Campo (física)

En ciencia , un campo es una cantidad física , representada por un escalar , un vector o un tensor , que tiene un valor para cada punto en el espacio y el tiempo . ^{[1] [2] [3]} Un mapa meteorológico, con la temperatura de la superficie descrita asignando un número a cada punto del mapa, es un ejemplo de un campo escalar . Un mapa de viento de superficie, ^[4] asignando una flecha a cada punto de un mapa que describe la velocidad y dirección del viento en ese punto, es un ejemplo de un campo vectorial , es decir, un campo tensorial unidimensional (rango 1). Las teorías de campo, descripciones matemáticas de cómo cambian los valores de campo en el espacio y el tiempo, son omnipresentes en física. Por ejemplo, el campo eléctrico es otro campo tensorial de rango 1, mientras que la electrodinámica se puede formular en términos de dos campos vectoriales que interactúan en cada punto del espacio-tiempo, o como un campo tensorial de rango único de 2. ^{[5] [6] [7]}

En el marco moderno de la teoría cuántica de campos , incluso sin hacer referencia a una partícula de prueba, un campo ocupa espacio, contiene energía y su presencia impide un "vacío verdadero" clásico. ^[8] Esto ha llevado a los físicos a considerar los campos electromagnéticos como una entidad física, haciendo del concepto de campo un paradigma de apoyo del edificio de la física moderna. Richard Feynman dijo: "El hecho de que el campo electromagnético pueda poseer momento y energía lo hace muy real, y [...] una partícula crea un campo, y un campo actúa sobre otra partícula, y el campo tiene propiedades tan familiares como contenido de energía y momento, tal como las partículas pueden tener". ^[9] En la práctica, la fuerza de la mayoría de los campos disminuye con la distancia, y finalmente se vuelve indetectable. Por ejemplo, la fuerza de muchos campos clásicos relevantes, como el campo gravitacional en la teoría de la gravedad de Newton o el campo electrostático en el electromagnetismo clásico, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente (es decir, siguen la ley de Gauss ).

Un campo puede clasificarse como un campo escalar, un campo vectorial, un campo espinor o un campo tensorial según si la cantidad física representada es un escalar , un vector , un espinor o un tensor , respectivamente. Un campo tiene un carácter tensorial consistente donde sea que se defina: es decir, un campo no puede ser un campo escalar en algún lugar y un campo vectorial en otro. Por ejemplo, el campo gravitatorio newtoniano es un campo vectorial: especificar su valor en un punto en el espacio-tiempo requiere tres números, los componentes del vector del campo gravitatorio en ese punto. Además, dentro de cada categoría (escalar, vector, tensor), un campo puede ser un campo clásico o un campo cuántico , dependiendo de si se caracteriza por números u operadores cuánticos respectivamente. En esta teoría, una representación equivalente de un campo es una partícula de campo , por ejemplo un bosón . ^[10]

Para Isaac Newton , su ley de gravitación universal simplemente expresaba la fuerza gravitatoria que actuaba entre cualquier par de objetos masivos. Cuando se observa el movimiento de muchos cuerpos que interactúan entre sí, como los planetas del Sistema Solar , tratar con la fuerza entre cada par de cuerpos por separado rápidamente se vuelve inconveniente desde el punto de vista computacional. En el siglo XVIII, se ideó una nueva cantidad para simplificar la contabilidad de todas estas fuerzas gravitatorias. Esta cantidad, el campo gravitatorio , daba en cada punto del espacio la aceleración gravitatoria total que sentiría un objeto pequeño en ese punto. Esto no cambió la física de ninguna manera: no importaba si todas las fuerzas gravitatorias sobre un objeto se calculaban individualmente y luego se sumaban, o si todas las contribuciones se sumaban primero como un campo gravitatorio y luego se aplicaban a un objeto. ^[11]

El desarrollo del concepto independiente de campo comenzó realmente en el siglo XIX con el desarrollo de la teoría del electromagnetismo . En las primeras etapas, André-Marie Ampère y Charles-Augustin de Coulomb podían manejarse con leyes de estilo Newton que expresaban las fuerzas entre pares de cargas eléctricas o corrientes eléctricas . Sin embargo, se volvió mucho más natural adoptar el enfoque de campo y expresar estas leyes en términos de campos eléctricos y magnéticos ; en 1845 Michael Faraday se convirtió en el primero en acuñar el término "campo magnético". ^[12] Y Lord Kelvin proporcionó una definición formal de campo en 1851. ^[13]

La naturaleza independiente del campo se hizo más evidente con el descubrimiento de James Clerk Maxwell de que las ondas en estos campos, llamadas ondas electromagnéticas , se propagaban a una velocidad finita. En consecuencia, las fuerzas sobre las cargas y las corrientes ya no dependían solo de las posiciones y velocidades de otras cargas y corrientes en el mismo momento, sino también de sus posiciones y velocidades en el pasado. ^[11]

Maxwell, en un principio, no adoptó el concepto moderno de campo como una cantidad fundamental que pudiera existir independientemente. En cambio, supuso que el campo electromagnético expresaba la deformación de algún medio subyacente —el éter luminífero— de forma muy similar a la tensión en una membrana de goma. Si ese fuera el caso, la velocidad observada de las ondas electromagnéticas debería depender de la velocidad del observador con respecto al éter. A pesar de los muchos esfuerzos, nunca se encontró evidencia experimental de tal efecto; la situación se resolvió con la introducción de la teoría especial de la relatividad por Albert Einstein en 1905. Esta teoría cambió la forma en que se relacionaban entre sí los puntos de vista de los observadores en movimiento. Se relacionaron entre sí de tal manera que la velocidad de las ondas electromagnéticas en la teoría de Maxwell sería la misma para todos los observadores. Al eliminar la necesidad de un medio de fondo, este desarrollo abrió el camino para que los físicos comenzaran a pensar en los campos como entidades verdaderamente independientes. ^[11]

A finales de la década de 1920, las nuevas reglas de la mecánica cuántica se aplicaron por primera vez al campo electromagnético. En 1927, Paul Dirac utilizó los campos cuánticos para explicar con éxito cómo la desintegración de un átomo a un estado cuántico inferior conducía a la emisión espontánea de un fotón , el cuanto del campo electromagnético. Esto fue seguido pronto por la comprensión (siguiendo el trabajo de Pascual Jordan , Eugene Wigner , Werner Heisenberg y Wolfgang Pauli ) de que todas las partículas, incluidos los electrones y los protones , podían entenderse como los cuantos de algún campo cuántico, elevando los campos al estado de los objetos más fundamentales de la naturaleza. ^[11] Dicho esto, John Wheeler y Richard Feynman consideraron seriamente el concepto de acción a distancia de Newton antes del campo (aunque lo dejaron de lado debido a la utilidad actual del concepto de campo para la investigación en relatividad general y electrodinámica cuántica ).

Existen varios ejemplos de campos clásicos . Las teorías de campos clásicos siguen siendo útiles allí donde no surgen propiedades cuánticas y pueden ser áreas activas de investigación. La elasticidad de los materiales, la dinámica de fluidos y las ecuaciones de Maxwell son ejemplos de ello.

Algunos de los campos físicos más simples son los campos de fuerza vectoriales. Históricamente, la primera vez que los campos se tomaron en serio fue con las líneas de fuerza de Faraday al describir el campo eléctrico . Luego se describió de manera similar el campo gravitacional .

Una teoría de campo clásica que describe la gravedad es la gravitación newtoniana , que describe la fuerza gravitacional como una interacción mutua entre dos masas .

Todo cuerpo con masa M tiene asociado un campo gravitatorio g que describe su influencia sobre otros cuerpos con masa. El campo gravitatorio de M en un punto r del espacio corresponde a la relación entre la fuerza F que M ejerce sobre una masa de prueba m pequeña o despreciable situada en r y la propia masa de prueba: ^[14]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

Estipular que m es mucho menor que M garantiza que la presencia de m tiene una influencia insignificante en el comportamiento de M.

Según la ley de gravitación universal de Newton , F ( r ) se da por ^[14]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

donde es un vector unitario que se encuentra a lo largo de la línea que une M y m y que apunta de M a m . Por lo tanto, el campo gravitacional de M es ^[14]${\displaystyle {\hat {\mathbf {r}}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2 }}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

La observación experimental de que la masa inercial y la masa gravitatoria son iguales con un nivel de precisión sin precedentes conduce a la identidad de que la intensidad del campo gravitatorio es idéntica a la aceleración experimentada por una partícula. Este es el punto de partida del principio de equivalencia , que conduce a la relatividad general .

Como la fuerza gravitacional F es conservativa , el campo gravitacional g puede reescribirse en términos del gradiente de una función escalar, el potencial gravitacional Φ( r ):

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$

Michael Faraday fue el primero en darse cuenta de la importancia de un campo como magnitud física durante sus investigaciones sobre el magnetismo . Se dio cuenta de que los campos eléctricos y magnéticos no son sólo campos de fuerza que dictan el movimiento de las partículas, sino que también tienen una realidad física independiente porque transportan energía.

Estas ideas condujeron finalmente a la creación, por parte de James Clerk Maxwell , de la primera teoría de campo unificada en física con la introducción de ecuaciones para el campo electromagnético . La versión moderna de estas ecuaciones se denomina ecuaciones de Maxwell .

Una partícula de prueba cargada con carga q experimenta una fuerza F basada únicamente en su carga. De manera similar, podemos describir el campo eléctrico E de modo que F = q E . Usando esto y la ley de Coulomb, nos dice que el campo eléctrico debido a una sola partícula cargada es

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

El campo eléctrico es conservativo y, por lo tanto, puede describirse mediante un potencial escalar, V ( r ):

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

Una corriente constante I que fluye a lo largo de una trayectoria ℓ creará un campo B, que ejerce una fuerza sobre partículas cargadas en movimiento cercanas que es cuantitativamente diferente de la fuerza del campo eléctrico descrito anteriormente. La fuerza ejercida por I sobre una carga cercana q con velocidad v es

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

donde B ( r ) es el campo magnético , que se determina a partir de I por la ley de Biot-Savart :

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

El campo magnético no es conservativo en general y, por lo tanto, no se puede escribir en términos de un potencial escalar. Sin embargo, se puede escribir en términos de un potencial vectorial , A ( r ):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

En general, en presencia de una densidad de carga ρ( r , t ) y una densidad de corriente J ( r , t ), habrá un campo eléctrico y un campo magnético, y ambos variarán en el tiempo. Están determinados por las ecuaciones de Maxwell , un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionan directamente E y B con ρ y J . ^[17]

Alternativamente, se puede describir el sistema en términos de sus potenciales escalares y vectoriales V y A . Un conjunto de ecuaciones integrales conocidas como potenciales retardados permiten calcular V y A a partir de ρ y J , ^{[nota 1]} y a partir de allí se determinan los campos eléctricos y magnéticos a través de las relaciones ^[18]

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

A finales del siglo XIX, el campo electromagnético se entendía como un conjunto de dos campos vectoriales en el espacio. Hoy en día, se lo reconoce como un único campo tensorial antisimétrico de segundo rango en el espacio-tiempo.

La teoría de la gravedad de Einstein, llamada relatividad general , es otro ejemplo de teoría de campos. En ella, el campo principal es el tensor métrico , un campo tensorial simétrico de segundo rango en el espacio-tiempo . Esto reemplaza a la ley de gravitación universal de Newton .

Las ondas pueden construirse como campos físicos, debido a su velocidad de propagación finita y su naturaleza causal cuando se establece un modelo físico simplificado de un sistema cerrado aislado ^{[ aclaración necesaria ]} . También están sujetas a la ley del cuadrado inverso .

Para las ondas electromagnéticas, existen campos ópticos y términos como límites de campo cercano y lejano para la difracción. Sin embargo, en la práctica, las teorías de campos de la óptica son reemplazadas por la teoría de campos electromagnéticos de Maxwell.

Las ondas de gravedad son ondas en la superficie del agua, definidas por un campo de altura.

La dinámica de fluidos tiene campos de presión , densidad y caudal que están conectados por leyes de conservación de la energía y el momento. La ecuación de continuidad de masa es una ecuación de continuidad , que representa la conservación de la masa y las ecuaciones de Navier-Stokes representan la conservación del momento en el fluido, que se encuentra a partir de las leyes de Newton aplicadas al fluido, si se dan la densidad ρ , la presión p , el tensor de tensión desviatorio τ del fluido, así como las fuerzas externas del cuerpo b . La velocidad de flujo u es el campo vectorial que se debe resolver.$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$$

La elasticidad lineal se define en términos de ecuaciones constitutivas entre campos tensoriales,

${\displaystyle \sigma _{ij}=L_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$

donde son los componentes del tensor de tensión de Cauchy 3x3 , los componentes de la deformación infinitesimal 3x3 y es el tensor de elasticidad , un tensor de cuarto rango con 81 componentes (normalmente 21 componentes independientes).${\displaystyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$${\displaystyle L_{ijkl}}$

Suponiendo que la temperatura T es una cantidad intensiva , es decir, una función univaluada, continua y diferenciable del espacio tridimensional (un campo escalar ), es decir, que , entonces el gradiente de temperatura es un campo vectorial definido como . En conducción térmica , el campo de temperatura aparece en la ley de Fourier,${\displaystyle T=T(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \nabla T}$

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\nabla T}$

donde q es el campo de flujo de calor y k la conductividad térmica.

Los gradientes de temperatura y presión también son importantes para la meteorología.

En la actualidad se cree que la mecánica cuántica debería ser la base de todos los fenómenos físicos, de modo que una teoría clásica de campos debería, al menos en principio, permitir una reformulación en términos mecánicos cuánticos; el éxito produce la correspondiente teoría cuántica de campos . Por ejemplo, la cuantización de la electrodinámica clásica da como resultado la electrodinámica cuántica . La electrodinámica cuántica es posiblemente la teoría científica más exitosa; los datos experimentales confirman sus predicciones con una precisión mayor (a más dígitos significativos ) que cualquier otra teoría. ^[21] Las otras dos teorías cuánticas de campos fundamentales son la cromodinámica cuántica y la teoría electrodébil .

En la cromodinámica cuántica, las líneas del campo de color están acopladas a distancias cortas por gluones , que están polarizados por el campo y se alinean con él. Este efecto aumenta en una distancia corta (alrededor de 1 fm desde la proximidad de los quarks), lo que hace que la fuerza del color aumente en una distancia corta, confinando a los quarks dentro de hadrones . Como las líneas de campo están fuertemente unidas por los gluones, no se "arquean" hacia afuera tanto como un campo eléctrico entre cargas eléctricas. ^[22]

Estas tres teorías cuánticas de campos pueden derivarse como casos especiales del llamado modelo estándar de física de partículas . La relatividad general , la teoría de campos de la gravedad de Einstein, aún no ha sido cuantificada con éxito. Sin embargo, una extensión, la teoría de campos térmicos , se ocupa de la teoría cuántica de campos a temperaturas finitas , algo que rara vez se considera en la teoría cuántica de campos.

En la teoría BRST se trabaja con campos impares, por ejemplo, los fantasmas de Faddeev-Popov . Existen diferentes descripciones de campos clásicos impares tanto en variedades graduadas como en supervariedades .

Al igual que con los campos clásicos, es posible abordar sus contrapartes cuánticas desde un punto de vista puramente matemático utilizando técnicas similares a las anteriores. Las ecuaciones que gobiernan los campos cuánticos son, de hecho, ecuaciones en derivadas parciales (específicamente, ecuaciones de onda relativistas (EWR)). Por lo tanto, se puede hablar de campos de Yang-Mills , Dirac , Klein-Gordon y Schrödinger como soluciones a sus respectivas ecuaciones. Un posible problema es que estas EWR pueden tratar con objetos matemáticos complicados con propiedades algebraicas exóticas (por ejemplo, los espinores no son tensores , por lo que pueden necesitar cálculo para campos de espinores ), pero estos en teoría aún pueden estar sujetos a métodos analíticos dada la generalización matemática apropiada .

La teoría de campos se refiere generalmente a una construcción de la dinámica de un campo, es decir, a una especificación de cómo cambia un campo con el tiempo o con respecto a otras variables físicas independientes de las que depende el campo. Por lo general, esto se hace escribiendo un lagrangiano o un hamiltoniano del campo y tratándolo como un sistema mecánico clásico o cuántico con un número infinito de grados de libertad . Las teorías de campos resultantes se denominan teorías de campos clásicas o cuánticas.

La dinámica de un campo clásico generalmente se especifica mediante la densidad lagrangiana en términos de los componentes del campo; la dinámica se puede obtener utilizando el principio de acción .

Es posible construir campos simples sin ningún conocimiento previo de física usando solo matemáticas de cálculo multivariable , teoría del potencial y ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Por ejemplo, las EDP escalares podrían considerar cantidades como campos de amplitud, densidad y presión para la ecuación de onda y dinámica de fluidos ; campos de temperatura/concentración para las ecuaciones de calor / difusión . Fuera de la física propiamente dicha (por ejemplo, radiometría y gráficos por computadora), existen incluso campos de luz . Todos estos ejemplos anteriores son campos escalares . De manera similar para los vectores, existen EDP vectoriales para campos de desplazamiento, velocidad y vorticidad en dinámica de fluidos (matemática aplicada), pero ahora puede ser necesario el cálculo vectorial además, siendo cálculo para campos vectoriales (como lo son estas tres cantidades, y aquellas para EDP vectoriales en general). En términos más generales, los problemas de mecánica de medios continuos pueden involucrar, por ejemplo, elasticidad direccional (de donde proviene el término tensor , derivado de la palabra latina para estiramiento), flujos de fluidos complejos o difusión anisotrópica , que se enmarcan como ecuaciones diferenciales parciales (EDE) matriz-tensor, y luego requieren matrices o campos tensoriales, de ahí el cálculo matricial o tensorial . Los escalares (y, por lo tanto, los vectores, matrices y tensores) pueden ser reales o complejos, ya que ambos son campos en el sentido abstracto-algebraico/ teórico de anillos .

En un contexto general, los campos clásicos se describen mediante secciones de haces de fibras y su dinámica se formula en términos de variedades de chorro ( teoría clásica de campos covariantes ). ^[23]

En la física moderna , los campos más estudiados son aquellos que modelan las cuatro fuerzas fundamentales que un día pueden conducir a la Teoría del Campo Unificado .

Una forma conveniente de clasificar un campo (clásico o cuántico) es por las simetrías que posee. Las simetrías físicas suelen ser de dos tipos:

Los campos suelen clasificarse según su comportamiento ante transformaciones del espacio-tiempo . Los términos utilizados en esta clasificación son:

• campos escalares (como la temperatura ) cuyos valores están dados por una única variable en cada punto del espacio. Este valor no cambia ante transformaciones del espacio.
• campos vectoriales (como la magnitud y la dirección de la fuerza en cada punto de un campo magnético ) que se especifican uniendo un vector a cada punto del espacio. Los componentes de este vector se transforman entre sí de manera contravariante bajo rotaciones en el espacio. De manera similar, un campo vectorial dual (o co-) une un vector dual a cada punto del espacio y los componentes de cada vector dual se transforman de manera covariante.
• campos tensoriales (como el tensor de tensión de un cristal) especificados por un tensor en cada punto del espacio. Bajo rotaciones en el espacio, los componentes del tensor se transforman de una manera más general que depende del número de índices covariantes y contravariantes.
• Los campos de espinor (como el espinor de Dirac ) surgen en la teoría cuántica de campos para describir partículas con espín que se transforman como vectores excepto por uno de sus componentes; en otras palabras, cuando uno gira un campo vectorial 360 grados alrededor de un eje específico, el campo vectorial gira sobre sí mismo; sin embargo, los espinores girarían hacia sus negativos en el mismo caso.

Los campos pueden tener simetrías internas además de simetrías espacio-temporales. En muchas situaciones, se necesitan campos que sean una lista de escalares espacio-temporales: (φ ₁ , φ ₂ , ... φ _N ). Por ejemplo, en la predicción meteorológica, estos pueden ser temperatura, presión, humedad, etc. En física de partículas , la simetría de color de la interacción de los quarks es un ejemplo de una simetría interna, la de la interacción fuerte . Otros ejemplos son el isospín , el isospín débil , la extrañeza y cualquier otra simetría de sabor .

Si existe una simetría del problema, que no involucra el espacio-tiempo, bajo la cual estos componentes se transforman entre sí, entonces este conjunto de simetrías se llama simetría interna . También se puede hacer una clasificación de las cargas de los campos bajo simetrías internas.

La teoría estadística de campos intenta extender el paradigma teórico de campos a los sistemas de muchos cuerpos y a la mecánica estadística . Como se ha dicho anteriormente, se puede abordar mediante el argumento habitual del número infinito de grados de libertad.

De la misma manera que la mecánica estadística tiene algunas superposiciones entre la mecánica cuántica y la clásica, la teoría estadística de campos tiene vínculos con ambas teorías, especialmente con la primera, con la que comparte muchos métodos. Un ejemplo importante es la teoría del campo medio .

Los campos clásicos como el anterior, como el campo electromagnético , suelen ser funciones infinitamente diferenciables, pero en cualquier caso casi siempre son dos veces diferenciables. Por el contrario, las funciones generalizadas no son continuas. Cuando se trata con cuidado con campos clásicos a temperatura finita, se utilizan los métodos matemáticos de campos aleatorios continuos, porque los campos clásicos que fluctúan térmicamente no son diferenciables en ninguna parte . Los campos aleatorios son conjuntos indexados de variables aleatorias ; un campo aleatorio continuo es un campo aleatorio que tiene un conjunto de funciones como su conjunto índice. En particular, a menudo es matemáticamente conveniente tomar un campo aleatorio continuo para que tenga un espacio de Schwartz de funciones como su conjunto índice, en cuyo caso el campo aleatorio continuo es una distribución templada .

Podemos pensar en un campo aleatorio continuo, de una manera (muy) aproximada, como una función ordinaria que está casi en todas partes, pero tal que cuando tomamos un promedio ponderado de todos los infinitos sobre cualquier región finita, obtenemos un resultado finito. Los infinitos no están bien definidos; pero los valores finitos pueden asociarse con las funciones utilizadas como funciones de ponderación para obtener los valores finitos, y eso puede estar bien definido. Podemos definir un campo aleatorio continuo bastante bien como una función lineal de un espacio de funciones en los números reales .${\displaystyle \pm \infty }$

• "Campos". Principios de la ciencia física . Vol. 25 (15.ª ed.). 1994. pág. 815 – vía Encyclopædia Britannica (Macropaedia).
• Landau, Lev D. y Lifshitz, Evgeny M. (1971). Teoría clásica de campos (3.ª ed.). Londres: Pergamon. ISBN 0-08-016019-0 . Vol. 2 del Curso de Física Teórica . 
• Jepsen, Kathryn (18 de julio de 2013). "Real talk: Everything is made of fields" (PDF) . Revista Symmetry . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 9 de junio de 2015 .

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• Teorías de campos de partículas y polímeros