Octal

Octal ( base 8 ) es un sistema de numeración que tiene como base ocho .

En el sistema decimal, cada cifra es una potencia de diez . Por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {74} _{10}=\mathbf {7} \times 10^{1}+\mathbf {4} \times 10^{0}}$

En el sistema octal, cada cifra es una potencia de ocho. Por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {112} _{8}=\mathbf {1} \times 8^{2}+\mathbf {1} \times 8^{1}+\mathbf {2} \times 8^{0}}$

Al realizar el cálculo anterior en el sistema decimal conocido, vemos por qué 112 en octal es igual a en decimal.${\displaystyle 64+8+2=74}$

Los números octales se pueden convertir fácilmente a partir de representaciones binarias (similares a un sistema de numeración cuaternario ) agrupando dígitos binarios consecutivos en grupos de tres (empezando por la derecha, para los números enteros). Por ejemplo, la representación binaria del decimal 74 es 1001010. Se pueden agregar dos ceros a la izquierda: (00)1 001 010 , correspondientes a los dígitos octales 1 1 2 , lo que da como resultado la representación octal 112.

Los ocho bagua o trigramas del I Ching corresponden a dígitos octales:

• 0 = ☷, 1 = ☳, 2 = ☵, 3 = ☱,
• 4 = ☶, 5 = ☲, 6 = ☴, 7 = ☰.

Gottfried Wilhelm Leibniz estableció la conexión entre trigramas, hexagramas y números binarios en 1703. ^[1]

• El idioma Yuki en California tiene un sistema octal porque los hablantes cuentan utilizando los espacios entre sus dedos en lugar de los dedos mismos. ^[2]
• Las lenguas pameas en México también tienen un sistema octal, porque sus hablantes cuentan con los nudillos de un puño cerrado. ^[3]

• Se ha sugerido que la palabra protoindoeuropea (PIE) reconstruida para "nueve" podría estar relacionada con la palabra PIE para "nuevo". Basándose en esto, algunos han especulado que los protoindoeuropeos usaban un sistema de numeración octal, aunque la evidencia que respalda esto es escasa. ^[4]
• En 1668, John Wilkins en An Essay toward a Real Character, and a Philosophical Language propuso el uso de la base 8 en lugar de 10 "porque siendo la forma de dicotomía o bipartición la forma más natural y fácil de división, ese número es capaz de esto hasta una unidad". ^[5]
• En 1716, el rey Carlos XII de Suecia pidió a Emanuel Swedenborg que elaborara un sistema numérico basado en 64 en lugar de 10. Swedenborg argumentó, sin embargo, que para personas con menos inteligencia que el rey una base tan grande sería demasiado difícil y en su lugar propuso 8 como base. En 1718 Swedenborg escribió (pero no publicó) un manuscrito: " En ny rekenkonst som om vexlas wid Thalet 8 i stelle then wanliga wid Thalet 10 " ("Una nueva aritmética (o arte de contar) que cambia en el número 8 en lugar de la habitual en el número 10"). Los números 1–7 se denotan allí por las consonantes l, s, n, m, t, f, u (v) y el cero por la vocal o. Así, 8 = "lo", 16 = "so", 24 = "no", 64 = "loo", 512 = "looo", etc. Los números con consonantes consecutivas se pronuncian con los sonidos vocálicos intermedios de acuerdo con una regla especial. ^[6]
• Escribiendo bajo el seudónimo "Hirossa Ap-Iccim" en The Gentleman's Magazine (Londres) en julio de 1745, Hugh Jones propuso un sistema octal para monedas, pesos y medidas británicas. "Mientras que la razón y la conveniencia nos indican un estándar uniforme para todas las cantidades, al que llamaré el estándar georgiano , y que consiste únicamente en dividir cada número entero de cada especie en ocho partes iguales, y cada parte a su vez en ocho partículas reales o imaginarias, en la medida en que sea necesario. Porque aunque todas las naciones cuentan universalmente por decenas (originariamente ocasionado por el número de dígitos en ambas manos), sin embargo, 8 es un número mucho más completo y cómodo, ya que es divisible en mitades, cuartos y medios cuartos (o unidades) sin una fracción, de la cual la subdivisión en diez es incapaz...". En un tratado posterior sobre el cálculo de octavas (1753), Jones concluyó: "La aritmética por octavas parece más acorde con la naturaleza de las cosas, y por lo tanto puede llamarse aritmética natural en oposición a la que se usa ahora, por décadas, que puede considerarse aritmética artificial". ^[7]
• En 1801, James Anderson criticó a los franceses por basar el sistema métrico en la aritmética decimal. Sugirió la base 8, para la que acuñó el término octal . Su trabajo pretendía ser matemático recreativo, pero sugirió un sistema puramente octal de pesos y medidas y observó que el sistema existente de unidades inglesas ya era, en gran medida, un sistema octal. ^[8]
• A mediados del siglo XIX, Alfred B. Taylor concluyó que "nuestra base octanaria [base 8] es, por lo tanto, más allá de toda comparación, la " mejor posible " para un sistema aritmético". La propuesta incluía una notación gráfica para los dígitos y nuevos nombres para los números, sugiriendo que deberíamos contar " un , du , the , fo , pa , se , ki , unty , unty-un , unty-du " y así sucesivamente, con sucesivos múltiplos de ocho llamados " unty , duty , thety , foty , paty , sety , kity y under ". Entonces, por ejemplo, el número 65 (101 en octal) se pronunciaría en octanario como under-un . ^{[9] [10]} Taylor también republicó algunos de los trabajos de Swedenborg sobre octal como apéndice a las publicaciones citadas anteriormente.

Octal se empezó a utilizar ampliamente en informática cuando sistemas como UNIVAC 1050 , PDP-8 , ICL 1900 y mainframes de IBM empleaban palabras de 6 , 12 , 24 o 36 bits . Octal era una abreviatura ideal de binario para estas máquinas porque el tamaño de sus palabras es divisible por tres (cada dígito octal representa tres dígitos binarios). De modo que dos, cuatro, ocho o doce dígitos podían mostrar de forma concisa una palabra de máquina completa . También redujo los costes al permitir el uso de tubos Nixie , pantallas de siete segmentos y calculadoras para las consolas de operador, donde las pantallas binarias eran demasiado complejas de usar, las pantallas decimales necesitaban hardware complejo para convertir raíces y las pantallas hexadecimales necesitaban mostrar más números.

Sin embargo, todas las plataformas informáticas modernas utilizan palabras de 16, 32 o 64 bits, divididas a su vez en bytes de ocho bits . En estos sistemas se requerirían tres dígitos octales por byte, y el dígito octal más significativo representaría dos dígitos binarios (más un bit del siguiente byte significativo, si lo hubiera). La representación octal de una palabra de 16 bits requiere 6 dígitos, pero el dígito octal más significativo representa (de manera bastante poco elegante) solo un bit (0 o 1). Esta representación no ofrece ninguna manera de leer fácilmente el byte más significativo, porque está esparcido sobre cuatro dígitos octales. Por lo tanto, el hexadecimal se usa más comúnmente en los lenguajes de programación actuales, ya que dos dígitos hexadecimales especifican exactamente un byte. Algunas plataformas con un tamaño de palabra de potencia de dos aún tienen subpalabras de instrucciones que se entienden más fácilmente si se muestran en octal; esto incluye la familia PDP-11 y Motorola 68000 . La arquitectura x86, omnipresente en la actualidad , también pertenece a esta categoría, pero el octal rara vez se utiliza en esta plataforma, aunque ciertas propiedades de la codificación binaria de los códigos de operación se hacen más evidentes cuando se muestran en octal, por ejemplo, el byte ModRM, que se divide en campos de 2, 3 y 3 bits, por lo que el octal puede ser útil para describir estas codificaciones. Antes de la disponibilidad de los ensambladores , algunos programadores codificaban manualmente los programas en octal; por ejemplo, Dick Whipple y John Arnold escribieron Tiny BASIC Extended directamente en código de máquina, utilizando octal. ^[11]

En informática, a veces se utiliza el sistema octal en lugar del hexadecimal, quizás más a menudo en la actualidad en relación con los permisos de archivos en sistemas Unix (consulte chmod ). Tiene la ventaja de no requerir símbolos adicionales como dígitos (el sistema hexadecimal es de base 16 y, por lo tanto, necesita seis símbolos adicionales además del 0 al 9).

En los lenguajes de programación, los literales octales se identifican típicamente con una variedad de prefijos , incluyendo el dígito 0, las letras oo q, la combinación dígito-letra 0oo el símbolo &^[12] o $. En la convención Motorola , los números octales tienen como prefijo , mientras que una letra @minúscula (o mayúscula ^{[13] )} o^[13] o q^[13] se agrega como sufijo siguiendo la convención Intel . ^{[14] [15]} En Concurrent DOS , Multiuser DOS y REAL/32 así como en DOS Plus y DR-DOS varias variables de entorno como $CLS , $ON , $OFF , $HEADER o $FOOTER admiten una \nnnnotación de números octales, ^{[16] [17] [18]} y DR-DOS DEBUG utiliza \para prefijar números octales también.

Por ejemplo, el literal 73 (base 8) podría representarse como 073, o73, q73, 0o73, \73, @73, &73, $73o 73oen varios idiomas.

Los lenguajes más nuevos han estado abandonando el prefijo 0, ya que los números decimales a menudo se representan con ceros a la izquierda. El prefijo qse introdujo para evitar que el prefijo ose confundiera con un cero, mientras que el prefijo 0ose introdujo para evitar que un literal numérico comenzara con un carácter alfabético (como oo q), ya que estos podrían hacer que el literal se confundiera con un nombre de variable. El prefijo 0otambién sigue el modelo establecido por el prefijo 0xutilizado para literales hexadecimales en el lenguaje C ; Es compatible con Haskell , ^[19] OCaml , ^[20] Python a partir de la versión 3.0, ^[21] Raku , ^[22] Ruby , ^[23] Tcl a partir de la versión 9, ^[24] PHP a partir de la versión 8.1, ^[25] Rust ^[26] y ECMAScript a partir de ECMAScript 6 ^[27] (el prefijo 0originalmente representaba la base 8 en JavaScript pero podía causar confusión, ^[28] por lo tanto, se ha desaconsejado en ECMAScript 3 y se ha eliminado en ECMAScript 5 ^[29] ).

Números octales que se utilizan en algunos lenguajes de programación (C, Perl , PostScript ...) para representaciones textuales/gráficas de cadenas de bytes cuando algunos valores de bytes (no representados en una página de códigos, no gráficos, que tienen un significado especial en el contexto actual o no deseados por algún otro motivo) deben escaparse como \nnn. La representación octal puede ser particularmente útil con bytes no ASCII de UTF-8 , que codifica grupos de 6 bits, y donde cualquier byte de inicio tiene un valor octal \3nny cualquier byte de continuación tiene un valor octal \2nn.

Octal también se utilizó para punto flotante en las computadoras Ferranti Atlas (1962), Burroughs B5500 (1964), Burroughs B5700 (1971), Burroughs B6700 (1971) y Burroughs B7700 (1972).

Los transpondedores de los aviones transmiten un código de "squawk" , expresado como un número de cuatro dígitos octales, cuando son interrogados por el radar terrestre. Este código se utiliza para distinguir los distintos aviones en la pantalla del radar.

Para convertir decimales enteras a octales, se divide el número original por la mayor potencia de 8 posible y se dividen los restos por potencias de 8 cada vez más pequeñas hasta que la potencia sea 1. La representación octal se forma con los cocientes, escritos en el orden generado por el algoritmo. Por ejemplo, para convertir 125 ₁₀ a octal:

125 = 8 ² × 1 + 61

61 = 8 ¹ × 7 + 5

5 = 8 ⁰ × 5 + 0

Por lo tanto, 125 ₁₀ = 175 ₈ .

Otro ejemplo:

900 = 8 ³ × 1 + 388

388 = 8 ² × 6 + 4

4 = 8 ¹ × 0 + 4

4 = 8 ⁰ × 4 + 0

Por lo tanto, 900 ₁₀ = 1604 ₈ .

Para convertir una fracción decimal en octal, multiplique por 8; la parte entera del resultado es el primer dígito de la fracción octal. Repita el proceso con la parte fraccionaria del resultado hasta que sea nula o se encuentre dentro de los límites de error aceptables.

Ejemplo: Convertir 0,1640625 a octal:

0,1640625 × 8 = 1,3125 = 1 + 0,3125

0,3125 × 8 = 2,5 = 2 + 0,5

0,5 × 8 = 4,0 = 4 + 0

Por lo tanto, 0,1640625 ₁₀ = 0,124 ₈ .

Estos dos métodos se pueden combinar para manejar números decimales con partes enteras y fraccionarias, utilizando el primero en la parte entera y el segundo en la parte fraccionaria.

Para convertir decimales enteras a octales, anteponga el número con "0". Realice los siguientes pasos mientras queden dígitos en el lado derecho de la base: duplique el valor hacia el lado izquierdo de la base, utilizando las reglas octales , mueva el punto de la base un dígito hacia la derecha y luego coloque el valor duplicado debajo del valor actual de modo que los puntos de la base se alineen. Si el punto de la base movido cruza un dígito que es 8 o 9, conviértalo en 0 o 1 y agregue el acarreo al siguiente dígito hacia la izquierda del valor actual. Agregue octalmente esos dígitos a la izquierda de la base y simplemente baje esos dígitos hacia la derecha, sin modificación.

Ejemplo:

0,4 9 1 8 valor decimal +0 --------- 4.9 1 8 +1 0 -------- 6 1.1 8 +1 4 2 -------- 7 5 3.8 +1 7 2 6 -------- 1 1 4 6 6. valor octal

Para convertir un número k a decimal, utilice la fórmula que define su representación en base 8:

${\displaystyle k=\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}\times 8^{i}\right)}$

En esta fórmula, a _i es un dígito octal individual que se está convirtiendo, donde i es la posición del dígito (contando desde 0 para el dígito más a la derecha).

Ejemplo: Convertir 764 ₈ a decimal:

764 ₈ = 7 × 8 ² + 6 × 8 ¹ + 4 × 8 ⁰ = 448 + 48 + 4 = 500 ₁₀

Para números octales de dos dígitos, este método equivale a multiplicar el dígito principal por 8 y sumar el segundo dígito para obtener el total.

Ejemplo: 65 ₈ = 6 × 8 + 5 = 53 ₁₀

Para convertir octales a decimales, anteponga el número con "0". Realice los siguientes pasos mientras queden dígitos en el lado derecho de la base: duplique el valor hacia el lado izquierdo de la base, utilizando reglas decimales , mueva el punto de la base un dígito hacia la derecha y luego coloque el valor duplicado debajo del valor actual de modo que los puntos de la base se alineen. Reste decimalmente esos dígitos a la izquierda de la base y simplemente baje esos dígitos hacia la derecha, sin modificación.

Ejemplo:

0,1 1 4 6 6 valor octal -0 ----------- 1.1 4 6 6 - 2 ---------- 9.4 6 6 - 1 8 ---------- 7 6.6 6 - 1 5 2 ---------- 6 1 4.6 - 1 2 2 8 ---------- 4 9 1 8. valor decimal

Para convertir octal a binario, reemplace cada dígito octal por su representación binaria.

Ejemplo: Convertir 51 ₈ a binario:

5 ₈ = 101 ₂

1 ₈ = 001 ₂

Por lo tanto, 51 ₈ = 101 001 ₂ .

El proceso es el inverso del algoritmo anterior. Los dígitos binarios se agrupan de tres en tres, comenzando por el bit menos significativo y avanzando hacia la izquierda y hacia la derecha. Si es necesario, se añaden ceros a la izquierda (o ceros a la derecha del punto decimal) para completar el último grupo de tres. Luego, se reemplaza cada trío con el dígito octal equivalente.

Por ejemplo, convertir binario 1010111100 a octal:

001	010	111	100
1	2	7	4

Por lo tanto, 1010111100 ₂ = 1274 ₈ .

Convertir binario 11100.01001 a octal:

011	100	.	010	010
3	4	.	2	2

Por lo tanto, 11100.01001 ₂ = 34.22 ₈ .

La conversión se realiza en dos pasos utilizando el sistema binario como base intermedia. Se pasa del octal al binario y luego del binario al hexadecimal, agrupando los dígitos de cuatro en cuatro, que corresponden cada uno a un dígito hexadecimal.

Por ejemplo, convertir octal 1057 a hexadecimal:

A binario:

1	0	5	7
001	000	101	111

luego a hexadecimal:

0010	0010	1111
2	2	F

Por lo tanto, 1057 ₈ = 22F ₁₆ .

La conversión de hexadecimal a octal se realiza convirtiendo primero los dígitos hexadecimales en valores binarios de 4 bits y luego reagrupando los bits binarios en dígitos octales de 3 bits.

Por ejemplo, para convertir 3FA5 ₁₆ :

A binario:

3	F	A	5
0011	1111	1010	0101

luego a octal:

0	011	111	110	100	101
0	3	7	6	4	5

Por lo tanto, 3FA5 ₁₆ = 37645 ₈ .

Debido a que solo tienen factores de dos, muchas fracciones octales tienen dígitos repetidos, aunque estos tienden a ser bastante simples:

La siguiente tabla muestra las expansiones de algunos números irracionales comunes en decimal y octal.

• Formato de números de computadora  : representación interna de valores numéricos en una computadora digital
• Juegos octales , un sistema de numeración de juegos utilizado en la teoría de juegos combinatorios
• Octal dividido , una notación octal de 16 bits utilizada por Heath Company, DEC y otros
• Código Squawk , una representación octal de 12 bits del código Gillham
• Octal silábico , una representación octal de sílabas de 8 bits utilizada por English Electric

• Octomatics es un sistema numérico que permite realizar cálculos visuales sencillos en octal.
• El convertidor octal realiza conversiones bidireccionales entre el sistema octal y decimal.