Representación de dígitos con signo

En la notación matemática de números , una representación de dígitos con signo es un sistema numérico posicional con un conjunto de dígitos con signo utilizado para codificar los números enteros .

La representación de dígitos con signo se puede utilizar para lograr una rápida suma de números enteros porque puede eliminar cadenas de acarreos dependientes. ^[1] En el sistema de numeración binario , un caso especial de representación de dígitos con signo es la forma no adyacente , que puede ofrecer beneficios de velocidad con una sobrecarga de espacio mínima.

Los desafíos en el cálculo estimularon a los primeros autores Colson (1726) y Cauchy (1840) a utilizar la representación de dígitos con signo. El paso siguiente de reemplazar los dígitos negados por otros nuevos fue sugerido por Selling (1887) y Cajori (1928).

En 1928, Florian Cajori notó el tema recurrente de los dígitos con signo, comenzando con Colson (1726) y Cauchy (1840). ^[2] En su libro History of Mathematical Notations , Cajori tituló la sección "Numerales negativos". ^[3] Para completar, Colson ^[4] usa ejemplos y describe la suma (pp. 163-164), la multiplicación (pp. 165-166) y la división (pp. 170-171) usando una tabla de múltiplos del divisor. Explica la conveniencia de la aproximación por truncamiento en la multiplicación. Colson también ideó un instrumento (Counting Table) que calculaba usando dígitos con signo.

Eduard Selling ^[5] abogó por invertir los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 para indicar el signo negativo. También sugirió snie , jes , jerd , reff y niff como nombres para usar vocalmente. La mayoría de las otras fuentes tempranas usaban una barra sobre un dígito para indicar un signo negativo. Otro uso alemán de los dígitos con signo fue descrito en 1902 en la enciclopedia de Klein . ^[6]

Sea un conjunto finito de dígitos numéricos con cardinalidad (Si , entonces el sistema de numeración posicional es trivial y solo representa el anillo trivial ), con cada dígito denotado como para se conoce como el radix o base numérica . se puede utilizar para una representación de dígitos con signo si está asociado con una función única tal que para todos Esta función, es lo que establece rigurosa y formalmente cómo se asignan los valores enteros a los símbolos/glifos en Un beneficio de este formalismo es que la definición de "los números enteros" (como sea que se definan) no se fusiona con ningún sistema particular para escribirlos/representarlos; de esta manera, estos dos conceptos distintos (aunque estrechamente relacionados) se mantienen separados. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle b>1}$${\displaystyle b\leq 1}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle 0\leq i<b.}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{i})\equiv i{\bmod {b}}}$${\displaystyle 0\leq i<b.}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}},}$${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$se puede dividir en tres conjuntos distintos , , y , que representan los dígitos positivos, cero y negativos respectivamente, de modo que todos los dígitos satisfacen , todos los dígitos satisfacen y todos los dígitos satisfacen . La cardinalidad de es , la cardinalidad de es , y la cardinalidad de es , que dan el número de dígitos positivos y negativos respectivamente, de modo que . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})>0}$${\displaystyle d_{0}\in {\mathcal {D}}_{0}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{0})=0}$${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{-})<0}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle b_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle b_{-}}$${\displaystyle b=b_{+}+b_{0}+b_{-}}$

Las representaciones en forma balanceada son representaciones en las que para cada dígito positivo , existe un dígito negativo correspondiente tal que . De ello se deduce que . Solo las bases impares pueden tener representaciones en forma balanceada, ya que de lo contrario tiene que ser el opuesto de sí mismo y, por lo tanto, 0, pero . En forma balanceada, los dígitos negativos se denotan generalmente como dígitos positivos con una barra sobre el dígito, como para . Por ejemplo, el conjunto de dígitos de un ternario balanceado sería con , , y . Esta convención se adopta en cuerpos finitos de orden primo impar : ^[7]${\displaystyle d_{+}}$${\displaystyle d_{-}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})=-f_{\mathcal {D}}(d_{-})}$${\displaystyle b_{+}=b_{-}}$${\displaystyle d_{b/2}}$${\displaystyle 0\neq {\frac {b}{2}}}$${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle d_{-}={\bar {d}}_{+}}$${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}({\bar {1}})=-1}$${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(0)=0}$${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(1)=1}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}=\lbrace 0,1,{\bar {1}}=-1,...d={\frac {q-1}{2}},\ {\bar {d}}={\frac {1-q}{2}}\ |\ q=0\rbrace .}$

Cada conjunto de dígitos tiene un conjunto de dígitos dual dado por el orden inverso de los dígitos con un isomorfismo definido por . Como resultado, para cualquier representación de dígitos con signo de un anillo de sistema numérico construido a partir de con valoración , existe una representación de dígitos con signo dual de , , construida a partir de con valoración , y un isomorfismo definido por , donde es el operador inverso aditivo de . El conjunto de dígitos para representaciones en forma balanceada es autodual .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle -f_{\mathcal {D}}=g\circ f_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {N}}\rightarrow N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}:{\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }\rightarrow N}$${\displaystyle h:{\mathcal {N}}\rightarrow {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle -v_{\mathcal {D}}=h\circ v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$${\displaystyle -}$${\displaystyle N}$

Dado el conjunto de dígitos y la función definidos anteriormente, definamos una endofunción entera de la siguiente manera:${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle T:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}{\frac {n-f(d_{i})}{b}}&{\text{if }}n\equiv i{\bmod {b}},0\leq i<b\end{cases}}}$

Si el único punto periódico de es el punto fijo , entonces el conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo de los números enteros que utilizan está dado por Kleene más , el conjunto de todas las cadenas finitas concatenadas de dígitos con al menos un dígito, con . Cada representación de dígito con signo tiene una valoración${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{+}\rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$.

Los ejemplos incluyen ternario equilibrado con dígitos . ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$

De lo contrario, si existe un punto periódico distinto de cero de , entonces existen números enteros que están representados por un número infinito de dígitos distintos de cero en . Los ejemplos incluyen el sistema de numeración decimal estándar con el conjunto de dígitos , que requiere un número infinito del dígito para representar el inverso aditivo , como , y el sistema de numeración posicional con el conjunto de dígitos con , que requiere un número infinito del dígito para representar el número , como .${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \operatorname {dec} =\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace }$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle -1}$${\displaystyle T_{\operatorname {dec} }(-1)={\frac {-1-9}{10}}=-1}$${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\text{A}},0,1\rbrace }$${\displaystyle f({\text{A}})=-4}$${\displaystyle {\text{A}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle T_{\mathcal {D}}(2)={\frac {2-(-4)}{3}}=2}$

Si los números enteros se pueden representar mediante el Kleene plus , entonces el conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo de las fracciones decimales o racionales -ádicos está dado por , el producto cartesiano del Kleene plus , el conjunto de todas las cadenas finitas concatenadas de dígitos con al menos un dígito, el singleton que consiste en el punto de la base ( o ), y la estrella de Kleene , el conjunto de todas las cadenas finitas concatenadas de dígitos , con . Cada representación de dígito con signo tiene una valoración${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1\backslash b]}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle .}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$${\displaystyle d_{-1}\ldots d_{-m}}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {Q}}\rightarrow \mathbb {Z} [1\backslash b]}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(q)=\sum _{i=-m}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

Si los números enteros pueden representarse mediante el Kleene plus , entonces el conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo de los números reales está dado por , el producto cartesiano del Kleene plus , el conjunto de todas las cadenas finitas concatenadas de dígitos con al menos un dígito, el singleton que consiste en el punto de base ( o ), y el espacio de Cantor , el conjunto de todas las cadenas infinitas concatenadas de dígitos , con . Cada representación de dígito con signo tiene una valoración${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle .}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{-1}d_{-2}\ldots }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle r\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {R}}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(r)=\sum _{i=-\infty }^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$.

La serie infinita siempre converge a un número real finito.

Todos los numerales base se pueden representar como un subconjunto de , el conjunto de todas las secuencias doblemente infinitas de dígitos en , donde es el conjunto de números enteros , y el anillo de numerales base se representa mediante el anillo de series de potencias formales , la serie doblemente infinita${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[b,b^{-1}]]}$

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}b^{i}}$

donde para . ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$

El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo de los números enteros módulo${\displaystyle b^{n}}$ , está dado por el conjunto , el conjunto de todas las cadenas finitas concatenadas de dígitos de longitud , con . Cada representación de dígito con signo tiene una valoración${\displaystyle \mathbb {Z} \backslash b^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}}$${\displaystyle d_{n-1}\ldots d_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{n}\rightarrow \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=0}^{n-1}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}{\bmod {b}}^{n}}$

Un grupo de Prüfer es el grupo cociente de los números enteros y los racionales -ádicos. El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo del grupo de Prüfer está dado por la estrella de Kleene , el conjunto de todas las cadenas finitas concatenadas de dígitos , con . Cada representación de dígito con signo tiene una valoración${\displaystyle \mathbb {Z} (b^{\infty })=\mathbb {Z} [1\backslash b]/\mathbb {Z} }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$${\displaystyle d_{1}\ldots d_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p\in {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{*}\rightarrow \mathbb {Z} (b^{\infty })}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

El grupo del círculo es el grupo cociente de los números enteros y reales. El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo del grupo del círculo está dado por el espacio de Cantor , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenadas infinitas por la derecha . Cada representación de dígito con signo tiene una valoración${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle d_{1}d_{2}\ldots }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {T} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

La serie infinita siempre converge .

El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo de los enteros -ádicos está dado por el espacio de Cantor , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenadas infinitas por la izquierda . Cada representación de dígito con signo tiene una valoración${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}}$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {Z} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo de los solenoides -ádicos , está dado por el espacio de Cantor , el conjunto de todas las cadenas concatenadas de dígitos doblemente infinitas . Cada representación de dígito con signo tiene una valoración${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {T} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}d_{-1}\ldots }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }\rightarrow \mathbb {T} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

Las formas orales y escritas de los números en las lenguas indoarias utilizan un numeral negativo (por ejemplo, "un" en hindi y bengalí , "un" o "unna" en panyabí , "ekon" en maratí ) para los números entre 11 y 90 que terminan en nueve. Los números seguidos de sus nombres se muestran a continuación para panyabí (el prefijo "ik" significa "uno"): ^[8]

• 19 años, 20 años, 21 años
• 29 años, 30 años, 31 años
• 39 untali, 40 chali, 41 iktali
• 49 unanja, 50 panjah, 51 ikvanja
• 59 años, 60 años, 61 años
• 69 unattar, 70 sattar, 71 ikhattar
• 79 unasi, 80 assi, 81 ikiasi
• 89 unanve, 90 nabbe, 91 ikinnaven.

De manera similar, el idioma sesotho utiliza números negativos para formar 8 y 9.

• 8 robeli (/Ro-bay-dee/) que significa "romper dos", es decir, dos dedos hacia abajo
• 9 robong (/Ro-bong/) que significa "romper uno", es decir, un dedo hacia abajo

En latín clásico , ^[9] los números enteros 18 y 19 ni siquiera tenían una forma hablada ni escrita que incluyera las partes correspondientes para "ocho" o "nueve" en la práctica, a pesar de que existían. En cambio, en latín clásico,

• 18 = duodēvīgintī ("dos tomados de veinte"), (IIXX o XIIX),
• 19 = ūndēvīgintī ("uno tomado de veinte"), (IXX o XIX)
• 20 = vīgintī ("veinte"), (XX).

Para los números enteros siguientes [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89], la forma aditiva en el lenguaje había sido mucho más común, sin embargo, para los números enumerados, la forma anterior seguía siendo la preferida. Por lo tanto, al acercarse a treinta, los números se expresaban como: ^[10]

• 28 = duodētrīgintā ("dos tomados de treinta"), con menos frecuencia también vīgintī octō / octō et vīgintī ("veintiocho / veinte y ocho"), (IIXXX o XXIIX versus XXVIII, este último habiendo sido completamente superado).
• 29 = ūndētrīgintā ("uno tomado de treinta") a pesar de que la forma menos preferida también estaba a su disposición.

Este es uno de los fundamentos principales del razonamiento de los historiadores contemporáneos, que explica por qué los números sustractivos I- y II- eran tan comunes en este rango de cardinales en comparación con otros rangos. Los números 98 y 99 también podrían expresarse en ambas formas, aunque "dos a cien" podría haber sonado un poco extraño; una prueba clara es la escasa aparición de estos números escritos de forma sustractiva en fuentes auténticas.

Existe otro idioma que posee esta característica (por ahora, solo en forma de rastros), pero que todavía se usa activamente en la actualidad. Se trata del idioma finlandés , donde los números (escritos) se usan de esta manera cuando aparece un dígito de 8 o 9. El esquema es el siguiente: ^[11]

• 1 = "yksi" (Nota: yhd- o yht- principalmente cuando está a punto de ser rechazado; por ejemplo, "yhdessä" = "juntos, como una [entidad]")
• 2 = "kaksi" (nota también: kahde-, kahte- cuando se rechaza)
• 3 = "colme"
• 4 = "no me gusta"

...

• 7 = "seitsemän"
• 8 = "kah(d)eksan" (faltan dos [para que llegue a él])
• 9 = "yh(d)eksän" (queda uno [para que lo alcance])
• 10 = "kymmenen" (diez)

La lista anterior no es un caso especial, por lo que aparece también en cardinales mayores, por ejemplo:

• 399 = "kolmesataayhdeksänkymmentäyhdeksän"

El énfasis de estos atributos permanece presente incluso en las formas coloquiales más cortas de los numerales:

• 1 = "aa"
• 2 = "kaa"
• 3 = "koo"

...

• 7 = "seiska"
• 8 = "kasi"
• 9 = "ysi"
• 10 = "kymppi"

Sin embargo, este fenómeno no tiene influencia en los números escritos; los finlandeses utilizan la notación decimal árabe occidental estándar.

En el idioma inglés es común referirse a los tiempos como, por ejemplo, 'de siete a tres', 'para' realizar la negación.

Existen otras bases de dígitos con signo, de modo que la base . Un ejemplo notable de esto es la codificación Booth , que tiene un conjunto de dígitos con y , pero que utiliza una base . El sistema de numeración binario estándar solo utilizaría dígitos de valor .${\displaystyle b\neq b_{+}+b_{-}+1}$${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$${\displaystyle b_{+}=1}$${\displaystyle b_{-}=1}$${\displaystyle b=2<3=b_{+}+b_{-}+1}$${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$

Tenga en cuenta que las representaciones de dígitos con signo no estándar no son únicas. Por ejemplo:

${\displaystyle 0111_{\mathcal {D}}=4+2+1=7}$

${\displaystyle 10{\bar {1}}1_{\mathcal {D}}=8-2+1=7}$

${\displaystyle 1{\bar {1}}11_{\mathcal {D}}=8-4+2+1=7}$

${\displaystyle 100{\bar {1}}_{\mathcal {D}}=8-1=7}$

La forma no adyacente (NAF) de la codificación Booth garantiza una representación única para cada valor entero. Sin embargo, esto solo se aplica a los valores enteros. Por ejemplo, considere los siguientes números binarios repetidos en NAF:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=0.{\overline {10}}_{\mathcal {D}}=1.{\overline {0{\bar {1}}}}_{\mathcal {D}}}$

• Ternario equilibrado
• Base negativa
• Representación binaria redundante

• JP Balantine (1925) "Un dígito para menos uno", American Mathematical Monthly 32:302.
• Lui Han, Dongdong Chen, Seok-Bum Ko, Khan A. Wahid "Sumador de dígitos con signo decimal no especulativo" del Departamento de Ingeniería Eléctrica y Computación, Universidad de Saskatchewan .