Conjunto de cohomotopía

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En matemáticas , particularmente en topología algebraica , los conjuntos de cohomotopía son funtores contravariantes particulares de la categoría de espacios topológicos puntiagudos y aplicaciones continuas que preservan el punto base de la categoría de conjuntos y funciones . Son duales a los grupos de homotopía , pero menos estudiados.

El p -ésimo conjunto de cohomotopía de un espacio topológico puntiagudo X se define por

${\displaystyle \pi ^{p}(X)=[X,S^{p}]}$

el conjunto de clases de homotopía puntiagudas de aplicaciones continuas de a la p - esfera . ^[1]${\estilo de visualización X}$ $Estilo de visualización S^{p}}$

Para p = 1, este conjunto tiene una estructura de grupo abeliano y se denomina grupo de Bruschlinsky . Si es un complejo CW , es isomorfo al primer grupo de cohomología , ya que el círculo es un espacio de Eilenberg–MacLane de tipo . ${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización H^{1}(X)}$ $Estilo de visualización S1$${\displaystyle K(\mathbb {Z},1)}$

Un teorema de Heinz Hopf establece que si es un complejo CW de dimensión como máximo p , entonces está en biyección con el p -ésimo grupo de cohomología .${\estilo de visualización X}$${\displaystyle [X,S^{p}]}$$Estilo de visualización H^{p}(X)}$

El conjunto también tiene una estructura de grupo natural si es una suspensión , como por ejemplo una esfera .${\displaystyle [X,S^{p}]}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle \Sigma Y}$$Estilo de visualización Sq$${\displaystyle q\geq 1}$

Si X no es homotópicamente equivalente a un complejo CW, entonces podría no ser isomorfo a . Un contraejemplo lo da el círculo de Varsovia , cuyo primer grupo de cohomología se anula, pero admite una función para la cual no es homotópica a una función constante. ^[2]$Estilo de visualización H^{1}(X)}$${\estilo de visualización [X,S^{1}]}$$Estilo de visualización S1$

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Algunos datos básicos sobre los conjuntos de cohomotopía, algunos más obvios que otros:

• ${\displaystyle \pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})}$para todos p y q .
• Para y , el grupo es igual a . (Para demostrar este resultado, Lev Pontryagin desarrolló el concepto de cobordismo enmarcado .)${\displaystyle q=p+1}$${\displaystyle p>2}$$estilo de visualización {\pi ^{p}(S^{q})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$
• Si tiene para todo x , entonces , y la homotopía es suave si f y g lo son.${\displaystyle f,g\colon X\to S^{p}}$${\displaystyle \|f(x)-g(x)\|<2}$${\displaystyle [f]=[g]}$
• Para una variedad compacta y suave , es isomorfa al conjunto de clases de homotopía de mapas suaves ; en este caso, cada mapa continuo puede ser aproximado uniformemente por un mapa suave y cualquier mapa suave homotópico será suavemente homotópico.${\estilo de visualización X}$ $Estilo de visualización: pi ^{p}(X)}$${\displaystyle X\to S^{p}}$
• Si es una variedad - , entonces para .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \pi ^{p}(X)=0}$${\displaystyle p>m}$
• Si es una variedad con borde , el conjunto está canónicamente en biyección con el conjunto de clases de cobordismo de subvariedades enmarcadas por codimensión - p del interior .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \pi ^{p}(X,\X parcial)}$ ${\displaystyle X\setminus \parcial X}$
• El grupo de cohomotopía estable de es el colimite${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle \pi _{s}^{p}(X)=\varinjlim _{k}{[\Sigma ^{k}X,S^{p+k}]}}$

que es un grupo abeliano.

Los conjuntos de cohomotopía fueron introducidos por Karol Borsuk en 1936. ^[3] Edwin Spanier realizó un examen sistemático en 1949. ^[4] Franklin P. Peterson definió los grupos de cohomotopía estables en 1956. ^[5]