Ecuaciones de F-Yang-Mills

En geometría diferencial , las ecuaciones -Yang–Mills (o ecuaciones -YM ) son una generalización de las ecuaciones de Yang–Mills . Sus soluciones se denominan conexiones -Yang–Mills (o conexiones -YM ). Algunos casos simples e importantes de conexiones -Yang–Mills incluyen las conexiones exponenciales de Yang–Mills que utilizan la función exponencial para y las conexiones -Yang–Mills que utilizan como exponente de una potencia de la norma de la forma de curvatura similar a la -norma . También se consideran a menudo las conexiones de Yang–Mills–Born–Infeld (o conexiones YMBI) con signo positivo o negativo en una función que involucra la raíz cuadrada . Esto hace que la ecuación de Yang–Mills–Born–Infeld sea similar a la ecuación de superficie mínima .${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización F}$

Sea una función estrictamente creciente (por tanto con ) y . Sea: ^[1]${\displaystyle F\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ${\estilo de visualización C^{2}}$${\displaystyle F'>0}$${\displaystyle F(0)=0}$

${\displaystyle d_{F}:=\sup_{t\geq 0}{\frac {tF'(t)}{F(t)}}.}$

Como es una función, también se puede considerar la siguiente constante: ^[2]${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización C^{2}}$

${\displaystyle d_{F'}=\sup_{t\geq 0}{\frac {tF''(t)}{F'(t)}}.}$

Sea un grupo de Lie compacto con álgebra de Lie y un fibrado principal con una variedad de Riemann orientable que tiene una forma métrica y una forma de volumen . Sea su fibrado adjunto . es el espacio de conexiones , ^[3] que son, bajo la representación adjunta, formas diferenciales invariantes valoradas en álgebra de Lie o valoradas en fibrado vectorial . Dado que el operador de estrella de Hodge está definido en la variedad base, ya que requiere la forma métrica y la forma de volumen , se suele utilizar el segundo espacio.${\estilo de visualización G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización B}$ ${\estilo de visualización g}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$${\displaystyle \operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B}$${\displaystyle \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle \star }$${\displaystyle B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$

La acción funcional -Yang–Mills está dada por: ^{[2] [4]}${\displaystyle F}$

${\displaystyle \operatorname {YM} _{F}\colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} _{F}(A):=\int _{B}F\left({\frac {1}{2}}\|F_{A}\|^{2}\right)\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.}$

Para una conexión plana (con ), se tiene . Por lo tanto, se requiere evitar la divergencia para una variedad no compacta , aunque esta condición también se puede omitir ya que solo la derivada tiene mayor importancia.${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$${\displaystyle F_{A}=0}$${\displaystyle \operatorname {YM} _{F}(A)=F(0)\operatorname {vol} (M)}$${\displaystyle F(0)=0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F'}$

Una conexión se denomina conexión -Yang–Mills si es un punto crítico de la función de acción -Yang–Mills, es decir, si:${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {YM} _{F}(A(t))\vert _{t=0}=0}$

para cada familia lisa con . Este es el caso si y solo si se cumplen las ecuaciones de -Yang–Mills : ^{[2] [4]}${\displaystyle A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$${\displaystyle A(0)=A}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\star \left(F'\left({\frac {1}{2}}\|F_{A}\|^{2}\right)F_{A}\right)=0.}$

Para una conexión -Yang–Mills , su curvatura se denomina campo -Yang–Mills .${\displaystyle F}$${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$${\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))}$${\displaystyle F}$

Conexión/campo A -Yang–Mills con: ^{[1] [2] [4]}${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle F(t)=t}$es simplemente una conexión/campo Yang-Mills ordinario.
• ${\displaystyle F(t)=\exp(t)}$(o para normalización) se denomina conexión/campo de Yang–Mills exponencial (normado) . En este caso, se tiene . Las funciones de acción de Yang–Mills exponencial y exponencial normalizada se denotan con y respectivamente. ^[5]${\displaystyle F(t)=\exp(t)-1}$${\displaystyle d_{F'}=\infty }$${\displaystyle \operatorname {YM} _{\mathrm {e} }}$${\displaystyle \operatorname {YM} _{\mathrm {e} }^{0}}$
• ${\displaystyle F(t)={\frac {1}{p}}(2t)^{\frac {p}{2}}}$se llama conexión/campo -Yang–Mills . En este caso, se tiene . Las conexiones/campos Yang–Mills habituales son exactamente las conexiones/campos -Yang–Mills. La función de acción -Yang–Mills se denota con .${\displaystyle p}$${\displaystyle d_{F'}={\frac {p}{2}}-1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \operatorname {YM} _{p}}$
• ${\displaystyle F(t)={\sqrt {1-2t}}-1}$o se denomina conexión/campo de Yang–Mills–Born–Infeld (o conexión/campo YMBI ) con signo negativo o positivo respectivamente. En estos casos, se tiene y respectivamente. Los funcionales de acción de Yang–Mills–Born–Infeld con signo negativo y positivo se denotan con y respectivamente. Las ecuaciones de Yang–Mills–Born–Infeld con signo positivo están relacionadas con la ecuación de superficie mínima :${\displaystyle F(t)={\sqrt {1+2t}}-1}$${\displaystyle d_{F'}=\infty }$${\displaystyle d_{F'}=0}$${\displaystyle \operatorname {YMBI} ^{-}}$${\displaystyle \operatorname {YMBI} ^{+}}$

  ${\displaystyle \mathrm {d} _{A}{\frac {\star F_{A}}{\sqrt {1+\|F_{A}\|^{2}}}}=0.}$

De manera análoga a las conexiones Yang-Mills (débilmente) estables, se pueden definir conexiones -Yang-Mills (débilmente) estables. Una conexión -Yang-Mills se denomina estable si:${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\operatorname {YM} _{F}(A(t))\vert _{t=0}>0}$

para cada familia lisa con . Se llama débilmente estable si solo se cumple. Una conexión -Yang–Mills, que no es débilmente estable, se llama inestable . ^[4] Para una conexión -Yang–Mills (débilmente) estable o inestable , su curvatura se llama además un campo -Yang–Mills (débilmente) estable o inestable .${\displaystyle A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$${\displaystyle A(0)=A}$${\displaystyle \geq 0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$${\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))}$${\displaystyle F}$

• Para una conexión Yang-Mills con curvatura constante, su estabilidad como conexión Yang-Mills implica su estabilidad como conexión Yang-Mills exponencial. ^[5]
• Toda conexión Yang-Mills exponencial no plana con y:${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 5}$

  ${\displaystyle \|F_{A}\|\leq {\sqrt {\frac {n-4}{2}}}}$

es inestable. ^{[2] [4]}

• Toda conexión Yang–Mills–Born–Infeld no plana con signo negativo sobre y :${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 5}$

  ${\displaystyle \|F_{A}\|\leq {\sqrt {\frac {n-4}{n-2}}}}$

es inestable. ^[2]

• Todas las conexiones -Yang–Mills no planas son inestables. ^{[2] [4]} Este resultado incluye los siguientes casos especiales:${\displaystyle F}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n>4(d_{F'}+1)}$
  • Todas las conexiones de Yang-Mills no planas con signo positivo sobre son inestables. ^{[6] [7] [8]} James Simons presentó este resultado sin publicación escrita durante un simposio sobre "Subvariedades mínimas y geodésicas" en Tokio en septiembre de 1977.${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n>4}$
  • Todas las conexiones -Yang-Mills no planas son inestables.${\displaystyle p}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n>2p}$
  • Todas las conexiones Yang–Mills–Born–Infeld no planas con signo positivo sobre son inestables.${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n>4}$
• Para , toda conexión -Yang–Mills no plana sobre el plano de Cayley es inestable. ^[4]${\displaystyle 0\leq d_{F'}\leq {\frac {1}{6}}}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{4}/\operatorname {Spin} (9)}$

• Chiang, Yuan-Jen (18 de junio de 2013). Desarrollo de mapas armónicos, mapas de ondas y campos Yang-Mills en mapas biarmónicos, mapas de biondas y campos Bi-Yang-Mills. Frontiers in Mathematics. Birkhäuser . doi :10.1007/978-3-0348-0534-6. ISBN . 978-3034805339.

• Ecuaciones de Bi-Yang-Mills , modificación de la ecuación de Yang-Mills

• Ecuación de F-Yang-Mills en el laboratorio n