Disco unitario

En matemáticas , el disco unitario abierto (o disco ) alrededor de P (donde P es un punto dado en el plano ), es el conjunto de puntos cuya distancia a P es menor que 1:

${\displaystyle D_{1}(P)=\{Q:\vert PQ\vert <1\}.\,}$

El disco unitario cerrado alrededor de P es el conjunto de puntos cuya distancia a P es menor o igual a uno:

${\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|PQ|\leq 1\}.\,}$

Los discos unitarios son casos especiales de discos y bolas unitarias ; como tales, contienen el interior del círculo unitario y, en el caso del disco unitario cerrado, el círculo unitario mismo.

Sin más especificaciones, se utiliza el término disco unidad para el disco unidad abierto alrededor del origen , , con respecto a la métrica euclidiana estándar . Es el interior de un círculo de radio 1, centrado en el origen. Este conjunto se puede identificar con el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno. Cuando se ve como un subconjunto del plano complejo ( C ), el disco unidad a menudo se denota .$estilo de visualización D_{1}(0)}$${\displaystyle \mathbb {D}}$

La función

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}}$

es un ejemplo de una función analítica y biyectiva real del disco unitario abierto al plano; su función inversa también es analítica. Considerado como una variedad analítica bidimensional real , el disco unitario abierto es, por lo tanto, isomorfo a todo el plano. En particular, el disco unitario abierto es homeomorfo a todo el plano.

Sin embargo, no existe una función biyectiva conforme entre el disco unitario abierto y el plano. Considerado como una superficie de Riemann , el disco unitario abierto es, por lo tanto, diferente del plano complejo .

Existen funciones biyectivas conformes entre el disco unitario abierto y el semiplano superior abierto . Por lo tanto, considerado como una superficie de Riemann, el disco unitario abierto es isomorfo ("biholomórfico" o "conformemente equivalente") al semiplano superior, y los dos se usan a menudo indistintamente.

De manera mucho más general, el teorema de aplicación de Riemann establece que cada subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo que sea diferente del plano complejo mismo admite una función conforme y biyectiva en el disco unitario abierto.

Una función conforme biyectiva del disco unitario abierto al semiplano superior abierto es la transformación de Möbius.

${\displaystyle g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}}$   que es la inversa de la transformada de Cayley .

Geométricamente, se puede imaginar que el eje real se dobla y se encoge de modo que el semiplano superior se convierte en el interior del disco y el eje real forma la circunferencia del disco, salvo por un punto en la parte superior, el "punto en el infinito". También se puede construir una función conforme biyectiva desde el disco unitario abierto hasta el semiplano superior abierto como la composición de dos proyecciones estereográficas : primero se proyecta estereográficamente el disco unitario hacia arriba sobre la semiesfera superior unitaria, tomando el "polo sur" de la esfera unitaria como centro de proyección, y luego se proyecta esta semiesfera lateralmente sobre un semiplano vertical que toca la esfera, tomando como centro de proyección el punto de la semiesfera opuesto al punto de contacto.

El disco unitario y el semiplano superior no son intercambiables como dominios para los espacios de Hardy . A esta diferencia contribuye el hecho de que el círculo unitario tiene una medida de Lebesgue finita (unidimensional), mientras que la línea real no la tiene.

El disco unitario abierto forma el conjunto de puntos para el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico. Los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario forman las "líneas" en este modelo. El círculo unitario es el absoluto de Cayley que determina una métrica en el disco mediante el uso de la razón cruzada al estilo de la métrica de Cayley-Klein . En el lenguaje de la geometría diferencial, los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario son geodésicas que muestran la distancia más corta entre puntos en el modelo. El modelo incluye movimientos que se expresan mediante el grupo unitario especial SU(1,1) . El modelo de disco se puede transformar al modelo de semiplano de Poincaré mediante la aplicación g dada anteriormente.

Tanto el disco de Poincaré como el semiplano de Poincaré son modelos conformes del plano hiperbólico, lo que quiere decir que los ángulos entre curvas que se intersecan se conservan mediante los movimientos de sus grupos de isometría.

Otro modelo de espacio hiperbólico también se construye sobre el disco unitario abierto: el modelo de Beltrami-Klein . No es conforme , pero tiene la propiedad de que las geodésicas son líneas rectas.

También se consideran los discos unitarios con respecto a otras métricas . Por ejemplo, con la métrica del taxi y la métrica de Chebyshev, los discos parecen cuadrados (aunque las topologías subyacentes son las mismas que la euclidiana).

El área del disco unitario euclidiano es π y su perímetro es 2π. En contraste, el perímetro (relativo a la métrica del taxi) del disco unitario en la geometría del taxi es 8. En 1932, Stanisław Gołąb demostró que en las métricas que surgen de una norma , el perímetro del disco unitario puede tomar cualquier valor entre 6 y 8, y que estos valores extremos se obtienen si y solo si el disco unitario es un hexágono regular o un paralelogramo , respectivamente.

• Gráfica de disco unitario
• Esfera unitaria
• Teorema de De Branges

• S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Minas Cracovia 6 (1932), 179.

• Weisstein, Eric W. "Unidad de disco". MathWorld .
• Sobre el perímetro y el área del disco unitario, por JC Álvarez Pavia y AC Thompson