Geometría algebraica numérica

La geometría algebraica numérica es un campo de las matemáticas computacionales , particularmente de la geometría algebraica computacional , que utiliza métodos de análisis numérico para estudiar y manipular las soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas . ^{[1] [2] [3]}

El principal método computacional utilizado en la geometría algebraica numérica es la continuación de homotopía, en la que se forma una homotopía entre dos sistemas polinómicos y las soluciones aisladas (puntos) de uno se continúan hasta el otro. Se trata de una especialización del método más general de continuación numérica .

Sea , las variables del sistema se representan como sigue : Por abuso de notación y para facilitar el espectro de espacios ambientales sobre los que se puede resolver el sistema, no utilizamos notación vectorial para . De manera similar, para los sistemas polinómicos y .${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$

La notación canónica actual llama al sistema de partida , y al sistema de destino, es decir, el sistema a resolver, . ^{[4] [5]} Una homotopía muy común, la homotopía de línea recta, entre y es${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$$${\displaystyle H(z,t)=(1-t)f(z)+tg(z).}$$

En la homotopía anterior, la variable de ruta comienza en y continúa hacia . Otra opción común es ir desde hasta . En principio, la elección es completamente arbitraria. En la práctica, en lo que respecta a los métodos de final de juego para calcular soluciones singulares mediante la continuación de la homotopía, el tiempo objetivo puede facilitar significativamente el análisis, por lo que aquí se adopta esta perspectiva. ^[6]${\displaystyle t_{\text{inicio}}=1}$${\displaystyle t_{\text{fin}}=0}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización 0}$

Independientemente de la elección de los tiempos de inicio y de destino, el debe formularse de tal manera que , y .${\estilo de visualización H}$${\displaystyle H(z,t_{\text{inicio}})=g(z)}$${\displaystyle H(z,t_{\text{fin}})=f(z)}$

Uno tiene la posibilidad de elegir entre :${\estilo de visualización g(z)}$

• Raíces de la unidad
• Grado total
• Poliédrico
• Multihomogéneo

y más allá de estos, se pueden formar sistemas de inicio específicos que reflejen fielmente la estructura de para sistemas particulares. La elección del sistema de inicio afecta el tiempo computacional que lleva resolver , en el sentido de que aquellos que son fáciles de formular (como el grado total) tienden a tener una mayor cantidad de caminos para seguir, y aquellos que requieren un esfuerzo significativo (como el método poliédrico) son mucho más precisos. Actualmente no hay una buena manera de predecir cuál conducirá al tiempo más rápido para resolver. ^{[ cita requerida ]}${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$

La continuación real se realiza normalmente mediante métodos predictores-correctores , con características adicionales a medida que se implementan. La predicción se realiza mediante un método predictor de EDO estándar , como Runge-Kutta , y la corrección a menudo utiliza la iteración de Newton-Raphson.

Como y son polinomiales, en teoría se garantiza que la continuación de homotopía en este contexto permite calcular todas las soluciones de , debido al teorema de Bertini . Sin embargo, esta garantía no siempre se logra en la práctica, debido a problemas que surgen de las limitaciones de la computadora moderna, principalmente la precisión finita. Es decir, a pesar de la solidez del argumento de probabilidad 1 que subyace a esta teoría, sin utilizar métodos de seguimiento certificados a priori, algunas rutas pueden no seguirse perfectamente por diversas razones.${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización f}$

Un conjunto testigo es una estructura de datos que se utiliza para describir variedades algebraicas . El conjunto testigo para una variedad afín que es equidimensional consta de tres piezas de información. La primera pieza de información es un sistema de ecuaciones . Estas ecuaciones definen la variedad algebraica que se está estudiando. La segunda pieza de información es un espacio lineal . La dimensión de es la codimensión de y se elige para que se intersequen transversalmente. La tercera pieza de información es la lista de puntos en la intersección . Esta intersección tiene un número finito de puntos y el número de puntos es el grado de la variedad algebraica . Por lo tanto, los conjuntos testigo codifican la respuesta a las dos primeras preguntas que uno se hace sobre una variedad algebraica: ¿Cuál es la dimensión y cuál es el grado? Los conjuntos testigo también permiten realizar una descomposición numérica irreducible, pruebas de pertenencia de componentes y muestreo de componentes. Esto hace que los conjuntos testigo sean una buena descripción de una variedad algebraica.${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle {\mathbf {V}}(F)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathbf {V}}(F)}$${\displaystyle {\mathbf {V}}(F)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\cap {\mathbf {V} }(F)}$${\displaystyle {\mathbf {V}}(F)}$

Las soluciones de sistemas polinómicos calculadas mediante métodos geométricos algebraicos numéricos pueden certificarse , lo que significa que la solución aproximada es "correcta". Esto se puede lograr de varias maneras, ya sea a priori utilizando un rastreador certificado, ^{[7] [8]} o a posteriori mostrando que el punto está, por ejemplo, en la cuenca de convergencia para el método de Newton. ^[9]

Existen varios paquetes de software que implementan partes del cuerpo teórico de la geometría algebraica numérica. Entre ellos se incluyen, en orden alfabético:

• AlfaCertificado ^[9]
• Bertini ^[5]
• Hom4PS ^{[10] [11]}
• HomotopyContinuation.jl ^[12]
• Macaulay2 (implementación básica del seguimiento de homotopía y paquete NumericalAlgebraicGeometry^{[3] )}
• MiNuS: marco de trabajo C++ optimizado para la continuación rápida de homotopías. El solucionador más rápido hasta la fecha para ciertos problemas de grados cuadrados de 100 a 320.
• Paquete PHC ^[13]

• Página de inicio de Bertini
• Hom4PS-3
• HomotopíaContinuación.jl
• Marco de trabajo rápido de C++ MiNuS