , una función continua

${\displaystyle f:E\to B}$

se llama un recubrimiento o E se llama un espacio de recubrimiento de B si cada punto b en B admite un entorno abierto U tal que existe un homeomorfismo entre la preimagen de U y una unión disjunta de copias de U (indexada por algún conjunto I ),

${\displaystyle \varphi :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}$

de tal manera que es el mapa de proyección estándar ^[12]${\displaystyle \pi \circ \varphi }$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$

Una cobertura se denomina cobertura universal si E es, además de la condición precedente, simplemente conexa. ^[13] Es universal en el sentido de que todas las demás coberturas se pueden construir identificando adecuadamente los puntos en E . Conociendo una cobertura universal

${\displaystyle p:{\widetilde {X}}\to X}$

de un espacio topológico X es útil para comprender su grupo fundamental de varias maneras: primero, se identifica con el grupo de transformaciones de cubierta , es decir, el grupo de homeomorfismos que conmutan con el mapa a X , es decir, Otra relación con el grupo fundamental es que se puede identificar con la fibra Por ejemplo, el mapa${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \varphi :{\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$${\displaystyle p\circ \varphi =p.}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle p^{-1}(x).}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1},\,t\mapsto \exp(2\pi it)}$

(o, equivalentemente, ) es una cubierta universal. Las transformaciones de la cubierta son los mapas para Esto está en línea con la identificación en particular esto prueba la afirmación anterior${\displaystyle \pi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\ t\mapsto [t]}$${\displaystyle t\mapsto t+n}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle p^{-1}(1)=\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} .}$

Cualquier espacio topológico X conexo por caminos, conexo localmente por caminos y conexo localmente simplemente admite una cobertura universal. [14] Una construcción abstracta procede de manera análoga al grupo fundamental tomando pares ( x , γ), donde x es un punto ^en X y γ es una clase de homotopía de caminos desde x ₀ a x . El paso de un espacio topológico a su cobertura universal se puede utilizar para comprender la geometría de X . Por ejemplo, el teorema de uniformización muestra que cualquier superficie de Riemann simplemente conexa es (isomorfa a) o al semiplano superior . ^[15] Las superficies de Riemann generales surgen entonces como cocientes de acciones de grupo sobre estas tres superficies.${\displaystyle S^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

El cociente de una acción libre de un grupo discreto G sobre un espacio simplemente conexo Y tiene grupo fundamental

${\displaystyle \pi _{1}(Y/G)\cong G.}$

A modo de ejemplo, el espacio proyectivo real n -dimensional se obtiene como cociente de la esfera unitaria n -dimensional por la acción antípoda del grupo que envía a Como es simplemente conexo para n ≥ 2, es una cobertura universal de en estos casos, lo que implica para n ≥ 2. ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\displaystyle -x.}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n})\cong \mathbb {Z} /2}$

Sea G un grupo de Lie compacto , conexo y simplemente conexo , por ejemplo, el grupo unitario especial SU( n ), y sea Γ un subgrupo finito de G . Entonces el espacio homogéneo X  =  G /Γ tiene grupo fundamental Γ, que actúa por multiplicación por la derecha sobre el espacio recubridor universal G . Entre las muchas variantes de esta construcción, una de las más importantes está dada por los espacios localmente simétricos X  = Γ \ G / K , donde

• G es un grupo de Lie conexo, no compacto, simplemente conexo (a menudo semisimple ),
• K es un subgrupo compacto máximo de G
• Γ es un subgrupo discreto , contable y libre de torsión de G.

En este caso el grupo fundamental es Γ y el espacio de recubrimiento universal G / K es realmente contráctil (por la descomposición de Cartan para grupos de Lie).

Como ejemplo tomemos G  = SL(2, R ), K = SO(2) y Γ cualquier subgrupo de congruencia  libre de torsión del grupo modular SL(2, Z ).

De la realización explícita se sigue también que el espacio de recubrimiento universal de un grupo topológico conexo por trayectorias H es a su vez un grupo topológico conexo por trayectorias G . Además, la función de recubrimiento es un homomorfismo abierto continuo de G sobre H con núcleo Γ, un subgrupo normal discreto cerrado de G :

${\displaystyle 1\to \Gamma \to G\to H\to 1.}$

Como G es un grupo conexo con una acción continua por conjugación sobre un grupo discreto Γ, debe actuar de manera trivial, de modo que Γ tiene que ser un subgrupo del centro de G . En particular π ₁ ( H ) = Γ es un grupo abeliano ; esto también se puede ver fácilmente de manera directa sin usar espacios de recubrimiento. El grupo G se llama grupo de recubrimiento universal de  H .

Como lo sugiere el grupo de recubrimiento universal, existe una analogía entre el grupo fundamental de un grupo topológico y el centro de un grupo; esto se explica en Red de grupos de recubrimiento .

Las fibraciones proporcionan un medio muy poderoso para calcular grupos de homotopía. Una fibración f es el llamado espacio total , y el espacio base B tiene, en particular, la propiedad de que todas sus fibrasson homotópicamente equivalentes y, por lo tanto, no se pueden distinguir utilizando grupos fundamentales (y grupos de homotopía superiores), siempre que B esté conectado por trayectorias. ^[16] Por lo tanto, el espacio E puede considerarse como un " producto retorcido " del espacio base B y la fibra La gran importancia de las fibraciones para el cálculo de grupos de homotopía se deriva de una secuencia exacta larga${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)}$

siempre que B esté conexo por trayectorias. ^[17] El término es el segundo grupo de homotopía de B , que se define como el conjunto de clases de homotopía de mapas de a B , en analogía directa con la definición de${\displaystyle \pi _{2}(B)}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{1}.}$

Si E resulta estar conexo por trayectorias y simplemente conexo, esta secuencia se reduce a un isomorfismo.

${\displaystyle \pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)}$

lo que generaliza el hecho anterior sobre el recubrimiento universal (que equivale al caso en el que la fibra F también es discreta). Si, en cambio, F resulta ser conexa y simplemente conexa, se reduce a un isomorfismo

${\displaystyle \pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).}$

Es más, la secuencia puede continuar a la izquierda con los grupos de homotopía superiores de los tres espacios, lo que da cierto acceso al cálculo de dichos grupos en la misma línea.${\displaystyle \pi _{n}}$

Estas secuencias de fibras se pueden utilizar para calcular inductivamente grupos fundamentales de grupos de Lie clásicos compactos, como el grupo unitario especial con Este grupo actúa transitivamente sobre la esfera unitaria en el interior El estabilizador de un punto en la esfera es isomorfo a Luego se puede demostrar ^[18] que esto produce una secuencia de fibras${\displaystyle \mathrm {SU} (n),}$${\displaystyle n\geq 2.}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}.}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1).}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1)\to \mathrm {SU} (n)\to S^{2n-1}.}$

Dado que la esfera tiene una dimensión de al menos 3, lo que implica ${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle S^{2n-1}}$

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2n-1})\cong \pi _{2}(S^{2n-1})=1.}$

La secuencia larga y exacta muestra entonces un isomorfismo.

${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (n))\cong \pi _{1}(\mathrm {SU} (n-1)).}$

Dado que es un solo punto, por lo que es trivial, esto demuestra que está simplemente conectado para todos${\displaystyle \mathrm {SU} (1)}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (1))}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle n.}$

El grupo fundamental de grupos de Lie no compactos se puede reducir al caso compacto, ya que dicho grupo es homotópico a su subgrupo compacto máximo. ^[19] Estos métodos dan los siguientes resultados: ^[20]

Grupo de Lie clásico compacto G	Grupo de Lie no compacto	${\displaystyle \pi _{1}}$
grupo unitario especial${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$	1
grupo unitario ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ),\mathrm {Sp} (n,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
grupo ortogonal especial ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$por y para${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n=2}$
grupo simpléctico compacto ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {C} )}$	1

Un segundo método para calcular grupos fundamentales se aplica a todos los grupos de Lie compactos conexos y utiliza la maquinaria del toro maximal y el sistema raíz asociado . Específicamente, sea un toro maximal en un grupo de Lie compacto conexo y sea el álgebra de Lie de La función exponencial${\displaystyle T}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle T.}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {t}}\to T}$

es una fibración y por lo tanto su núcleo se identifica con El mapa${\displaystyle \Gamma \subset {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle \pi _{1}(T).}$

${\displaystyle \pi _{1}(T)\to \pi _{1}(K)}$

se puede demostrar que es sobreyectiva ^[21] con núcleo dado por el conjunto I de combinación lineal entera de co-raíces . Esto conduce al cálculo

${\displaystyle \pi _{1}(K)\cong \Gamma /I.}$^[22]

Este método muestra, por ejemplo, que cualquier grupo de Lie compacto conexo para el cual el sistema raíz asociado es de tipo${\displaystyle G_{2}}$ es simplemente conexo. ^[23] Por lo tanto, hay (hasta el isomorfismo) sólo un grupo de Lie compacto conexo que tiene álgebra de Lie de tipo ; este grupo es simplemente conexo y tiene centro trivial.${\displaystyle G_{2}}$

Cuando el espacio topológico es homeomorfo a un complejo simplicial , su grupo fundamental puede describirse explícitamente en términos de generadores y relaciones .

Si X es un complejo simplicial conexo , un camino de aristas en X se define como una cadena de vértices conectados por aristas en X . Se dice que dos caminos de aristas son equivalentes en aristas si uno se puede obtener del otro alternando sucesivamente entre una arista y las dos aristas opuestas de un triángulo en X . Si v es un vértice fijo en X , un bucle de aristas en v es un camino de aristas que empieza y termina en v . El grupo de caminos de aristas E ( X ,  v ) se define como el conjunto de clases de equivalencia de aristas de bucles de aristas en v , con producto e inverso definidos por concatenación e inversión de bucles de aristas.

El grupo de caminos de aristas es naturalmente isomorfo a π ₁ (| X  |,  v ), el grupo fundamental de la realización geométrica | X  | de X . ^[24] Dado que depende únicamente del 2-esqueleto X ² de X (es decir, los vértices, aristas y triángulos de X ), los grupos π ₁ (| X  |, v ) y π ₁ (| X ² |,  v ) son isomorfos.

El grupo de caminos de aristas se puede describir explícitamente en términos de generadores y relaciones . Si T es un árbol de expansión máxima en el 1-esqueleto de X , entonces E ( X ,  v ) es canónicamente isomorfo al grupo con generadores (los caminos de aristas orientados de X que no ocurren en T ) y relaciones (las equivalencias de aristas correspondientes a triángulos en X ). Un resultado similar se cumple si T se reemplaza por cualquier subcomplejo simplemente conexo —en particular contráctil— de X. Esto a menudo proporciona una forma práctica de calcular grupos fundamentales y se puede utilizar para mostrar que cada grupo presentado finitamente surge como el grupo fundamental de un complejo simplicial finito. También es uno de los métodos clásicos utilizados para superficies topológicas , que se clasifican por sus grupos fundamentales.

El espacio de recubrimiento universal de un complejo simplicial conexo finito X también puede describirse directamente como un complejo simplicial utilizando caminos de aristas. Sus vértices son pares ( w ,γ) donde w es un vértice de X y γ es una clase de caminos de equivalencia de aristas de v a w . Los k -símplices que contienen ( w ,γ) corresponden naturalmente a los k -símplices que contienen w . Cada nuevo vértice u del k -símplice da una arista wu y, por lo tanto, por concatenación, un nuevo camino γ _u de v a u . Los puntos ( w ,γ) y ( u , γ _u ) son los vértices del símplice "transportado" en el espacio de recubrimiento universal. El grupo de caminos de aristas actúa naturalmente por concatenación, preservando la estructura simplicial, y el espacio cociente es simplemente X .

Es bien sabido que este método también puede utilizarse para calcular el grupo fundamental de un espacio topológico arbitrario. Esto era sin duda conocido por Eduard Čech y Jean Leray y apareció explícitamente como una observación en un artículo de André Weil ; ^[25] varios otros autores como Lorenzo Calabi, Wu Wen-tsün y Nodar Berikashvili también han publicado demostraciones. En el caso más simple de un espacio compacto X con una envoltura abierta finita en el que todas las intersecciones finitas no vacías de conjuntos abiertos en la envoltura son contráctiles, el grupo fundamental puede identificarse con el grupo de aristas-trayectorias del complejo simplicial correspondiente al nervio de la envoltura .

• Cada grupo puede ser realizado como el grupo fundamental de un complejo CW conexo de dimensión 2 (o superior). Sin embargo, como se señaló anteriormente, solo los grupos libres pueden presentarse como grupos fundamentales de complejos CW unidimensionales (es decir, grafos).
• Todo grupo finitamente presentado puede ser realizado como el grupo fundamental de una variedad compacta , conexa y suave de dimensión 4 (o superior). Pero existen severas restricciones sobre qué grupos ocurren como grupos fundamentales de variedades de baja dimensión. Por ejemplo, ningún grupo abeliano libre de rango 4 o superior puede ser realizado como el grupo fundamental de una variedad de dimensión 3 o menor. Se puede demostrar que todo grupo puede ser realizado como el grupo fundamental de un espacio de Hausdorff compacto si y solo si no hay cardinal medible . ^[26]

En términos generales, el grupo fundamental detecta la estructura de huecos unidimensional de un espacio, pero no los huecos de dimensiones superiores, como en el caso de la 2-esfera. Dichos "huecos de dimensiones superiores" se pueden detectar utilizando los grupos de homotopía superiores , que se definen como clases de homotopía de funciones (que preservan el punto base) de a X . Por ejemplo, el teorema de Hurewicz implica que para todo el n -ésimo grupo de homotopía de la n -esfera es${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})=\mathbb {Z} .}$^[27]

Como se mencionó en el cálculo anterior de los grupos de Lie clásicos, los grupos de homotopía superior pueden ser relevantes incluso para el cálculo de grupos fundamentales.${\displaystyle \pi _{1}}$

El conjunto de bucles basados ​​(tal como es, es decir, no llevados hasta la homotopía) en un espacio puntiagudo X , dotado de la topología abierta compacta , se conoce como espacio de bucles , denotado El grupo fundamental de X está en biyección con el conjunto de componentes de trayectoria de su espacio de bucles: ^[28]${\displaystyle \Omega X.}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).}$

El grupoide fundamental es una variante del grupo fundamental que resulta útil en situaciones en las que la elección de un punto base no es deseable. Se define considerando primero la categoría de trayectorias en , por ejemplo, funciones continuas.${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,r]\to X}$,

donde r es un número real arbitrario no negativo. Dado que la longitud r es variable en este enfoque, dichos caminos se pueden concatenar tal como están (es decir, no hasta la homotopía) y, por lo tanto, producir una categoría. ^[29] Dos de estos caminos con los mismos puntos finales y longitud r , respectivamente r' se consideran equivalentes si existen números reales tales que y son homotópicos en relación con sus puntos finales, donde ^{[30] [31]}${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$${\displaystyle u,v\geqslant 0}$${\displaystyle r+u=r'+v}$${\displaystyle \gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X}$${\displaystyle \gamma _{u}(t)={\begin{cases}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u].\end{cases}}}$

La categoría de caminos hasta esta relación de equivalencia se denota Cada morfismo en es un isomorfismo , con inversa dada por el mismo camino recorrido en la dirección opuesta. Tal categoría se llama grupoide . Reproduce el grupo fundamental ya que${\displaystyle \Pi (X).}$${\displaystyle \Pi (X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi (X)}(x_{0},x_{0})}$.

De manera más general, se puede considerar el grupoide fundamental sobre un conjunto A de puntos base, elegidos de acuerdo con la geometría de la situación; por ejemplo, en el caso del círculo, que se puede representar como la unión de dos conjuntos abiertos conexos cuya intersección tiene dos componentes, se puede elegir un punto base en cada componente. El teorema de van Kampen admite una versión para los grupoides fundamentales que da, por ejemplo, otra forma de calcular el grupo(oide) fundamental de ^[32]${\displaystyle S^{1}.}$

En términos generales, las representaciones pueden servir para exhibir características de un grupo por sus acciones sobre otros objetos matemáticos, a menudo espacios vectoriales . Las representaciones del grupo fundamental tienen un significado muy geométrico: cualquier sistema local (es decir, un haz en X con la propiedad de que localmente en un vecindario suficientemente pequeño U de cualquier punto en X , la restricción de F es un haz constante de la forma ) da lugar a la llamada representación de monodromía, una representación del grupo fundamental en un espacio vectorial n - dimensional . A la inversa , cualquier representación de este tipo en un espacio X conexo por trayectorias surge de esta manera. ^[33] Esta equivalencia de categorías entre representaciones de y sistemas locales se utiliza, por ejemplo, en el estudio de ecuaciones diferenciales , como las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}=\mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

En geometría algebraica , el llamado grupo fundamental étale se utiliza como reemplazo del grupo fundamental. ^[34] Dado que la topología de Zariski en una variedad algebraica o esquema X es mucho más burda que, digamos, la topología de subconjuntos abiertos en ella ya no tiene sentido considerar aplicaciones continuas de un intervalo a X . En cambio, el enfoque desarrollado por Grothendieck consiste en construir considerando todas las cubiertas étale finitas de X . Estas sirven como un análogo algebro-geométrico de las cubiertas con fibras finitas.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \pi _{1}^{\text{et}}}$

Esto produce una teoría aplicable en situaciones en las que no se dispone de ninguna intuición topológica clásica de gran generalidad, por ejemplo para variedades definidas sobre un cuerpo finito . Además, el grupo fundamental étale de un cuerpo es su grupo de Galois ( absoluto ) . Por otra parte, para variedades suaves X sobre los números complejos, el grupo fundamental étale retiene gran parte de la información inherente al grupo fundamental clásico: el primero es la completitud profinita del segundo. ^[35]

Se define el grupo fundamental de un sistema de raíces , en analogía al cálculo para grupos de Lie. ^[36] Esto permite definir y utilizar el grupo fundamental de un grupo algebraico lineal semisimple G , que es una herramienta básica útil en la clasificación de grupos algebraicos lineales. ^[37]

La relación de homotopía entre 1-símplices de un conjunto simplicial X es una relación de equivalencia si X es un complejo Kan pero no necesariamente así en general. ^[38] Por lo tanto, de un complejo Kan puede definirse como el conjunto de clases de homotopía de 1-símplices. El grupo fundamental de un conjunto simplicial arbitrario X se define como el grupo de homotopía de su realización topológica, es decir, el espacio topológico obtenido al unir los símplices topológicos según lo prescrito por la estructura del conjunto simplicial de X. ^[39 ]${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle |X|,}$

• Grupo fundamental orbifold
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• Dylan GL Allegretti, Conjuntos simpliciales y teorema de van Kampen: una discusión del grupoide fundamental de un espacio topológico y el grupoide fundamental de un conjunto simplicial
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