Existencia de Yang-Mills y brecha de masa

El problema de existencia y brecha de masa de Yang-Mills es un problema sin resolver en física matemática y matemáticas , y uno de los siete Problemas del Premio del Milenio definidos por el Instituto de Matemáticas Clay , que ha ofrecido un premio de US$1.000.000 para su solución.

El problema se formula de la siguiente manera: ^[1]

Existencia de Yang-Mills y brecha de masa. Demuestre que para cualquier grupo de calibración simple y compacto G, existe una teoría cuántica de Yang-Mills no trivial y tiene una brecha de masa Δ > 0. La existencia incluye el establecimiento de propiedades axiomáticas al menos tan fuertes como las citadas en Streater y Wightman (1964), Osterwalder y Schrader (1973) y Osterwalder y Schrader (1975).${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

En esta afirmación, una teoría cuántica de Yang-Mills es una teoría cuántica de campos no abeliana similar a la que subyace al Modelo Estándar de física de partículas ; es un espacio euclidiano de 4 dimensiones ; la brecha de masa Δ es la masa de la partícula menos masiva predicha por la teoría.${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Por tanto, el ganador deberá demostrar que:

• La teoría de Yang-Mills existe y satisface el estándar de rigor que caracteriza a la física matemática contemporánea , en particular la teoría cuántica de campos constructiva , ^{[2] [3]} y
• Las masas de todas las partículas del campo de fuerza predichas por la teoría son estrictamente positivas.

Por ejemplo, en el caso de G=SU(3) —la interacción nuclear fuerte— el ganador debe demostrar que las bolas de pegamento tienen un límite de masa inferior y, por lo tanto, no pueden ser arbitrariamente ligeras.

Se sabe que el problema general de determinar la presencia de una brecha espectral en un sistema es indecidible . ^{[4] [5]}

[...] todavía no se dispone de un ejemplo matemáticamente completo de una teoría de gauge cuántica en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones , ni siquiera de una definición precisa de la teoría de gauge cuántica en cuatro dimensiones. ¿Cambiará esto en el siglo XXI? ¡Esperamos que sí!

—  De la descripción oficial del problema del Clay Institute por Arthur Jaffe y Edward Witten .

El problema requiere la construcción de una teoría cuántica de campos que satisfaga los axiomas de Wightman y demuestre la existencia de una brecha de masa. Ambos temas se describen en las secciones siguientes.

El problema del Milenio requiere que la teoría propuesta por Yang-Mills satisfaga los axiomas de Wightman o axiomas igualmente estrictos. ^[1] Hay cuatro axiomas:

W0 (supuestos de la mecánica cuántica relativista)

La mecánica cuántica se describe según von Neumann ; en particular, los estados puros están dados por los rayos, es decir, los subespacios unidimensionales, de algún espacio de Hilbert complejo separable .

Los axiomas de Wightman requieren que el grupo de Poincaré actúe unitariamente sobre el espacio de Hilbert. En otras palabras, tienen operadores dependientes de la posición llamados campos cuánticos que forman representaciones covariantes del grupo de Poincaré .

El grupo de traslaciones espacio-temporales es conmutativo , por lo que los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. Los generadores de estos grupos nos dan cuatro operadores autoadjuntos , , que se transforman bajo el grupo homogéneo en un cuatrivector , llamado cuatrivector de energía-momento .${\displaystyle P_{j},j=0,1,2,3}$

La segunda parte del axioma cero de Wightman es que la representación U ( a , A ) cumple la condición espectral: que el espectro simultáneo de energía-momento está contenido en el cono delantero:

${\displaystyle P_{0}\geq 0,\;\;\;\;P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}$

La tercera parte del axioma es que existe un único estado, representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré. Se llama vacío.

W1 (supuestos sobre el dominio y continuidad del campo)

Para cada función de prueba f , existe un conjunto de operadores que, junto con sus adjuntos, están definidos en un subconjunto denso del espacio de estados de Hilbert, que contiene el vacío. Los campos A son distribuciones templadas con valores de operador . El espacio de estados de Hilbert está abarcado por los polinomios de campo que actúan sobre el vacío (condición de ciclicidad).${\displaystyle A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)}$

W2 (ley de transformación del campo)

Los campos son covariantes bajo la acción del grupo de Poincaré , y se transforman de acuerdo con alguna representación S del grupo de Lorentz , o SL(2, C ) si el espín no es entero:

${\displaystyle U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(xa)).}$

W3 (conmutatividad local o causalidad microscópica)

Si los soportes de dos campos están separados espacialmente , entonces los campos conmutan o anticonmutan.

La ciclicidad y la unicidad del vacío se consideran a veces por separado. Además, existe la propiedad de completitud asintótica: el espacio de estados de Hilbert está abarcado por los espacios asintóticos y , que aparecen en la matriz de colisión S . La otra propiedad importante de la teoría de campos es la brecha de masa que no es requerida por los axiomas: el espectro de energía-momento tiene una brecha entre cero y algún número positivo.${\displaystyle H^{en}}$${\displaystyle H^{fuera}}$

En la teoría cuántica de campos , la brecha de masa es la diferencia de energía entre el vacío y el siguiente estado de energía más bajo . La energía del vacío es cero por definición y, suponiendo que todos los estados de energía pueden considerarse partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.

Para un campo real dado , podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad${\displaystyle \phi(x)}$

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

siendo el valor de energía más bajo en el espectro del hamiltoniano y, por lo tanto, la brecha de masa. Esta cantidad, fácil de generalizar a otros campos, es lo que generalmente se mide en los cálculos de red. De esta manera se demostró que la teoría de Yang-Mills desarrolla una brecha de masa en una red. ^{[6] [7]}${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

La mayoría de las teorías cuánticas de campos más conocidas y no triviales (es decir, que interactúan) en 4 dimensiones son teorías de campos efectivas con una escala de corte . Dado que la función beta es positiva para la mayoría de los modelos, parece que la mayoría de estos modelos tienen un polo de Landau , ya que no está del todo claro si tienen o no puntos fijos UV no triviales . Esto significa que si una QFT de este tipo está bien definida en todas las escalas, como tiene que estarlo para satisfacer los axiomas de la teoría cuántica de campos axiomática , tendría que ser trivial (es decir, una teoría de campo libre ).

La teoría cuántica de Yang-Mills con un grupo de calibración no abeliano y sin quarks es una excepción, porque la libertad asintótica caracteriza a esta teoría, lo que significa que tiene un punto fijo UV trivial . Por lo tanto, es la teoría cuántica de campos constructiva no trivial más simple en 4 dimensiones. ( La teoría cuántica de campos es una teoría más complicada porque involucra quarks ).

En el nivel de rigor de la física teórica , se ha establecido bien que la teoría cuántica de Yang-Mills para un grupo de Lie no abeliano exhibe una propiedad conocida como confinamiento ; aunque la física matemática adecuada tiene requisitos más exigentes en cuanto a una prueba. Una consecuencia de esta propiedad es que por encima de la escala de confinamiento , las cargas de color están conectadas por tubos de flujo cromodinámico que conducen a un potencial lineal entre las cargas. Por lo tanto, no pueden existir cargas de color aisladas y gluones aislados . En ausencia de confinamiento, esperaríamos ver gluones sin masa, pero como están confinados, todo lo que veríamos son estados ligados de gluones de color neutro, llamados bolas de pegamento . Si existen bolas de pegamento, son masivas, por lo que se espera una brecha de masa.

• Streater, RF; Wightman, A. (1964). PCT, spin and statistics, and all that . Nueva York, WA Benjamin.
• Osterwalder, Konrad; Schrader, Robert (1973). "Axiomas para funciones de Green euclidianas". Communications in Mathematical Physics . 31 (2): 83–112. Bibcode :1973CMaPh..31...83O. doi :10.1007/BF01645738. ISSN  0010-3616. S2CID  189829853.
• Osterwalder, Konrad; Schrader, Robert (1975). "Axiomas para funciones de Green euclidianas II". Communications in Mathematical Physics . 42 (3): 281–305. Bibcode :1975CMaPh..42..281O. doi :10.1007/BF01608978. ISSN  0010-3616. S2CID  119389461.
• Bogoliubov, N.; Logunov, A.; Oksak; Todorov, I. (1990). Bogolubov, NN; Logunov, AA; Oksak, AI; Todorov, TI (eds.). Principios generales de la teoría cuántica de campos . Dordrecht: Springer Países Bajos. doi :10.1007/978-94-009-0491-0. ISBN 978-94-010-6707-2.
• Strocchi, Franco (1993). Temas seleccionados sobre las propiedades generales de la teoría cuántica de campos: notas de clase . Notas de clase de física de World Scientific. Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-02-1149-3.
• Dynin, A. (2014). "Dinámica cuántica de Yang-Mills-Weyl en el paradigma de Schrödinger". Revista rusa de física matemática . 21 (2): 169–188. Bibcode :2014RJMP...21..169D. doi :10.1134/S1061920814020046. ISSN  1061-9208. S2CID  121878861.
• Dynin, A. (2014). "Sobre el problema de la brecha de masa de Yang-Mills". Revista rusa de física matemática . 21 (3): 326–328. Bibcode :2014RJMP...21..326D. doi :10.1134/S1061920814030042. ISSN  1061-9208. S2CID  120135592.
• Bushhorn, G.; Wess, J. (2004). Heisenberg, Werner; Buschhorn, Gerd W.; Wess, Julius (eds.). Física fundamental: Heisenberg y más allá: Simposio del centenario de Werner Heisenberg "Desarrollos en la física moderna" . Berlín; Nueva York: Springer. ISBN 978-3-540-20201-1.

• Los problemas del Premio del Milenio: Yang-Mills y la brecha de masa