Axiomas de probabilidad

Parte de una serie sobre estadísticas
Teoría de la probabilidad
Probabilidad Axiomas Determinismo Sistema Indeterminismo Aleatoriedad
Espacio de probabilidad Espacio muestral Evento Eventos colectivamente exhaustivos Evento elemental Exclusividad mutua Resultado Semifallo Experimento El proceso de Bernoulli Distribución de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución exponencial Distribución normal Distribución de Pareto Distribución de Poisson Medida de probabilidad Variable aleatoria Proceso de Bernoulli Continuo o discreto Valor esperado Diferencia Markov chain Observed value Random walk Stochastic process
Complementary event Joint probability Marginal probability Conditional probability
Independence Conditional independence Law of total probability Law of large numbers Bayes' theorem Boole's inequality
Venn diagram Tree diagram
v t e

Los axiomas de probabilidad estándar son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducida por el matemático ruso Andrey Kolmogorov en 1933. ^[1] Estos axiomas siguen siendo centrales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real. ^[2]

Existen otros enfoques (equivalentes) para formalizar la probabilidad. Los bayesianos suelen motivar los axiomas de Kolmogorov invocando el teorema de Cox o los argumentos del libro holandés . ^{[3] [4]}

Las suposiciones para la formulación de los axiomas se pueden resumir de la siguiente manera: Sea un espacio de medida con probabilidad de algún evento , y . Entonces es un espacio de probabilidad , con espacio muestral , espacio de eventos y medida de probabilidad . ^[1]${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$${\displaystyle P(E)}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle P(\Omega )=1}$${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

La probabilidad de un evento es un número real no negativo:

${\displaystyle P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F}$

donde es el espacio de eventos. De ello se deduce (cuando se combina con el segundo axioma) que siempre es finito, en contraste con la teoría de la medida más general . Las teorías que asignan probabilidad negativa relajan el primer axioma.${\displaystyle F}$${\displaystyle P(E)}$

Éste es el supuesto de la unidad de medida : que la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos elementales en todo el espacio muestral es 1.

${\displaystyle P(\Omega )=1}$

Esta es la suposición de σ-aditividad :

Cualquier secuencia contable de conjuntos disjuntos (sinónimos de eventos mutuamente excluyentes ) satisface${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

Algunos autores consideran meramente espacios de probabilidad finitamente aditivos , en cuyo caso sólo se necesita un álgebra de conjuntos , en lugar de un σ-álgebra . ^[5] Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.

A partir de los axiomas de Kolmogorov se pueden deducir otras reglas útiles para estudiar las probabilidades. Las demostraciones ^{[6] [7] [8]} de estas reglas son un procedimiento muy esclarecedor que ilustra el poder del tercer axioma y su interacción con los dos axiomas anteriores. A continuación se muestran cuatro de los corolarios inmediatos y sus demostraciones:

${\displaystyle \quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).}$

Si A es un subconjunto de B o igual a él, entonces la probabilidad de A es menor o igual a la probabilidad de B.

Para verificar la propiedad de monotonía, establecemos y , donde y para . A partir de las propiedades del conjunto vacío ( ), es fácil ver que los conjuntos son disjuntos por pares y . Por lo tanto, obtenemos del tercer axioma que${\displaystyle E_{1}=A}$${\displaystyle E_{2}=B\setminus A}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$${\displaystyle i\geq 3}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B}$

${\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}$

Como, por el primer axioma, el lado izquierdo de esta ecuación es una serie de números no negativos, y como converge a que es finito, obtenemos tanto como .${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

En muchos casos, no es el único evento con probabilidad 0.${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )}$desde ,${\displaystyle \varnothing \cup \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )}$aplicando el tercer axioma al lado izquierdo (la nota es disjunta consigo misma), y así${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$restando de cada lado de la ecuación.${\displaystyle P(\varnothing )}$

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)}$

Dados y son mutuamente excluyentes y que :${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$

${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})}$ ... (por el axioma 3)

y, ... (por el axioma 2)${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$

${\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}$

De la propiedad de monotonía se deduce inmediatamente que

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

Dada la regla del complemento y el axioma 1 :${\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)}$ ${\displaystyle P(E^{c})\geq 0}$

${\displaystyle 1-P(E)\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\geq P(E)}$

${\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1}$

Otra propiedad importante es:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Esto se llama ley de la adición de probabilidad, o regla de la suma. Es decir, la probabilidad de que ocurra un evento en A o B es la suma de la probabilidad de un evento en A y la probabilidad de un evento en B , menos la probabilidad de un evento que se encuentra tanto en A como en B. La prueba de esto es la siguiente:

En primer lugar,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)}$. (por Axioma 3)

Entonces,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$(por ).${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$

También,

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)}$

y eliminando de ambas ecuaciones nos da el resultado deseado.${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$

Una extensión de la ley de adición a cualquier número de conjuntos es el principio de inclusión-exclusión .

Al establecer B como complemento A ^c de A en la ley de la adición se obtiene

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

Es decir, la probabilidad de que cualquier evento no ocurra (o el complemento del evento ) es 1 menos la probabilidad de que ocurra.

Consideremos un lanzamiento de moneda y supongamos que la moneda caerá en cara (H) o cruz (T) (pero no en ambas). No se hace ninguna suposición sobre si la moneda es justa o si existe algún sesgo que dependa o no de cómo se la lanza. ^[9]

Podemos definir:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

Los axiomas de Kolmogorov implican que:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

La probabilidad de que no salga ni cara ni cruz es 0.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

La probabilidad de que salga cara o cruz es 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

La suma de la probabilidad de cara y la probabilidad de cruz es 1.

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• DeGroot, Morris H. (1975). Probabilidad y estadística. Lectura: Addison-Wesley. Págs. 12-16. ISBN 0-201-01503-X.
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Probabilidad axiomática" . Introducción a la teoría de la probabilidad . Nueva York: Macmillan. págs. 13–28.
• Definición formal de probabilidad en el sistema Mizar , y lista de teoremas demostrados formalmente sobre ella.