Cohomología

En matemáticas , específicamente en teoría de homología y topología algebraica , la cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos , generalmente uno asociado con un espacio topológico , a menudo definido a partir de un complejo de cocadenas . La cohomología puede verse como un método para asignar invariantes algebraicos más ricos a un espacio que la homología. Algunas versiones de la cohomología surgen al dualizar la construcción de la homología. En otras palabras, las cocadenas son funciones en el grupo de cadenas en la teoría de la homología.

Desde sus inicios en la topología , esta idea se convirtió en un método dominante en las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. A partir de la idea inicial de la homología como un método de construcción de invariantes algebraicos de espacios topológicos, el rango de aplicaciones de las teorías de homología y cohomología se ha extendido por toda la geometría y el álgebra . La terminología tiende a ocultar el hecho de que la cohomología, una teoría contravariante , es más natural que la homología en muchas aplicaciones. En un nivel básico, esto tiene que ver con funciones y pullbacks en situaciones geométricas: dados los espacios X e Y , y algún tipo de función F en Y , para cualquier aplicación f  : X → Y , la composición con f da lugar a una función F ∘ f en X. Las teorías de cohomología más importantes tienen un producto, el producto de copa , que les da una estructura de anillo . Debido a esta característica, la cohomología suele ser un invariante más fuerte que la homología.

La cohomología singular es un invariante poderoso en topología, que asocia un anillo conmutativo graduado con cualquier espacio topológico. Cada función continua determina un homomorfismo del anillo de cohomología de al de ; esto impone fuertes restricciones a las posibles funciones de a . A diferencia de invariantes más sutiles como los grupos de homotopía , el anillo de cohomología tiende a ser computable en la práctica para espacios de interés.${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$

Para un espacio topológico , la definición de cohomología singular comienza con el complejo de cadena singular : ^[1] Por definición, la homología singular de es la homología de este complejo de cadena (el núcleo de un homomorfismo módulo la imagen del anterior). En más detalle, es el grupo abeliano libre en el conjunto de aplicaciones continuas del -símplice estándar a (llamados " -símplices singulares en "), y es el -ésimo homomorfismo de frontera. Los grupos son cero para negativo.${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización C_{i}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \parcial _{i}}$${\estilo de visualización i}$$Estilo de visualización C_{i}$${\estilo de visualización i}$

Ahora fija un grupo abeliano y reemplaza cada grupo por su grupo dual y por su homomorfismo dual.${\estilo de visualización A}$$Estilo de visualización C_{i}$ ${\displaystyle C_{i}^{*}=\mathrm {Hom} (C_{i},A),}$${\displaystyle \parcial _{i}}$$${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

Esto tiene el efecto de "invertir todas las flechas" del complejo original, dejando un complejo de cocadena.$${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

Para un entero , el grupo de cohomología ⁿ .° de con coeficientes en se define como y se denota por . El grupo es cero para negativo. Los elementos de se denominan -cocadenas singulares con coeficientes en . (De manera equivalente, una -cocadena en se puede identificar con una función del conjunto de -símplices singulares en a .) Los elementos de y se denominan cociclos y colímites , respectivamente, mientras que los elementos de se denominan clases de cohomología (porque son clases de equivalencia de cociclos).${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización i}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})}$$Estilo de visualización H^{i}(X,A)}$$Estilo de visualización H^{i}(X,A)}$${\estilo de visualización i}$$Estilo de visualización C_{i}^{*}}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \ker(d)}$${\displaystyle {\textrm {im}}(d)}$${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)}$

En lo que sigue, el grupo de coeficientes a veces no se escribe. Es común tomar como un anillo conmutativo ; entonces los grupos de cohomología son - módulos . Una opción estándar es el anillo de números enteros .${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

Algunas de las propiedades formales de la cohomología son sólo variantes menores de las propiedades de la homología:

• Una función continua determina un homomorfismo de empuje hacia adelante en la homología y un homomorfismo de retroceso en la cohomología. Esto convierte a la cohomología en un funtor contravariante desde espacios topológicos hasta grupos abelianos (o -módulos).${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$${\estilo de visualización R}$
• Dos mapas homotópicos de inducen el mismo homomorfismo en cohomología (al igual que en homología).${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$
• La sucesión de Mayer-Vietoris es una herramienta computacional importante en cohomología, al igual que en homología. Nótese que el homomorfismo de borde aumenta (en lugar de disminuir) el grado en cohomología. Es decir, si un espacio es la unión de subconjuntos abiertos y , entonces hay una sucesión exacta larga :${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización V}$$${\displaystyle \cdots \a H^{i}(X)\a H^{i}(U)\omás H^{i}(V)\a H^{i}(U\cap V)\a H^{i+1}(X)\a \cdots }$$
• Existen grupos de cohomología relativa para cualquier subespacio de un espacio . Están relacionados con los grupos de cohomología habituales mediante una secuencia larga y exacta:$Estilo de visualización H^{i}(X,Y;A)}$ ${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle \cdots \a H^{i}(X,Y)\a H^{i}(X)\a H^{i}(Y)\a H^{i+1}(X,Y)\a \cdots }$$
• El teorema del coeficiente universal describe la cohomología en términos de homología, utilizando grupos Ext . Es decir, hay una secuencia exacta corta. Una afirmación relacionada es que para un cuerpo , es precisamente el espacio dual del espacio vectorial .$${\displaystyle 0\to \nombredeloperador {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\nombredeloperador {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \nombredeloperador {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$ ${\estilo de visualización F}$$Estilo de visualización H^{i}(X,F)}$ ${\displaystyle H_{i}(X,F)}$
• Si es una variedad topológica o un complejo CW , entonces los grupos de cohomología son cero para mayores que la dimensión de . ^[2] Si es una variedad compacta (posiblemente con borde), o un complejo CW con un número finito de celdas en cada dimensión, y es un anillo noetheriano conmutativo , entonces el -módulo se genera finitamente para cada . ^[3]${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización H^{i}(X,A)}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización R}$$Estilo de visualización H^{i}(X,R)}$${\estilo de visualización i}$

Por otra parte, la cohomología tiene una estructura crucial que la homología no tiene: para cualquier espacio topológico y anillo conmutativo , existe una función bilineal , llamada producto de copa : definida por una fórmula explícita sobre cocadenas singulares. El producto de las clases de cohomología y se escribe como o simplemente como . Este producto convierte la suma directa en un anillo graduado , llamado anillo de cohomología de . Es graduado-conmutativo en el sentido de que: ^[4]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización R}$$${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle u\cup v}$${\estilo de visualización uv}$$${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

Para cualquier función continua, el pullback es un homomorfismo de álgebras graduadas . De ello se deduce que si dos espacios son homotópicamente equivalentes , entonces sus anillos de cohomología son isomorfos.${\displaystyle f\colon X\to Y,}$${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$${\estilo de visualización R}$

A continuación se presentan algunas de las interpretaciones geométricas del producto taza. En lo que sigue, se entiende que las variedades no tienen límite, a menos que se indique lo contrario. Una variedad cerrada significa una variedad compacta (sin límite), mientras que una subvariedad cerrada N de una variedad M significa una subvariedad que es un subconjunto cerrado de M , no necesariamente compacto (aunque N es automáticamente compacto si M lo es).

• Sea X una variedad orientada cerrada de dimensión n . Entonces la dualidad de Poincaré da un isomorfismo H ⁱ X ≅ H _{n − i} X . Como resultado, una subvariedad orientada cerrada S de codimensión i en X determina una clase de cohomología en H ⁱ X , llamada [ S ]. En estos términos, el producto de copa describe la intersección de subvariedades. Es decir, si S y T son subvariedades de codimensión i y j que se intersecan transversalmente , entonces donde la intersección S ∩ T es una subvariedad de codimensión i + j , con una orientación determinada por las orientaciones de S , T y X . En el caso de variedades suaves , si S y T no se intersecan transversalmente, esta fórmula todavía se puede usar para calcular el producto de copa [ S ][ T ], perturbando S o T para hacer que la intersección sea transversal.$${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\en H^{i+j}(X),}$$
  De manera más general, sin suponer que X tiene una orientación, una subvariedad cerrada de X con una orientación en su fibrado normal determina una clase de cohomología en X . Si X es una variedad no compacta, entonces una subvariedad cerrada (no necesariamente compacta) determina una clase de cohomología en X . En ambos casos, el producto de copa puede describirse nuevamente en términos de intersecciones de subvariedades.
  Nótese que Thom construyó una clase de cohomología integral de grado 7 en una variedad 14-suave que no es la clase de ninguna subvariedad suave. ^[5] Por otra parte, demostró que cada clase de cohomología integral de grado positivo en una variedad suave tiene un múltiplo positivo que es la clase de una subvariedad suave. ^[6] Además, cada clase de cohomología integral en una variedad puede ser representada por una "pseudovariedad", es decir, un complejo simplicial que es una variedad fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2.
• Para una variedad suave X , el teorema de de Rham dice que la cohomología singular de X con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de de Rham de X , definida usando formas diferenciales . El producto de copa corresponde al producto de formas diferenciales. Esta interpretación tiene la ventaja de que el producto en formas diferenciales es conmutativo-graduado, mientras que el producto en cocadenas singulares solo es conmutativo-graduado hasta la homotopía de cadena . De hecho, es imposible modificar la definición de cocadenas singulares con coeficientes en los enteros o en para un número primo p para hacer que el producto sea conmutativo-graduado en la nariz. La falla de la conmutatividad graduada a nivel de cocadena conduce a las operaciones de Steenrod en la cohomología mod p .${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

De manera muy informal, para cualquier espacio topológico X , los elementos de pueden considerarse como representados por subespacios de codimensión i de X que pueden moverse libremente en X . Por ejemplo, una forma de definir un elemento de es dar una función continua f de X a una variedad M y una subvariedad cerrada de codimensión i N de M con una orientación en el fibrado normal. De manera informal, se piensa que la clase resultante se encuentra en el subespacio de X ; esto se justifica en que la clase se restringe a cero en la cohomología del subconjunto abierto La clase de cohomología puede moverse libremente en X en el sentido de que N podría reemplazarse por cualquier deformación continua de N dentro de M .$Estilo de visualización H^{i}(X)}$$Estilo de visualización H^{i}(X)}$${\displaystyle f^{*}([N])\en H^{i}(X)}$$Estilo de visualización f-1(N)$$estilo f^{*}([N])}$${\displaystyle Xf^{-1}(N).}$$estilo f^{*}([N])}$

En lo que sigue, se toma cohomología con coeficientes en los números enteros Z , a menos que se indique lo contrario.

• El anillo de cohomología de un punto es el anillo Z en grado 0. Por invariancia de homotopía, este es también el anillo de cohomología de cualquier espacio contráctil , como el espacio euclidiano R ⁿ .

• 

  Para un entero positivo n , el anillo de cohomología de la esfera es Z [ x ]/( x ² ) (el anillo cociente de un anillo polinomial por el ideal dado ), con x en grado n . En términos de la dualidad de Poincaré como se indicó anteriormente, x es la clase de un punto en la esfera.$Estilo de visualización Sn$
• El anillo de cohomología del toro es el álgebra exterior sobre Z en n generadores de grado 1. ^[7] Por ejemplo, sea P un punto en el círculo y Q el punto ( P , P ) en el toro bidimensional . Entonces la cohomología de ( S ¹ ) ² tiene una base como un Z -módulo libre de la forma: el elemento 1 en grado 0, x  := [ P × S ¹ ] e y  := [ S ¹ × P ] en grado 1, y xy = [ Q ] en grado 2. (Implícitamente, las orientaciones del toro y de los dos círculos se han fijado aquí). Nótese que yx = − xy = −[ Q ], por conmutatividad graduada.${\displaystyle (S^{1})^{n}}$$Estilo de visualización S1$${\estilo de visualización (S^{1})^{2}}$
• De manera más general, sea R un anillo conmutativo, y sean X e Y espacios topológicos cualesquiera tales que H ^* ( X , R ) sea un módulo R libre finitamente generado en cada grado. (No se necesita ninguna suposición sobre Y .) Entonces la fórmula de Künneth da que el anillo de cohomología del espacio de producto X × Y es un producto tensorial de R -álgebras: ^[8] $${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• El anillo de cohomología del espacio proyectivo real RP ⁿ con coeficientes Z /2 es Z /2[ x ]/( x ^{n +1} ), con x en grado 1. ^[9] Aquí x es la clase de un hiperplano RP ^{n −1} en RP ⁿ ; esto tiene sentido aunque RP ^j no sea orientable para j par y positivo, porque la dualidad de Poincaré con coeficientes Z /2 funciona para variedades arbitrarias.
  Con coeficientes enteros, la respuesta es un poco más complicada. La cohomología Z de RP ^{2 a} tiene un elemento y de grado 2 tal que toda la cohomología es la suma directa de una copia de Z abarcada por el elemento 1 en grado 0 junto con copias de Z /2 abarcadas por los elementos y ⁱ para i =1,..., a . La cohomología Z de RP ^{2 a +1} es la misma junto con una copia adicional de Z en grado 2 a +1. ^[10]
• El anillo de cohomología del espacio proyectivo complejo CP ⁿ es Z [ x ]/( x ^{n +1} ), con x en grado 2. ^[9] Aquí x es la clase de un hiperplano CP ^{n −1} en CP ⁿ . De manera más general, x ^j es la clase de un subespacio lineal CP ^{n − j} en CP ⁿ .
• El anillo de cohomología de la superficie orientada cerrada X de género g ≥ 0 tiene una base como un módulo Z libre de la forma: el elemento 1 en grado 0, A ₁ ,..., A _g y B ₁ ,..., B _g en grado 1, y la clase P de un punto en grado 2. El producto está dado por: A _i A _j = B _i B _j = 0 para todo i y j , A _i B _j = 0 si i ≠ j , y A _i B _i = P para todo i . ^[11] Por conmutatividad graduada, se sigue que B _i A _i = − P .
• En cualquier espacio topológico, la conmutatividad gradual del anillo de cohomología implica que 2 x ² = 0 para todas las clases de cohomología de grado impar x . De ello se deduce que para un anillo R que contiene 1/2, todos los elementos de grado impar de H ^* ( X , R ) tienen el cuadrado cero. Por otra parte, los elementos de grado impar no necesitan tener el cuadrado cero si R es Z /2 o Z , como se ve en el ejemplo de RP ² (con coeficientes Z /2) o RP ⁴ × RP ² (con coeficientes Z ).

El producto de copa en cohomología puede verse como proveniente de la función diagonal Δ: X → X × X , x ↦ ( x , x ). Es decir, para cualquier espacio X e Y con clases de cohomología u ∈ H ⁱ ( X , R ) y v ∈ H ^j ( Y , R ), existe una clase de cohomología de producto externo (o producto vectorial ) u × v ∈ H ^{i + j} ( X × Y , R ). El producto de copa de las clases u ∈ H ⁱ ( X , R ) y v ∈ H ^j ( X , R ) puede definirse como el pullback del producto externo por la diagonal: ^[12]$${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\en H^{i+j}(X,R).}$$

Alternativamente, el producto externo puede definirse en términos del producto de copa. Para los espacios X e Y , escriba f : X × Y → X y g : X × Y → Y para las dos proyecciones. Entonces, el producto externo de las clases u ∈ H ⁱ ( X , R ) y v ∈ H ^j ( Y , R ) es:$${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\en H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

Otra interpretación de la dualidad de Poincaré es que el anillo de cohomología de una variedad orientada cerrada es autodual en un sentido fuerte. Es decir, sea X una variedad orientada, conexa y cerrada de dimensión n y sea F un cuerpo. Entonces H ⁿ ( X , F ) es isomorfo a F y el producto

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{ni}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

es un emparejamiento perfecto para cada entero i . ^[13] En particular, los espacios vectoriales H ⁱ ( X , F ) y H ^{n − i} ( X , F ) tienen la misma dimensión (finita). Asimismo, el producto sobre cohomología integral módulo torsión con valores en H ⁿ ( X , Z ) ≅ Z es un emparejamiento perfecto sobre Z .

Un fibrado vectorial real orientado E de rango r sobre un espacio topológico X determina una clase de cohomología sobre X , la clase de Euler χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ). De manera informal, la clase de Euler es la clase del conjunto cero de una sección general de E . Esa interpretación puede hacerse más explícita cuando E es un fibrado vectorial liso sobre una variedad lisa X , ya que entonces una sección lisa general de X se desvanece en una subvariedad codimensional r de X .

Existen otros tipos de clases características para los fibrados vectoriales que toman valores en cohomología, incluidas las clases de Chern , las clases de Stiefel–Whitney y las clases de Pontryagin .

Para cada grupo abeliano A y número natural j , existe un espacio cuyo j -ésimo grupo de homotopía es isomorfo a A y cuyos otros grupos de homotopía son cero. Este espacio se denomina espacio de Eilenberg–MacLane . Este espacio tiene la notable propiedad de ser un espacio clasificatorio para la cohomología: existe un elemento natural u de , y cada clase de cohomología de grado j en cada espacio X es el retroceso de u por alguna función continua . Más precisamente, el retroceso de la clase u da una biyección${\displaystyle K(A,j)}$${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$${\displaystyle X\to K(A,j)}$

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

para cada espacio X con el tipo de homotopía de un complejo CW. ^[14] Aquí denota el conjunto de clases de homotopía de mapas continuos de X a Y .${\displaystyle [X,Y]}$

Por ejemplo, el espacio (definido hasta la equivalencia de homotopía) puede tomarse como el círculo . Por lo tanto, la descripción anterior dice que cada elemento de se retira de la clase u de un punto en mediante algún mapa .${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X\to S^{1}}$

Hay una descripción relacionada de la primera cohomología con coeficientes en cualquier grupo abeliano A , digamos para un complejo CW X . Es decir, está en correspondencia biunívoca con el conjunto de clases de isomorfismo de los espacios de recubrimiento de Galois de X con grupo A , también llamados fibrados A principales sobre X . Para X conexo, se sigue que es isomorfo a , donde es el grupo fundamental de X . Por ejemplo, clasifica los espacios de recubrimiento doble de X , con el elemento correspondiente al recubrimiento doble trivial, la unión disjunta de dos copias de X .${\displaystyle H^{1}(X,A)}$${\displaystyle H^{1}(X,A)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$

Para cualquier espacio topológico X , el producto cap es una función bilineal

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

para cualquier número entero i y j y cualquier anillo conmutativo R. La función resultante

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

convierte la homología singular de X en un módulo sobre el anillo de cohomología singular de X.

Para i = j , el producto de tapa da el homomorfismo natural

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

lo cual es un isomorfismo para un campo R.

Por ejemplo, sea X una variedad orientada, no necesariamente compacta. Entonces, una subvariedad codimensional i cerrada y orientada Y de X (no necesariamente compacta) determina un elemento de H ⁱ ( X , R ), y una subvariedad jdimensional compacta y orientada Z de X determina un elemento de H _j ( X , R ). El producto límite [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) se puede calcular perturbando Y y Z para hacer que se intersequen transversalmente y luego tomando la clase de su intersección, que es una subvariedad orientada compacta de dimensión j − i .

Una variedad orientada cerrada X de dimensión n tiene una clase fundamental [ X ] en H _n ( X , R ). El isomorfismo de dualidad de Poincaré se define por el producto de límites con la clase fundamental de X .$${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$

Aunque la cohomología es fundamental para la topología algebraica moderna, su importancia no se vio hasta unos 40 años después del desarrollo de la homología. El concepto de estructura celular dual , que Henri Poincaré utilizó en su demostración de su teorema de dualidad de Poincaré, contenía el comienzo de la idea de la cohomología, pero esto no se vio hasta más tarde.

Hubo varios precursores de la cohomología. ^[15] A mediados de la década de 1920, JW Alexander y Solomon Lefschetz fundaron la teoría de intersección de ciclos en variedades. En una variedad n -dimensional cerrada y orientada M, un i -ciclo y un j -ciclo con intersección no vacía tendrán como intersección , si están en la posición general , un ( i  +  j  −  n )-ciclo. Esto conduce a una multiplicación de clases de homología.

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

que (en retrospectiva) puede identificarse con el producto de copa en la cohomología de M .

^{En 1930 ,} Alexander había definido una primera noción de cocadena, al pensar en una i -cocadena en un espacio X como una función de pequeños vecindarios de la diagonal en Xi ⁺¹ .

En 1931, Georges de Rham relacionó la homología con las formas diferenciales y demostró el teorema de De Rham . Este resultado puede expresarse de forma más sencilla en términos de cohomología.

En 1934, Lev Pontryagin demostró el teorema de dualidad de Pontryagin , un resultado sobre grupos topológicos . Esto (en casos bastante especiales) proporcionó una interpretación de la dualidad de Poincaré y la dualidad de Alexander en términos de caracteres de grupo .

En una conferencia de 1935 en Moscú , Andrey Kolmogorov y Alexander introdujeron la cohomología e intentaron construir una estructura de producto de cohomología.

En 1936, Norman Steenrod construyó la cohomología de Čech dualizando la homología de Čech.

Entre 1936 y 1938, Hassler Whitney y Eduard Čech desarrollaron el producto de copa (convirtiendo la cohomología en un anillo graduado) y el producto de tapa , y se dieron cuenta de que la dualidad de Poincaré se puede expresar en términos del producto de tapa. Su teoría todavía estaba limitada a complejos de celdas finitas.

En 1944, Samuel Eilenberg superó las limitaciones técnicas y dio la definición moderna de homología y cohomología singulares.

En 1945, Eilenberg y Steenrod enunciaron los axiomas que definen una teoría de homología o cohomología, que se analizan a continuación. En su libro de 1952, Foundations of Algebraic Topology , demostraron que las teorías de homología y cohomología existentes sí satisfacían sus axiomas.

En 1946, Jean Leray definió la cohomología de haces.

En 1948, Edwin Spanier , basándose en el trabajo de Alexander y Kolmogorov, desarrolló la cohomología Alexander-Spanier .

La cohomología de haces es una generalización rica de la cohomología singular, que permite "coeficientes" más generales que simplemente un grupo abeliano. Para cada haz de grupos abelianos E en un espacio topológico X , uno tiene grupos de cohomología H ⁱ ( X , E ) para números enteros i . En particular, en el caso del haz constante en X asociado con un grupo abeliano A , los grupos resultantes H ⁱ ( X , A ) coinciden con la cohomología singular para X una variedad o complejo CW (aunque no para espacios arbitrarios X ). A partir de la década de 1950, la cohomología de haces se ha convertido en una parte central de la geometría algebraica y el análisis complejo , en parte debido a la importancia del haz de funciones regulares o el haz de funciones holomorfas .

Grothendieck definió y caracterizó elegantemente la cohomología de haces en el lenguaje del álgebra homológica . El punto esencial es fijar el espacio X y pensar en la cohomología de haces como un funtor de la categoría abeliana de haces sobre X a grupos abelianos. Comience con el funtor que lleva un haz E sobre X a su grupo abeliano de secciones globales sobre X , E ( X ). Este funtor es exacto a la izquierda , pero no necesariamente exacto a la derecha. Grothendieck definió los grupos de cohomología de haces como los funtores derivados a la derecha del funtor exacto a la izquierda E ↦ E ( X ). ^[16]

Esa definición sugiere varias generalizaciones. Por ejemplo, se puede definir la cohomología de un espacio topológico X con coeficientes en cualquier complejo de haces, antes llamada hipercohomología (pero ahora normalmente simplemente "cohomología"). Desde ese punto de vista, la cohomología de haces se convierte en una secuencia de funtores de la categoría derivada de haces en X a grupos abelianos.

En un sentido amplio de la palabra, "cohomología" se utiliza a menudo para los funtores derivados por la derecha de un funtor exacto por la izquierda en una categoría abeliana, mientras que "homología" se utiliza para los funtores derivados por la izquierda de un funtor exacto por la derecha. Por ejemplo, para un anillo R , los grupos Tor Tor _i ^R ( M , N ) forman una "teoría de homología" en cada variable, los funtores derivados por la izquierda del producto tensorial M ⊗ _R N de R -módulos. Del mismo modo, los grupos Ext Ext ⁱ _R ( M , N ) pueden verse como una "teoría de cohomología" en cada variable, los funtores derivados por la derecha del funtor Hom Hom _R ( M , N ).

La cohomología de haces se puede identificar con un tipo de grupo Ext. Es decir, para un haz E en un espacio topológico X , H ⁱ ( X , E ) es isomorfo a Ext ⁱ ( Z _X , E ), donde Z _X denota el haz constante asociado con los enteros Z , y Ext se toma en la categoría abeliana de haces en X .

Existen numerosas máquinas diseñadas para calcular la cohomología de variedades algebraicas . El caso más simple es la determinación de la cohomología para variedades proyectivas suaves sobre un cuerpo de características . Las herramientas de la teoría de Hodge , llamadas estructuras de Hodge , ayudan a realizar cálculos de cohomología de estos tipos de variedades (con la adición de información más refinada). En el caso más simple, la cohomología de una hipersuperficie suave en se puede determinar solo a partir del grado del polinomio. ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Al considerar variedades sobre un cuerpo finito , o un cuerpo de característica , se requieren herramientas más poderosas porque las definiciones clásicas de homología/cohomología se rompen. Esto se debe a que las variedades sobre cuerpos finitos solo serán un conjunto finito de puntos. Grothendieck propuso la idea de una topología de Grothendieck y utilizó la cohomología de haces sobre la topología étale para definir la teoría de cohomología para variedades sobre un cuerpo finito. Usando la topología étale para una variedad sobre un cuerpo de característica se puede construir una cohomología -ádica para . Esto se define como el límite proyectivo${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell \neq p}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }.}$

Si tenemos un esquema de tipo finito

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

entonces existe una igualdad de dimensiones para la cohomología de Betti de y la cohomología -ádica de siempre que la variedad sea uniforme en ambos cuerpos. Además de estas teorías de cohomología, existen otras teorías de cohomología llamadas teorías de cohomología de Weil que se comportan de manera similar a la cohomología singular. Existe una teoría conjeturada de los motivos que subyace a todas las teorías de cohomología de Weil.${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$

Otra herramienta computacional útil es la secuencia de explosión. Dado un subesquema de codimensión, existe un cuadrado cartesiano${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle Z\subset X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

A partir de esto se asocia una secuencia larga y exacta.

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

Si la subvariedad es suave, entonces los morfismos de conexión son todos triviales, por lo tanto${\displaystyle Z}$

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

Hay varias maneras de definir la cohomología para espacios topológicos (como la cohomología singular, la cohomología de Čech , la cohomología de Alexander–Spanier o la cohomología de haces ). (Aquí la cohomología de haces se considera solo con coeficientes en un haces constante). Estas teorías dan diferentes respuestas para algunos espacios, pero hay una gran clase de espacios en los que todas concuerdan. Esto se entiende más fácilmente axiomáticamente: hay una lista de propiedades conocidas como los axiomas de Eilenberg–Steenrod , y dos construcciones cualesquiera que compartan esas propiedades concordarán al menos en todos los complejos CW. ^[17] Hay versiones de los axiomas para una teoría de homología así como para una teoría de cohomología. Algunas teorías pueden considerarse herramientas para calcular la cohomología singular para espacios topológicos especiales, como la cohomología simplicial para complejos simpliciales , la cohomología celular para complejos CW y la cohomología de De Rham para variedades suaves.

Uno de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para una teoría de cohomología es el axioma de dimensión : si P es un único punto, entonces H ⁱ ( P ) = 0 para todo i ≠ 0. Alrededor de 1960, George W. Whitehead observó que es fructífero omitir por completo el axioma de dimensión: esto da la noción de una teoría de homología generalizada o una teoría de cohomología generalizada, definida a continuación. Existen teorías de cohomología generalizadas como la teoría K o el cobordismo complejo que brindan información rica sobre un espacio topológico, no directamente accesible desde la cohomología singular. (En este contexto, la cohomología singular a menudo se denomina "cohomología ordinaria").

Por definición, una teoría de homología generalizada es una secuencia de funtores h _i (para enteros i ) desde la categoría de pares CW ( X ,  A ) (por lo que X es un complejo CW y A es un subcomplejo) a la categoría de grupos abelianos, junto con una transformación natural ∂ _i : h _i ( X , A ) → h _{i −1} ( A ) llamada homomorfismo de frontera (aquí h _{i −1} ( A ) es una abreviatura de h _{i −1} ( A ,∅)). Los axiomas son:

1. Homotopía : Si es homotópico a , entonces los homomorfismos inducidos en homología son los mismos.${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$
2. Exactitud : Cada par ( X , A ) induce una secuencia larga y exacta en homología, a través de las inclusiones f : A → X y g : ( X ,∅) → ( X , A ) :$${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$$
3. Escisión : Si X es la unión de los subcomplejos A y B , entonces la inclusión f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) induce un isomorfismopara cada i .$${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$$
4. Aditividad : Si ( X , A ) es la unión disjunta de un conjunto de pares ( X _α , A _α ), entonces las inclusiones ( X _α , A _α ) → ( X , A ) inducen un isomorfismo a partir de la suma directa : para cada i .$${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$$

Los axiomas para una teoría de cohomología generalizada se obtienen invirtiendo las flechas, en términos generales. En más detalle, una teoría de cohomología generalizada es una secuencia de funtores contravariantes h ⁱ (para enteros i ) de la categoría de pares CW a la categoría de grupos abelianos, junto con una transformación natural d : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A ) llamada homomorfismo de frontera (escribiendo h ⁱ ( A ) para h ⁱ ( A ,∅)). Los axiomas son:

1. Homotopía : Los mapas homotópicos inducen el mismo homomorfismo en la cohomología.
2. Exactitud : Cada par ( X , A ) induce una secuencia larga y exacta en cohomología, a través de las inclusiones f : A → X y g : ( X ,∅) → ( X , A ):$${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. Escisión : Si X es la unión de los subcomplejos A y B , entonces la inclusión f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) induce un isomorfismo para cada i .$${\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$$
4. Aditividad : Si ( X , A ) es la unión disjunta de un conjunto de pares ( X _α , A _α ), entonces las inclusiones ( X _α , A _α ) → ( X , A ) inducen un isomorfismo al grupo de productos : para cada i .$${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$$

Un espectro determina tanto una teoría de homología generalizada como una teoría de cohomología generalizada. Un resultado fundamental de Brown, Whitehead y Adams dice que toda teoría de homología generalizada proviene de un espectro, y de la misma manera toda teoría de cohomología generalizada proviene de un espectro. ^[18] Esto generaliza la representabilidad de la cohomología ordinaria mediante espacios de Eilenberg-MacLane.

Un punto sutil es que el funtor de la categoría de homotopía estable (la categoría de homotopía de espectros) a las teorías de homología generalizadas en pares CW no es una equivalencia, aunque da una biyección en clases de isomorfismo; hay mapas distintos de cero en la categoría de homotopía estable (llamados mapas fantasma ) que inducen el mapa cero entre teorías de homología en pares CW. Del mismo modo, el funtor de la categoría de homotopía estable a las teorías de cohomología generalizadas en pares CW no es una equivalencia. ^[19] Es la categoría de homotopía estable, no estas otras categorías, la que tiene buenas propiedades como estar triangulada .

Si se prefiere que las teorías de homología o cohomología se definan en todos los espacios topológicos en lugar de en complejos CW, un enfoque estándar es incluir el axioma de que cada equivalencia de homotopía débil induce un isomorfismo en la homología o cohomología. (Esto es cierto para la homología singular o la cohomología singular, pero no para la cohomología de haces, por ejemplo). Dado que cada espacio admite una equivalencia de homotopía débil a partir de un complejo CW, este axioma reduce las teorías de homología o cohomología en todos los espacios a la teoría correspondiente en complejos CW. ^[20]

Algunos ejemplos de teorías de cohomología generalizada son:

• Grupos de cohomotopía estables La teoría de homología correspondiente se utiliza con más frecuencia: grupos de homotopía estables${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$ ${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• Existen varios tipos diferentes de grupos de cobordismo , basados ​​en el estudio de un espacio considerando todas las aplicaciones de este en variedades: cobordismo no orientado, cobordismo orientado, cobordismo complejo , etc. El cobordismo complejo ha resultado ser especialmente poderoso en la teoría de la homotopía. Está estrechamente relacionado con los grupos formales , a través de un teorema de Daniel Quillen .${\displaystyle MO^{*}(X)}$${\displaystyle MSO^{*}(X),}$ ${\displaystyle MU^{*}(X),}$
• Existen diversos tipos de teoría K topológica , basados ​​en el estudio de un espacio considerando todos los fibrados vectoriales que lo componen: (teoría K periódica real), (teoría K conectiva real), (teoría K periódica compleja), (teoría K conectiva compleja), etcétera.${\displaystyle KO^{*}(X)}$${\displaystyle ko^{*}(X)}$${\displaystyle K^{*}(X)}$${\displaystyle ku^{*}(X)}$
• Cohomología de Brown-Peterson , teoría K de Morava , teoría E de Morava y otras teorías construidas a partir del cobordismo complejo.
• Diversos tipos de cohomología elíptica .

Muchas de estas teorías contienen información más rica que la cohomología ordinaria, pero son más difíciles de calcular.

Se dice que una teoría de cohomología E es multiplicativa si tiene la estructura de un anillo graduado para cada espacio X. En el lenguaje de los espectros, existen varias nociones más precisas de un espectro de anillo , como un espectro de anillo E _∞ , donde el producto es conmutativo y asociativo en un sentido fuerte.${\displaystyle E^{*}(X)}$

Las teorías de cohomología en un sentido más amplio (invariantes de otras estructuras algebraicas o geométricas, en lugar de espacios topológicos) incluyen:

• teoría de cohomología orientada a complejos

• Dieudonné, Jean (1989), Historia de la topología algebraica y diferencial , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3388-X, Sr.  0995842
• Dold, Albrecht (1972), Conferencias sobre topología algebraica , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58660-9, Sr.  0415602
• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman (1952), Fundamentos de topología algebraica , Princeton University Press , ISBN 9780691627236, Sr.  0050886
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 52, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, Sr.  1867354
• "Cohomología", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994].
• May, J. Peter (1999), Un curso conciso de topología algebraica (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 0-226-51182-0, Sr.  1702278
• Switzer, Robert (1975), Topología algebraica: homología y homotopía , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42750-3, Sr.  0385836
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi :10.1007/BF02566923, MR  0061823, S2CID  120243638