Teoría de Yang-Mills

Teoría cuántica de campos
Diagrama de Feynman
Historia
Fondo Teoría de campos Electromagnetismo Fuerza débil Fuerza fuerte Mecánica cuántica Relatividad especial Relatividad general Teoría de calibre Teoría de Yang-Mills
Simetrías Simetría en mecánica cuántica Simetría C P-simetría Simetría T Simetría de Lorentz Simetría de Poincaré Simetría de calibre Ruptura explícita de simetría Ruptura espontánea de simetría No hay cargo Carga topológica
Herramientas Anomalía Método de campo de fondo Cuantización BRST Función de correlación Cruce Acción eficaz Teoría del campo efectivo Valor esperado Diagrama de Feynman Teoría de campos en red Fórmula de reducción de LSZ Función de partición Formulación de la integral de trayectoria Propagador Cuantización Regularización Renormalización Estado de vacío Teorema de Wick Axiomas de Wightman
Ecuaciones Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon Ecuaciones de Proca Ecuación de Wheeler-DeWitt Ecuaciones de Bargmann-Wigner Ecuación de Schwinger-Dyson Ecuación del grupo de renormalización
Modelo estándar Electrodinámica cuántica Interacción electrodébil Cromodinámica cuántica Mecanismo de Higgs
Teorías incompletas Teoría de cuerdas Supersimetría Tecnicolor Teoría del todo Gravedad cuántica
Científicos Águila Anderson Anselmo Bargman Becchi Belavin Campana Berezín Bethe Björken Azul Bogoliubov Brodsky Brote Madera de búfalo Cachazo Callan Coleman Connes Dashen DeWitt Dirac Doplicher Dyson Englert Faddeev Fadin Fayet Fermi Feynman Fierz Fock Frampton Fritzsch Fröhlich Fredenhagen Furry Glashow Gelfand Gell-Mann Glimm Goldstone Gribov Gross Gupta Guralnik Haag Heisenberg Hepp Higgs Hagen 't Hooft Iliopoulos Ivanenko Jackiw Jaffe Jona-Lasinio Jordan Jost Källén Kendall Kinoshita Klebanov Kontsevich Kreimer Kuraev Landau Lee Lehmann Leutwyler Lipatov Łopuszański Low Lüders Maiani Majorana Maldacena Migdal Mills Møller Naimark Nambu Neveu Nishijima Oehme Oppenheimer Osterwalder Parisi Pauli Peskin Plefka Polchinski Polyakov Pomeranchuk Popov Proca Rubakov Ruelle Salam Schrader Schwarz Schwinger Segal Seiberg Semenoff Shifman Shirkov Skyrme Sommerfield Stora Stueckelberg Sudarshan Symanzik Thirring Tomonaga Tyutin Vainshtein Veltman Virasoro Ward Weinberg Weisskopf Wentzel Wess Wetterich Weyl Wick Wightman Wigner Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zamolodchikov Zamolodchikov Zee Zimmermann Zinn-Justin Zuber Zumino
v t e

La teoría de Yang-Mills es una teoría cuántica de campos para el enlace nuclear ideada por Chen Ning Yang y Robert Mills en 1953, así como un término genérico para la clase de teorías similares. La teoría de Yang-Mills es una teoría de calibración basada en un grupo unitario especial SU( n ) , o más generalmente cualquier grupo de Lie compacto . Una teoría de Yang-Mills busca describir el comportamiento de partículas elementales utilizando estos grupos de Lie no abelianos y está en el núcleo de la unificación de la fuerza electromagnética y las fuerzas débiles (es decir, U(1) × SU(2) ) así como la cromodinámica cuántica , la teoría de la fuerza fuerte (basada en SU(3) ). Por lo tanto, forma la base de la comprensión del Modelo Estándar de la física de partículas.

Todas las interacciones fundamentales conocidas pueden describirse en términos de teorías de calibre, pero resolver esto llevó décadas. ^[2] El trabajo pionero de Hermann Weyl en este proyecto comenzó en 1915 cuando su colega Emmy Noether demostró que cada cantidad física conservada tiene una simetría correspondiente, y culminó en 1928 cuando publicó su libro aplicando la teoría geométrica de la simetría ( teoría de grupos ) a la mecánica cuántica. ^{[3] : 194} Weyl denominó la simetría relevante en el teorema de Noether "simetría de calibre", por analogía con la estandarización de la distancia en los anchos de vía de los ferrocarriles .

En 1922, tres años antes de trabajar en su ecuación, Erwin Schrödinger relacionó el concepto de grupo de Weyl con la carga del electrón. Schrödinger demostró que el grupo producía un cambio de fase en los campos electromagnéticos que coincidía con la conservación de la carga eléctrica. ^{[3] : 198} A medida que se desarrollaba la teoría de la electrodinámica cuántica en los años 1930 y 1940, las transformaciones de grupo desempeñaron un papel central. Muchos físicos pensaron que debía haber un análogo para la dinámica de los nucleones. Chen Ning Yang en particular estaba obsesionado con esta posibilidad.${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle e^{i\theta }}$${\displaystyle U(1)}$

La idea central de Yang era buscar una cantidad conservada en la física nuclear comparable a la carga eléctrica y usarla para desarrollar una teoría de calibre correspondiente comparable a la electrodinámica. Se decidió por la conservación del isospín , un número cuántico que distingue a un neutrón de un protón, pero no hizo ningún progreso en una teoría. ^{[3] : 200} Tomándose un descanso de Princeton en el verano de 1953, Yang conoció a un colaborador que podía ayudar: Robert Mills . Como el propio Mills describe:

"Durante el año académico 1953-1954, Yang fue visitante del Laboratorio Nacional de Brookhaven ... Yo también estaba en Brookhaven... y me asignaron a la misma oficina que Yang. Yang, que ha demostrado en varias ocasiones su generosidad con los físicos que comienzan sus carreras, me contó su idea de generalizar la invariancia de calibración y la discutimos extensamente... Pude contribuir algo a las discusiones, especialmente con respecto a los procedimientos de cuantificación, y en un pequeño grado en la elaboración del formalismo; sin embargo, las ideas clave eran de Yang". ^[4]

En el verano de 1953, Yang y Mills extendieron el concepto de teoría de gauge para grupos abelianos , por ejemplo, la electrodinámica cuántica , a grupos no abelianos, seleccionando el grupo SU(2) para proporcionar una explicación de la conservación del isospín en colisiones que involucran interacciones fuertes. La presentación de Yang del trabajo en Princeton en febrero de 1954 fue cuestionada por Pauli, preguntando sobre la masa en el campo desarrollado con la idea de invariancia de gauge. ^{[3] : 202} Pauli sabía que esto podría ser un problema ya que había trabajado en la aplicación de la invariancia de gauge pero decidió no publicarlo, viendo las excitaciones sin masa de la teoría como "partículas de sombra no físicas". ^{[2] : 13} Yang y Mills publicaron en octubre de 1954; cerca del final del artículo, admiten:

Llegamos ahora a la cuestión de la masa del cuanto, para la que no tenemos una respuesta satisfactoria. ^[5]${\displaystyle b}$

Este problema de excitación sin masa física bloqueó futuros avances. ^[3]

La idea se dejó de lado hasta 1960, cuando se propuso el concepto de partículas que adquieren masa a través de la ruptura de simetría en teorías sin masa, inicialmente por Jeffrey Goldstone , Yoichiro Nambu y Giovanni Jona-Lasinio . Esto impulsó un reinicio significativo de los estudios de la teoría de Yang-Mills que demostraron ser exitosos en la formulación tanto de la unificación electrodébil como de la cromodinámica cuántica (QCD). La interacción electrodébil se describe mediante el grupo de calibración SU(2) × U(1) , mientras que la QCD es una teoría de Yang-Mills SU(3) . Los bosones de calibración sin masa del electrodébil SU(2) × U(1) se mezclan después de la ruptura espontánea de la simetría para producir los tres bosones masivos de la interacción débil (
Yo⁺
,
Yo⁻
, y
O⁰
) así como el campo de fotones aún sin masa . La dinámica del campo de fotones y sus interacciones con la materia están, a su vez, gobernadas por la teoría de calibración U(1) de la electrodinámica cuántica. El Modelo Estándar combina la interacción fuerte con la interacción electrodébil unificada (unificando la interacción débil y electromagnética ) a través del grupo de simetría SU(3) × SU(2) × U(1) . En la época actual, la interacción fuerte no está unificada con la interacción electrodébil, pero a partir del funcionamiento observado de las constantes de acoplamiento se cree ^{[ cita requerida ]} que todas convergen a un único valor a energías muy altas.

La fenomenología a energías más bajas en cromodinámica cuántica no se entiende completamente debido a las dificultades de manejar dicha teoría con un acoplamiento fuerte. Esta puede ser la razón por la que el confinamiento no se ha demostrado teóricamente, aunque es una observación experimental consistente. Esto demuestra por qué el confinamiento de QCD a baja energía es un problema matemático de gran relevancia, y por qué el problema de la existencia y la brecha de masa de Yang-Mills es un problema del Premio del Milenio .

En 1953, en una correspondencia privada, Wolfgang Pauli formuló una teoría de seis dimensiones de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein , extendiendo la teoría de cinco dimensiones de Kaluza, Klein , Fock y otros a un espacio interno de dimensiones superiores. ^[6] Sin embargo, no hay evidencia de que Pauli desarrollara el lagrangiano de un campo de calibración o la cuantización del mismo. Debido a que Pauli descubrió que su teoría "conduce a algunas partículas de sombra bastante no físicas", se abstuvo de publicar sus resultados formalmente. ^[6] Aunque Pauli no publicó su teoría de seis dimensiones, dio dos conferencias de seminario sobre ella en Zúrich en noviembre de 1953. ^[6]

En enero de 1954, Ronald Shaw , un estudiante de posgrado de la Universidad de Cambridge, también desarrolló una teoría de calibre no abeliana para las fuerzas nucleares. ^[7] Sin embargo, la teoría necesitaba partículas sin masa para mantener la invariancia de calibre . Dado que no se conocían tales partículas sin masa en ese momento, Shaw y su supervisor Abdus Salam decidieron no publicar su trabajo. ^[7] Poco después de que Yang y Mills publicaran su artículo en octubre de 1954, Salam alentó a Shaw a publicar su trabajo para marcar su contribución. Shaw se negó y, en cambio, solo forma un capítulo de su tesis doctoral publicada en 1956. ^{[8] [9]}

Las teorías de Yang-Mills son ejemplos especiales de teorías de calibre con un grupo de simetría no abeliano dado por el lagrangiano.

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} (F^{2})=-{\tfrac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\ }$

con los generadores del álgebra de Lie , indexados por a , correspondientes a las F -cantidades (la forma de curvatura o de intensidad de campo) que satisfacen${\displaystyle \ T^{a}\ }$

${\displaystyle \ \operatorname {tr} \left(T^{a}\ T^{b}\right)={\tfrac {1}{2}}\delta ^{ab}\ ,\qquad \left[T^{a},\ T^{b}\right]=i\ f^{abc}\ T^{c}~.}$

Aquí, las f  ^abc son constantes de estructura del álgebra de Lie (totalmente antisimétricas si los generadores del álgebra de Lie están normalizados de tal manera que es proporcional a ), la derivada covariante se define como${\displaystyle \ \operatorname {tr} (T^{a}\ T^{b})\ }$${\displaystyle \ \delta ^{ab}\ }$

${\displaystyle \ D_{\mu }=I\ \partial _{\mu }-i\ g\ T^{a}\ A_{\mu }^{a}\ ,}$

I es la matriz identidad (que coincide con el tamaño de los generadores), es el potencial vectorial y g es la constante de acoplamiento . En cuatro dimensiones, la constante de acoplamiento g es un número puro y para un grupo SU( n ) se tiene${\displaystyle \ A_{\mu }^{a}\ }$${\displaystyle \ a,b,c=1\ldots n^{2}-1~.}$

La relación

${\displaystyle \ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\ f^{abc}\ A_{\mu }^{b}\ A_{\nu }^{c}\ }$

puede derivarse por el conmutador

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },D_{\nu }\right]=-i\ g\ T^{a}\ F_{\mu \nu }^{a}~.}$

El campo tiene la propiedad de ser autointeractuante y las ecuaciones de movimiento que se obtienen se denominan semilineales, ya que las no linealidades son tanto con derivadas como sin ellas. Esto significa que esta teoría solo se puede manejar mediante la teoría de perturbaciones con no linealidades pequeñas. ^{[ cita requerida ]}

Nótese que la transición entre los componentes del vector o tensor "superior" ("contravariante") e "inferior" ("covariante") es trivial para los índices a (por ejemplo, ), mientras que para μ y ν no es trivial y corresponde, por ejemplo, a la firma de Lorentz habitual,${\displaystyle \ f^{abc}=f_{abc}\ }$${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}(+---)~.}$

A partir del Lagrangiano dado se pueden derivar las ecuaciones de movimiento dadas por

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{\mu b}\ F_{\mu \nu }^{c}=0~.}$

Poner esto se puede reescribir como${\displaystyle \ F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ \left(D^{\mu }F_{\mu \nu }\right)^{a}=0~.}$

Una identidad Bianchi se mantiene

${\displaystyle \ \left(D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }\right)^{a}+\left(D_{\kappa }\ F_{\mu \nu }\right)^{a}+\left(D_{\nu }\ F_{\kappa \mu }\right)^{a}=0\ }$

que es equivalente a la identidad de Jacobi

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },\left[D_{\nu },D_{\kappa }\right]\right]+\left[D_{\kappa },\left[D_{\mu },D_{\nu }\right]\right]+\left[D_{\nu },\left[D_{\kappa },D_{\mu }\right]\right]=0\ }$

Dado que se define el tensor de fuerza dual , la identidad de Bianchi se puede reescribir como${\displaystyle \ \left[D_{\mu },F_{\nu \kappa }^{a}\right]=D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }^{a}~.}$${\displaystyle \ {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }\ ,}$

${\displaystyle \ D_{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0~.}$

Una fuente entra en las ecuaciones de movimiento como${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}\ }$

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{b\mu }\ F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}~.}$

Tenga en cuenta que las corrientes deben cambiar adecuadamente bajo las transformaciones del grupo de calibre.

Damos aquí algunos comentarios sobre las dimensiones físicas del acoplamiento. En D dimensiones, el campo escala como y por lo tanto el acoplamiento debe escalar como Esto implica que la teoría de Yang-Mills no es renormalizable para dimensiones mayores que cuatro. Además, para D = 4 , el acoplamiento es adimensional y tanto el campo como el cuadrado del acoplamiento tienen las mismas dimensiones del campo y el acoplamiento de una teoría de campo escalar cuártico sin masa . Por lo tanto, estas teorías comparten la invariancia de escala a nivel clásico.${\displaystyle \ \left[A\right]=\left[L^{\left({\tfrac {2-D}{2}}\right)}\right]\ }$${\displaystyle \ \left[g^{2}\right]=\left[L^{\left(D-4\right)}\right]~.}$

Un método para cuantificar la teoría de Yang-Mills es mediante métodos funcionales, es decir, integrales de trayectoria . Se introduce una función generadora para funciones de n puntos como

${\displaystyle \ Z[j]=\int [\mathrm {d} A]\ \exp \left[-{\tfrac {i}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)+i\ \int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)\ A^{a\mu }(x)\right]\ ,}$

pero esta integral no tiene sentido tal como está porque el vector de potencial puede elegirse arbitrariamente debido a la libertad de calibración . Este problema ya era conocido para la electrodinámica cuántica pero aquí se vuelve más severo debido a las propiedades no abelianas del grupo de calibración. Ludvig Faddeev y Victor Popov han dado una salida con la introducción de un campo fantasma (ver fantasma de Faddeev–Popov ) que tiene la propiedad de ser no físico ya que, aunque concuerda con las estadísticas de Fermi–Dirac , es un campo escalar complejo, que viola el teorema de estadística de espín . Entonces, podemos escribir el funcional generador como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\int [\mathrm {d} \ A][\mathrm {d} \ {\bar {c}}][\mathrm {d} \ c]\ \exp {\Bigl \{}i\ S_{F}\ \left[\partial A,A\right]+i\ S_{gf}\left[\partial A\right]+i\ S_{g}\left[\partial c,\partial {\bar {c}},c,{\bar {c}},A\right]{\Bigr \}}\\&\exp \left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)+i\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left[{\bar {c}}^{a}(x)\ \varepsilon ^{a}(x)+{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ c^{a}(x)\right]\right\}\end{aligned}}}$

ser

${\displaystyle S_{F}=-{\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)\ }$

para el campo,

${\displaystyle S_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}\int \mathrm {d} ^{4}x\ (\partial \cdot A)^{2}\ }$

para la fijación del calibre y

${\displaystyle \ S_{g}=-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left({\bar {c}}^{a}\ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g\ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }\ A^{b\mu }\ c^{c}\right)\ }$

para el fantasma. Esta es la expresión que se utiliza habitualmente para derivar las reglas de Feynman (véase el diagrama de Feynman ). Aquí tenemos c ^a para el campo fantasma mientras que ξ fija la elección del calibre para la cuantificación. Las reglas de Feynman obtenidas a partir de este funcional son las siguientes

Estas reglas para los diagramas de Feynman se pueden obtener cuando la funcional generadora dada anteriormente se reescribe como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ {\frac {\delta }{i\ \delta \ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)}}\ f^{abc}\partial _{\mu }\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ \varepsilon ^{c}(x)}}\right)\\&\qquad \times \exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{a}(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{c\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \left(-i\ {\frac {g^{2}}{4}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\ f^{ars}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{c}(x)}}\ {\frac {\ i\delta }{\delta \ j^{r\mu }(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{s\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\exp \left(-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ C^{ab}(x-y)\ \varepsilon ^{b}(y)\right)\exp \left({\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ j_{\mu }^{a}(x)\ D^{ab\mu \nu }(x-y)\ j_{\nu }^{b}(y)\right)\ }$

siendo la funcional generadora de la teoría libre. Desarrollando en g y calculando las derivadas funcionales , podemos obtener todas las funciones de n puntos con teoría de perturbación. Usando la fórmula de reducción LSZ obtenemos de las funciones de n puntos las amplitudes de proceso, secciones eficaces y tasas de decaimiento correspondientes . La teoría es renormalizable y las correcciones son finitas en cualquier orden de la teoría de perturbación.

En la electrodinámica cuántica, el campo fantasma se desacopla porque el grupo de calibración es abeliano. Esto se puede ver en el acoplamiento entre el campo de calibración y el campo fantasma, que es Para el caso abeliano, todas las constantes de estructura son cero y, por lo tanto, no hay acoplamiento. En el caso no abeliano, el campo fantasma parece una forma útil de reescribir la teoría cuántica de campos sin consecuencias físicas en los observables de la teoría, como las secciones eficaces o las tasas de desintegración.${\displaystyle \ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }A^{b\mu }\ c^{c}~.}$${\displaystyle \ f^{abc}\ }$

Uno de los resultados más importantes obtenidos para la teoría de Yang-Mills es la libertad asintótica . Este resultado se puede obtener asumiendo que la constante de acoplamiento g es pequeña (por lo tanto, pequeñas no linealidades), como para altas energías, y aplicando la teoría de perturbaciones . La relevancia de este resultado se debe al hecho de que una teoría de Yang-Mills que describe la interacción fuerte y la libertad asintótica permite un tratamiento adecuado de los resultados experimentales provenientes de la dispersión inelástica profunda .

Para obtener el comportamiento de la teoría de Yang-Mills a altas energías, y así probar la libertad asintótica, se aplica la teoría de perturbaciones suponiendo un acoplamiento pequeño. Esto se verifica a posteriori en el límite ultravioleta . En el límite opuesto, el infrarrojo, la situación es la opuesta, ya que el acoplamiento es demasiado grande para que la teoría de perturbaciones sea fiable. La mayoría de las dificultades que encuentra la investigación es simplemente el manejo de la teoría a bajas energías. Este es el caso interesante, siendo inherente a la descripción de la materia hadrónica y, más generalmente, a todos los estados ligados observados de gluones y quarks y su confinamiento (ver hadrones ). El método más utilizado para estudiar la teoría en este límite es tratar de resolverla en computadoras (ver teoría de calibre de red ). En este caso, se necesitan grandes recursos computacionales para estar seguros de obtener el límite correcto de volumen infinito (menor espaciamiento de red). Este es el límite con el que deben compararse los resultados. El espaciamiento menor y el acoplamiento mayor no son independientes entre sí, y se necesitan mayores recursos computacionales para cada uno. Hasta el momento, la situación parece bastante satisfactoria para el espectro hadrónico y el cálculo de los propagadores de gluones y fantasmas, pero los espectros de bolas de pegamento e híbridos son aún un asunto cuestionado en vista de la observación experimental de tales estados exóticos. De hecho, la resonancia σ ^{[10] [11]} no se observa en ninguno de estos cálculos de red y se han propuesto interpretaciones contrastantes. Este es un tema muy debatido.

Las teorías de Yang-Mills encontraron una aceptación general en la comunidad de físicos después de que Gerard 't Hooft , en 1972, resolviera su renormalización, basándose en una formulación del problema elaborada por su asesor Martinus Veltman . ^[12] La renormalizabilidad se obtiene incluso si los bosones de calibración descritos por esta teoría son masivos, como en la teoría electrodébil, siempre que la masa sea solo una "adquirida", generada por el mecanismo de Higgs .

Las matemáticas de la teoría de Yang-Mills son un campo de investigación muy activo, que ha producido, por ejemplo, invariantes de estructuras diferenciables en variedades de cuatro dimensiones a través del trabajo de Simon Donaldson . Además, el campo de las teorías de Yang-Mills fue incluido en la lista de " Problemas del Premio del Milenio " del Instituto de Matemáticas Clay . Aquí el problema del premio consiste, especialmente, en una prueba de la conjetura de que las excitaciones más bajas de una teoría de Yang-Mills pura (es decir, sin campos de materia) tienen una brecha de masa finita con respecto al estado de vacío. Otro problema abierto, conectado con esta conjetura, es una prueba de la propiedad de confinamiento en presencia de fermiones adicionales.

En física, el estudio de las teorías de Yang-Mills no suele comenzar con el análisis de perturbaciones o métodos analíticos, sino más recientemente con la aplicación sistemática de métodos numéricos a las teorías de calibración en red .

Wikiquote tiene citas relacionadas con la teoría de Yang-Mills .

• "Campo de Yang-Mills", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• «Teoría de Yang-Mills». DispersiveWiki . Archivado desde el original el 2021-06-03 . Consultado el 2018-08-30 .
• "Los problemas del Premio del Milenio". The Clay Mathematics Institute . Archivado desde el original el 16 de enero de 2009. Consultado el 24 de noviembre de 2008 .