Elemento integral

En álgebra conmutativa , se dice que un elemento b de un anillo conmutativo B es integral sobre un subanillo A de B si b es una raíz de algún polinomio mónico sobre A. [ ^1]

Si A , B son campos , entonces las nociones de "integral sobre" y de "extensión integral" son precisamente " algebraicas sobre" y " extensiones algebraicas " en la teoría de campos (ya que la raíz de cualquier polinomio es la raíz de un polinomio mónico).

El caso de mayor interés en la teoría de números es el de los números complejos integrales sobre Z (por ejemplo, o ); en este contexto, los elementos integrales suelen denominarse enteros algebraicos . Los enteros algebraicos en un cuerpo de extensión finito k de los racionales Q forman un subanillo de k , llamado anillo de enteros de k , un objeto central de estudio en la teoría de números algebraicos .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\estilo de visualización 1+i}$

En este artículo se entenderá por anillo un anillo conmutativo con identidad multiplicativa.

Sea un anillo y sea un subanillo de Se dice que un elemento de es integral sobre si para algún existe en tal que${\estilo de visualización B}$${\displaystyle A\subconjunto B}$${\estilo de visualización B.}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización B}$ ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle n\geq 1,}$${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ \puntos ,\ a_{n-1}}$${\estilo de visualización A}$$${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.}$$

El conjunto de elementos de que son integrales sobre se llama clausura integral de en La clausura integral de cualquier subanillo en es, en sí misma, un subanillo de y contiene Si cada elemento de es integral sobre entonces decimos que es integral sobre , o equivalentemente es una extensión integral de${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B.}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle A.}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización A,}$${\estilo de visualización B}$ ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle A.}$

Hay muchos ejemplos de cierre integral que se pueden encontrar en la teoría de números algebraicos, ya que es fundamental para definir el anillo de números enteros para una extensión de campo algebraico (o ).${\displaystyle K/\mathbb {Q}}$${\displaystyle L/\mathbb {Q}_{p}}$

Los números enteros son los únicos elementos de Q que son integrales sobre Z. En otras palabras, Z es la clausura integral de Z en Q.

Los números enteros gaussianos son los números complejos de la forma , y son enteros sobre Z . es entonces el cierre integral de Z en . Normalmente, este anillo se denota .${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}}$

El cierre integral de Z en es el anillo${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {5}})}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]}$

Este ejemplo y el anterior son ejemplos de números enteros cuadráticos . La clausura integral de una extensión cuadrática se puede determinar construyendo el polinomio mínimo de un elemento arbitrario y encontrando un criterio de teoría de números para que el polinomio tenga coeficientes integrales. Este análisis se puede encontrar en el artículo sobre extensiones cuadráticas .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$

Sea ζ una raíz de la unidad . Entonces, la clausura integral de Z en el cuerpo ciclotómico Q (ζ) es Z [ζ]. ^[2] Esto se puede encontrar utilizando el polinomio mínimo y utilizando el criterio de Eisenstein .

El cierre integral de Z en el cuerpo de los números complejos C , o cierre algebraico, se llama anillo de los enteros algebraicos .${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$

Las raíces de la unidad , los elementos nilpotentes y los elementos idempotentes en cualquier anillo son integrales sobre Z.

En geometría , el cierre integral está estrechamente relacionado con la normalización y los esquemas normales . Es el primer paso en la resolución de singularidades , ya que proporciona un proceso para resolver singularidades de codimensión 1.

• Por ejemplo, el cierre integral de es el anillo ya que geométricamente, el primer anillo corresponde al plano - unido con el plano -. Tienen una singularidad de codimensión 1 a lo largo del eje - donde se intersecan.${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(xy)}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,z]\times \mathbb {C} [y,z]}$${\displaystyle xz}$${\displaystyle yz}$${\displaystyle z}$
• Sea un grupo finito G el que actúa sobre un anillo A . Entonces A es integral sobre A ^G , el conjunto de elementos fijados por G ; véase Anillo de invariantes .
• Sea R un anillo y u una unidad en un anillo que contiene a R. Entonces ^[3]

1. u ⁻¹ es integral sobre R si y sólo si u ⁻¹ ∈ R [ u ].
2. ${\displaystyle R[u]\cap R[u^{-1}]}$es integral sobre R .
3. El cierre integral del anillo de coordenadas homogéneas de una variedad proyectiva normal X es el anillo de secciones ^[4]

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).}$

• Si es un cierre algebraico de un cuerpo k , entonces es integral sobre${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$
• La clausura integral de C [[ x ]] en una extensión finita de C (( x )) es de la forma (cf. serie de Puiseux ) ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \mathbf {C} [[x^{1/n}]]}$

Sea B un anillo y sea A un subanillo de B. Dado un elemento b en B , las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) b es integral sobre A ;

(ii) el subanillo A [ b ] de B generado por A y b es un módulo A finitamente generado ;

(iii) existe un subanillo C de B que contiene A [ b ] y que es un módulo A finitamente generado ;

(iv) existe un módulo A [ b ] fiel M tal que M se genera finitamente como un módulo A.

La prueba habitual de esto utiliza la siguiente variante del teorema de Cayley-Hamilton sobre determinantes :

Teorema Sea u un endomorfismo de un A -módulo M generado por n elementos e I un ideal de A tal que . Entonces existe una relación:${\displaystyle u(M)\subset IM}$

${\displaystyle u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.}$

Este teorema (con I = A y u multiplicado por b ) da (iv) ⇒ (i) y el resto es fácil. Casualmente, el lema de Nakayama es también una consecuencia inmediata de este teorema.

De las cuatro afirmaciones equivalentes anteriores se deduce que el conjunto de elementos de que son integrales sobre forma un subanillo de que contiene a . (Demostración: si x , y son elementos de que son integrales sobre , entonces son integrales sobre puesto que estabilizan a , que es un módulo finitamente generado sobre y se aniquila solo por cero.) ^[5] Este anillo se llama cierre integral de en .${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x+y,xy,-x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A[x]A[y]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Otra consecuencia de la equivalencia anterior es que la "integralidad" es transitiva , en el siguiente sentido. Sea un anillo que contiene y . Si es integral sobre y integral sobre , entonces es integral sobre . En particular, si es integral sobre y es integral sobre , entonces es también integral sobre .${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle c}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$

Si resulta ser el cierre integral de en , entonces se dice que A está integralmente cerrado en . Si es el anillo total de fracciones de , (por ejemplo, el cuerpo de fracciones cuando es un dominio integral ), entonces a veces se omite la calificación "en " y simplemente se dice "cierre integral de " y " está integralmente cerrado ". ^[6] Por ejemplo, el anillo de números enteros está integralmente cerrado en el cuerpo .${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$

Sea A un dominio integral con el cuerpo de fracciones K y A' la clausura integral de A en una extensión de cuerpo algebraico L de K . Entonces el cuerpo de fracciones de A' es L . En particular, A' es un dominio integralmente cerrado .

Esta situación es aplicable en la teoría de números algebraicos cuando se relaciona el anillo de números enteros y una extensión de cuerpo. En particular, dada una extensión de cuerpo, la clausura integral de en es el anillo de números enteros .${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

Nótese que la transitividad de la integralidad anterior implica que si es integral sobre , entonces es una unión (equivalentemente un límite inductivo ) de subanillos que son -módulos generados finitamente .${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

Si es noetheriano , la transitividad de la integralidad puede debilitarse al enunciado:${\displaystyle A}$

Existe un submódulo finitamente generado de que contiene .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A[b]}$

Finalmente, la suposición de que sea un subanillo de puede modificarse un poco. Si es un homomorfismo de anillos , entonces se dice que es integral si es integral sobre . De la misma manera se dice que es finito ( finitamente generado -módulo) o de tipo finito ( finitamente generado -álgebra ). Desde este punto de vista, se tiene que${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle f}$es finito si y sólo si es integral y de tipo finito.${\displaystyle f}$

O más explícitamente,

${\displaystyle B}$es un módulo generado finitamente si y solo si se genera como un álgebra por un número finito de elementos integrales sobre .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Una extensión integral A  ⊆  B tiene la propiedad de ascenso , la propiedad de superposición y la propiedad de incomparabilidad ( teoremas de Cohen-Seidenberg ). Explícitamente, dada una cadena de ideales primos en A existe un en B con (ascendente y superpuesto) y dos ideales primos distintos con relación de inclusión no pueden contraerse al mismo ideal primo (incomparabilidad). En particular, las dimensiones de Krull de A y B son las mismas. Además, si A es un dominio integralmente cerrado, entonces se cumple la propiedad de descenso (ver más abajo).${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{i}\cap A}$

En general, el subir implica el acostarse encima. ^[7] Por lo tanto, en lo que sigue, simplemente decimos "subir" para significar "subir" y "acostarse encima".

Cuando A , B son dominios tales que B es integral sobre A , A es un cuerpo si y solo si B es un cuerpo. Como corolario , se tiene: dado un ideal primo de B , es un ideal maximal de B si y solo si es un ideal maximal de A . Otro corolario: si L / K es una extensión algebraica, entonces cualquier subanillo de L que contenga a K es un cuerpo.${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A}$

Sea B un anillo que es integral sobre un subanillo A y k un cuerpo algebraicamente cerrado . Si es un homomorfismo, entonces f se extiende a un homomorfismo B → k . ^[8] Esto se sigue del ascenso.${\displaystyle f:A\to k}$

Sea una extensión integral de anillos. Entonces la función inducida${\displaystyle f:A\to B}$

${\displaystyle {\begin{cases}f^{\#}:\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A\\p\mapsto f^{-1}(p)\end{cases}}}$

es una función cerrada ; de hecho, para cualquier ideal I y es sobreyectiva si f es inyectiva . Esta es una interpretación geométrica del ascenso.${\displaystyle f^{\#}(V(I))=V(f^{-1}(I))}$${\displaystyle f^{\#}}$

Sea B un anillo y A un subanillo que es un dominio integralmente cerrado noetheriano (es decir, es un esquema normal ). Si B es integral sobre A , entonces es sumergible; es decir, la topología de es la topología cociente . ^[9] La prueba utiliza la noción de conjuntos construibles . (Véase también: Torsor (geometría algebraica) .)${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$

Si es integral sobre , entonces es integral sobre R para cualquier A -álgebra R . ^[10] En particular, es cerrado; es decir, la extensión integral induce una función " universalmente cerrada ". Esto conduce a una caracterización geométrica de la extensión integral . Es decir, sea B un anillo con sólo un número finito de ideales primos mínimos (por ejemplo, dominio integral o anillo noetheriano). Entonces B es integral sobre un (subanillo) A si y sólo si es cerrado para cualquier A -álgebra R . ^[11] En particular, toda función propia es universalmente cerrada. ^[12]${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B\otimes _{A}R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R}$

Proposición. Sea A un dominio integralmente cerrado con el cuerpo de fracciones K , L una extensión normal finita de K , B la clausura integral de A en L . Entonces el grupo actúa transitivamente sobre cada fibra de .${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

Demostración. Supóngase para cualquier en G . Entonces, por evitación de primos , hay un elemento x en tal que para cualquier . G fija el elemento y por lo tanto y es puramente inseparable sobre K . Entonces alguna potencia pertenece a K ; como A es integralmente cerrado tenemos: Por lo tanto, encontramos que está en pero no en ; es decir, .${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}\neq \sigma ({\mathfrak {p}}_{1})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$${\displaystyle \sigma (x)\not \in {\mathfrak {p}}_{1}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle y=\prod \nolimits _{\sigma }\sigma (x)}$${\displaystyle y^{e}}$${\displaystyle y^{e}\in A.}$${\displaystyle y^{e}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\cap A\neq {\mathfrak {p}}_{2}\cap A}$

El grupo de Galois actúa entonces sobre todos los ideales primos que se encuentran sobre un ideal primo fijo . ^[13] Es decir, si${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$

Entonces hay una acción de Galois en el conjunto . Esto se llama Desdoblamiento de ideales primos en extensiones de Galois .${\displaystyle S_{\mathfrak {p}}=\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}}$

La misma idea en la prueba muestra que si es una extensión puramente inseparable (no necesita ser normal), entonces es biyectiva .${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

Sea A , K , etc. como antes, pero supongamos que L es solo una extensión de campo finito de K. Entonces

(i) tiene fibras finitas.${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

(ii) la bajada se cumple entre A y B : dado , existe que se contrae con él.${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'_{n}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}}$

De hecho, en ambos enunciados, al ampliar L , podemos suponer que L es una extensión normal. Entonces (i) es inmediata. En cuanto a (ii), al ir hacia arriba, podemos encontrar una cadena que se contrae a . Por transitividad, existe tal que y entonces son la cadena deseada.${\displaystyle {\mathfrak {p}}''_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{i}}$${\displaystyle \sigma \in G}$${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {p}}''_{n})={\mathfrak {p}}'_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{i}=\sigma ({\mathfrak {p}}''_{i})}$

Sean A ⊂ B anillos y A' el cierre integral de A en B . (Véase más arriba la definición.)

Los cierres integrales se comportan bien bajo varias construcciones. Específicamente, para un subconjunto multiplicativamente cerrado S de A , la localización S ⁻¹ A' es el cierre integral de S ⁻¹ A en S ⁻¹ B , y es el cierre integral de in . ^[14] Si son subanillos de anillos , entonces el cierre integral de in es donde son los cierres integrales de in . ^[15]${\displaystyle A'[t]}$${\displaystyle A[t]}$${\displaystyle B[t]}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i},1\leq i\leq n}$${\displaystyle \prod A_{i}}$${\displaystyle \prod B_{i}}$${\displaystyle \prod {A_{i}}'}$${\displaystyle {A_{i}}'}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i}}$

El cierre integral de un anillo local A en, digamos, B , no necesita ser local. (Si este es el caso, el anillo se llama unibranquio .) Este es el caso, por ejemplo, cuando A es henseliano y B es una extensión de campo del campo de fracciones de A .

Si A es un subanillo de un campo K , entonces el cierre integral de A en K es la intersección de todos los anillos de valoración de K que contienen a A .

Sea A un subanillo -graduado de un anillo -graduado B . Entonces el cierre integral de A en B es un subanillo -graduado de B . ^[16]${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

También existe un concepto de clausura integral de un ideal . La clausura integral de un ideal , usualmente denotada por , es el conjunto de todos los elementos tales que existe un polinomio mónico ${\displaystyle I\subset R}$${\displaystyle {\overline {I}}}$${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}}$

con con como raíz. ^{[17] [18]} El radical de un ideal está integralmente cerrado. ^{[19] [20]}${\displaystyle a_{i}\in I^{i}}$${\displaystyle r}$

Para los anillos noetherianos también existen definiciones alternativas.

• ${\displaystyle r\in {\overline {I}}}$si existe un no contenido en cualquier primo mínimo, tal que para todo .${\displaystyle c\in R}$${\displaystyle cr^{n}\in I^{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$
• ${\displaystyle r\in {\overline {I}}}$si en la explosión normalizada de I , el retroceso de r está contenido en la imagen inversa de I . La explosión de un ideal es una operación de esquemas que reemplaza el ideal dado por un ideal principal. La normalización de un esquema es simplemente el esquema correspondiente al cierre integral de todos sus anillos.

La noción de cierre integral de un ideal se utiliza en algunas demostraciones del teorema de descenso .

Sea B un anillo y A un subanillo de B tal que B es integral sobre A . Entonces el aniquilador del A -módulo B / A se llama conductor de A en B . Debido a que la noción tiene origen en la teoría algebraica de números , el conductor se denota por . Explícitamente, consiste en elementos a en A tales que . (cf. idealizador en álgebra abstracta). Es el ideal más grande de A que también es un ideal de B . ^[21] Si S es un subconjunto multiplicativamente cerrado de A , entonces${\displaystyle {\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$${\displaystyle aB\subset A}$

${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)={\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A)}$.

Si B es un subanillo del anillo total de fracciones de A , entonces podemos identificar

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Hom} _{A}(B,A)}$.

Ejemplo: Sea k un cuerpo y sea (es decir, A es el anillo de coordenadas de la curva afín ). B es la clausura integral de A en . El conductor de A en B es el ideal . De manera más general, el conductor de , a , b relativamente primo, es con . ^[22]${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]}$ ${\displaystyle x^{2}=y^{3}}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle (t^{2},t^{3})A}$${\displaystyle A=k[[t^{a},t^{b}]]}$${\displaystyle (t^{c},t^{c+1},\dots )A}$${\displaystyle c=(a-1)(b-1)}$

Supóngase que B es la clausura integral de un dominio integral A en el campo de fracciones de A tal que el módulo A es finitamente generado. Entonces el conductor de A es un ideal que define el soporte de ; por lo tanto, A coincide con B en el complemento de en . En particular, el conjunto , el complemento de , es un conjunto abierto .${\displaystyle B/A}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle B/A}$${\displaystyle V({\mathfrak {f}})}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid A_{\mathfrak {p}}{\text{ is integrally closed}}\}}$${\displaystyle V({\mathfrak {f}})}$

Una cuestión importante pero difícil es la relativa a la finitud del cierre integral de un álgebra finitamente generada. Existen varios resultados conocidos.

El cierre integral de un dominio de Dedekind en una extensión finita del cuerpo de fracciones es un dominio de Dedekind; en particular, un anillo noetheriano. Esto es una consecuencia del teorema de Krull–Akizuki . En general, el cierre integral de un dominio noetheriano de dimensión 2 como máximo es noetheriano; Nagata dio un ejemplo de un dominio noetheriano de dimensión 3 cuyo cierre integral no es noetheriano. ^[23] Una declaración más elegante es esta: el cierre integral de un dominio noetheriano es un dominio de Krull ( teorema de Mori–Nagata ). Nagata también dio un ejemplo de un dominio local noetheriano de dimensión 1 tal que el cierre integral no es finito sobre ese dominio. ^{[ cita requerida ]}

Sea A un dominio integralmente cerrado noetheriano con un cuerpo de fracciones K. Si L / K es una extensión separable finita, entonces el cierre integral de A en L es un módulo A finitamente generado . ^[24] Esto es fácil y estándar (usa el hecho de que la traza define una forma bilineal no degenerada).${\displaystyle A'}$

Sea A un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo k que es un dominio integral con cuerpo de fracciones K . Si L es una extensión finita de K , entonces la clausura integral de A en L es un A -módulo finitamente generado y también es un k -álgebra finitamente generada. ^[25] El resultado se debe a Noether y se puede mostrar usando el lema de normalización de Noether de la siguiente manera. Está claro que es suficiente mostrar la afirmación cuando L / K es separable o puramente inseparable. El caso separable se señaló anteriormente, así que suponga que L / K es puramente inseparable. Por el lema de normalización, A es integral sobre el anillo polinomial . Dado que L / K es una extensión finita puramente inseparable, existe una potencia q de un número primo tal que cada elemento de L es una raíz q -ésima de un elemento en K . Sea una extensión finita de k que contiene todas las raíces q -ésimas de los coeficientes de un número finito de funciones racionales que generan L . Entonces tenemos: El anillo de la derecha es el cuerpo de fracciones de , que es la clausura integral de S ; por lo tanto, contiene a . Por lo tanto, es finito sobre S ; a fortiori, sobre A . El resultado sigue siendo cierto si reemplazamos k por Z .${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle S=k[x_{1},...,x_{d}]}$${\displaystyle k'}$${\displaystyle L\subset k'(x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}).}$${\displaystyle k'[x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}]}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A'}$

El cierre integral de un dominio noetheriano local completo A en una extensión finita del campo de fracciones de A es finito sobre A . ^[26] Más precisamente, para un anillo noetheriano local R , tenemos las siguientes cadenas de implicaciones: ^[27]

(i) Una A completa es un anillo de Nagata${\displaystyle \Rightarrow }$

(ii) A es un dominio de Nagata A analíticamente no ramificado, el cierre integral de la completitud es finito sobre el cierre integral de A es finito sobre A.${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle {\widehat {A}}}$${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

El lema de normalización de Noether es un teorema del álgebra conmutativa . Dado un cuerpo K y una K -álgebra A finitamente generada , el teorema dice que es posible encontrar elementos y ₁ , y ₂ , ..., y _m en A que sean algebraicamente independientes sobre K tales que A es finito (y por lo tanto integral) sobre B = K [ y ₁ ,..., y _m ]. Por lo tanto, la extensión K ⊂ A puede escribirse como una K ⊂ B ⊂ A compuesta donde K ⊂ B es una extensión puramente trascendental y B ⊂ A es finito. ^[28]

En geometría algebraica , un morfismo de esquemas es integral si es afín y si para alguna (equivalentemente, toda) cubierta abierta afín de Y , toda función es de la forma donde A es una B -álgebra integral. La clase de morfismos integrales es más general que la clase de morfismos finitos porque hay extensiones integrales que no son finitas, como, en muchos casos, la clausura algebraica de un cuerpo sobre el cuerpo.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle f^{-1}(U_{i})\to U_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)}$

Sea A un dominio integral y L (alguna) clausura algebraica del campo de fracciones de A . Entonces la clausura integral de A en L se llama clausura integral absoluta de A . ^[29] Es única hasta un isomorfismo no canónico . El anillo de todos los números enteros algebraicos es un ejemplo (y por lo tanto, normalmente no es noetheriano).${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A^{+}}$

• Esquema normal
• Lema de normalización de Noether
• Número entero algebraico
• Desdoblamiento de ideales primos en extensiones de Galois
• Torsor (geometría algebraica)

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian G. (1994) [1969]. Introducción al álgebra conmutativa . Addison–Wesley. ISBN 0-201-40751-5.
• Bourbaki, Nicolás (2006). Algèbre conmutativo . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-33937-3.
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150, Springer-Verlag , ISBN 0-387-94268-8
• Kaplansky, Irving (septiembre de 1974). Anillos conmutativos . Lectures in Mathematics. University of Chicago Press . ISBN. 0-226-42454-5.
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• M. Reid , Álgebra conmutativa de pregrado , London Mathematical Society, 29 , Cambridge University Press, 1995.

• Irena Swanson, Cierres integrales de ideales y anillos
• ¿Tienen las DG-álgebras alguna noción sensata de cierre integral?
• ¿Es k [ x 1 , … , x n {\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}} siempre una extensión integral de para una secuencia regular ?]${\displaystyle k[f_{1},\ldots ,f_{n}]}$${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{n})}$