Teoría de calibres reticulares

Teoría cuántica de campos
Diagrama de Feynman
Historia
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Herramientas Anomalía Método de campo de fondo Cuantización BRST Función de correlación Cruce Acción eficaz Teoría del campo efectivo Valor esperado Diagrama de Feynman Teoría de campos en red Fórmula de reducción de LSZ Función de partición Formulación de la integral de trayectoria Propagador Cuantización Regularización Renormalización Estado de vacío Teorema de Wick Axiomas de Wightman
Ecuaciones Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon Ecuaciones de Proca Ecuación de Wheeler-DeWitt Ecuaciones de Bargmann-Wigner Ecuación de Schwinger-Dyson Ecuación del grupo de renormalización
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En física , la teoría de calibración en red es el estudio de las teorías de calibración en un espacio-tiempo que ha sido discretizado en una red .

Las teorías de calibre son importantes en la física de partículas e incluyen las teorías predominantes de partículas elementales : electrodinámica cuántica , cromodinámica cuántica (QCD) y el Modelo Estándar de la física de partículas . Los cálculos de la teoría de calibre no perturbativa en el espacio-tiempo continuo implican formalmente la evaluación de una integral de trayectoria de dimensión infinita , que es computacionalmente intratable. Al trabajar en un espacio-tiempo discreto , la integral de trayectoria se vuelve de dimensión finita y se puede evaluar mediante técnicas de simulación estocástica como el método de Monte Carlo . Cuando el tamaño de la red se toma infinitamente grande y sus sitios infinitesimalmente cercanos entre sí, se recupera la teoría de calibre continuo. ^[1]

En la teoría de calibración de red, el espacio-tiempo se rota en el espacio euclidiano y se discretiza en una red con sitios separados por la distancia y conectados por enlaces. En los casos más comúnmente considerados, como la QCD de red , los campos fermiónicos se definen en los sitios de la red (lo que conduce a la duplicación de fermiones ), mientras que los campos de calibración se definen en los enlaces. Es decir, se asigna un elemento U del grupo de Lie compacto G (no álgebra ) a cada enlace. Por lo tanto, para simular la QCD con el grupo de Lie SU(3) , se define una matriz unitaria de 3×3 en cada enlace. Al enlace se le asigna una orientación, y el elemento inverso corresponde al mismo enlace con la orientación opuesta. Y a cada nodo se le da un valor en (un 3-vector de color, el espacio en el que actúa la representación fundamental de SU(3)), un bispinor (4-espinor de Dirac), un vector n _f y una variable de Grassmann .${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

De este modo, la composición de los elementos SU(3) de los enlaces a lo largo de una ruta (es decir, la multiplicación ordenada de sus matrices) se aproxima a una exponencial ordenada por ruta (integral geométrica), a partir de la cual se pueden calcular los valores del bucle de Wilson para rutas cerradas.

La acción de Yang-Mills se escribe en la red utilizando bucles de Wilson (nombrados en honor a Kenneth G. Wilson ), de modo que el límite reproduce formalmente la acción continua original. ^[1] Dada una representación irreducible fiel ρ de G , la acción de Yang-Mills en la red, conocida como la acción de Wilson , es la suma sobre todos los sitios de la red del (componente real de la) traza sobre los n enlaces e ₁ , ..., e _n en el bucle de Wilson,${\displaystyle a\to 0}$

${\displaystyle S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.}$

Aquí, χ es el carácter . Si ρ es una representación real (o pseudorreal ), tomar el componente real es redundante, porque incluso si se invierte la orientación de un bucle de Wilson, su contribución a la acción permanece inalterada.

Existen muchas acciones de Wilson posibles, según los bucles de Wilson que se utilicen en la acción. La acción de Wilson más simple utiliza solo el bucle de Wilson 1×1 y se diferencia de la acción continua por los "artefactos de red" proporcionales al pequeño espaciado de red . Al utilizar bucles de Wilson más complicados para construir "acciones mejoradas", los artefactos de red se pueden reducir para que sean proporcionales a , lo que hace que los cálculos sean más precisos.${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{2}}$

Las cantidades como las masas de partículas se calculan estocásticamente utilizando técnicas como el método de Monte Carlo . Las configuraciones de campo de calibración se generan con probabilidades proporcionales a , donde es la acción reticular y está relacionada con el espaciado reticular . La cantidad de interés se calcula para cada configuración y se promedia. Los cálculos a menudo se repiten en diferentes espaciamientos reticulares para que el resultado pueda extrapolarse al continuo, .${\displaystyle e^{-\beta S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\to 0}$

Estos cálculos suelen requerir un gran esfuerzo computacional y pueden requerir el uso de las supercomputadoras más grandes disponibles . Para reducir la carga computacional, se puede utilizar la denominada aproximación apagada , en la que los campos fermiónicos se tratan como variables "congeladas" no dinámicas. Si bien esto era común en los primeros cálculos de QCD en red, los fermiones "dinámicos" son ahora el estándar. ^[3] Estas simulaciones suelen utilizar algoritmos basados ​​en dinámica molecular o algoritmos de conjunto microcanónico . ^{[4] [5]}

Los resultados de los cálculos de QCD en red muestran, por ejemplo, que en un mesón no sólo son importantes las partículas (quarks y antiquarks), sino también los " tubos de flujo " de los campos de gluones. ^{[ cita requerida ]}

La teoría de calibres reticulares también es importante para el estudio de la trivialidad cuántica por parte del grupo de renormalización del espacio real . ^[6] La información más importante en el flujo RG son los llamados puntos fijos .

Los posibles estados macroscópicos del sistema, a gran escala, están dados por este conjunto de puntos fijos. Si estos puntos fijos corresponden a una teoría de campo libre, se dice que la teoría es trivial o no interactuante. En el estudio de las teorías de Higgs en red aparecen numerosos puntos fijos, pero la naturaleza de las teorías cuánticas de campos asociadas a ellas sigue siendo una cuestión abierta. ^[7]

La trivialidad aún no se ha demostrado rigurosamente, pero los cálculos en red han proporcionado evidencia sólida de esto ^{[ cita requerida ]} . Este hecho es importante ya que la trivialidad cuántica se puede utilizar para limitar o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs . Los cálculos en red han sido útiles en este contexto. ^[8]

Originalmente, las teorías de calibración de red bidimensionales resolubles ya habían sido introducidas en 1971 como modelos con propiedades estadísticas interesantes por el teórico Franz Wegner , quien trabajó en el campo de las transiciones de fase . ^[9]

Cuando solo aparecen bucles Wilson 1×1 en la acción, se puede demostrar que la teoría del calibre de red es exactamente dual para los modelos de espuma de espín . ^[10]

• Teoría de calibración reticular hamiltoniana
• Teoría de campos en red
• QCD en celosía
• Trivialidad cuántica
• Acción de Wilson

• Creutz, M., Quarks, gluones y redes , Cambridge University Press, Cambridge, (1985). ISBN 978-0521315357 
• Montvay, I., Münster, G., Campos cuánticos en una red , Cambridge University Press, Cambridge, (1997). ISBN 978-0521599177 
• Makeenko, Y., Métodos de la teoría de calibre contemporánea , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 0-521-80911-8 . 
• Smit, J. , Introducción a los campos cuánticos en una red , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 978-0521890519 
• Rothe, H., Teorías de calibres reticulares: una introducción , World Scientific, Singapur, (2005). ISBN 978-9814365857 
• DeGrand, T., DeTar, C., Métodos de red para la cromodinámica cuántica , World Scientific, Singapur, (2006). ISBN 978-9812567277 
• Gattringer, C., Lang, CB, Cromodinámica cuántica en la red , Springer, (2010). ISBN 978-3642018497 
• Knechtli, F., Günther, M., Peardon, M., Cromodinámica cuántica en red: Fundamentos prácticos , Springer, (2016). ISBN 978-9402409970 
• Weisz Peter, Majumdar Pushan (2012). "Teorías de calibración reticular". Scholarpedia . 7 (4): 8615. Bibcode :2012SchpJ...7.8615W. doi : 10.4249/scholarpedia.8615 .

• La biblioteca FermiQCD para la teoría de campos reticulares
• Bibliotecas de software de cromodinámica cuántica de US Lattice