Anillo de Krull

En álgebra conmutativa, un anillo de Krull o dominio de Krull es un anillo conmutativo con una teoría de factorización prima bien comportada. Fueron introducidos por Wolfgang Krull en 1931. ^[1] Son una generalización de dimensiones superiores de los dominios de Dedekind , que son exactamente los dominios de Krull de dimensión como máximo 1.

En este artículo, un anillo es conmutativo y tiene unidad.

Sea un dominio integral y sea el conjunto de todos los ideales primos de altura uno, es decir, el conjunto de todos los ideales primos que no contienen propiamente ningún ideal primo distinto de cero. Entonces es un anillo de Krull si${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$

1. ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$es un anillo de valoración discreto para todos ,${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$
2. ${\displaystyle A}$es la intersección de estos anillos de valoración discretos (considerados como subanillos del campo cociente de ),${\displaystyle A}$
3. cualquier elemento distinto de cero de está contenido sólo en un número finito de ideales primos de altura 1.${\displaystyle A}$

También es posible caracterizar los anillos de Krull únicamente mediante valoraciones: ^[2]

Un dominio integral es un anillo de Krull si existe una familia de valoraciones discretas en el campo de fracciones de tales que: ${\displaystyle A}$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$

1. para todos y cada uno , excepto posiblemente un número finito de ellos ,${\displaystyle x\in K\setminus \{0\}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}(x)=0}$
2. para cualquier , pertenece a si y sólo si para todos .${\displaystyle x\in K\setminus \{0\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{i}(x)\geq 0}$${\displaystyle i\in I}$

Las valoraciones se denominan valoraciones esenciales de .${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle A}$

El vínculo entre las dos definiciones es el siguiente: para cada , se puede asociar una única valoración normalizada de cuyo anillo de valoración es . ^[3] Entonces el conjunto satisface las condiciones de la definición equivalente. Por el contrario, si el conjunto es como el anterior y se han normalizado, entonces puede ser mayor que , pero debe contener . En otras palabras, es el conjunto mínimo de valoraciones normalizadas que satisfacen la definición equivalente.${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{\mathfrak {p}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}'=\{v_{i}\}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}'}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Con las notaciones anteriores, denotemos la valoración normalizada correspondiente al anillo de valoración , denotemos el conjunto de unidades de , y su campo cociente.${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$

• Un elemento pertenece a si, y solo si, para cada .${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$ En efecto, en este caso, para cada , por lo tanto ; por la propiedad de intersección, . A la inversa, si y están en , entonces , por lo tanto , ya que ambos números deben ser .${\displaystyle x\not \in A_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$${\displaystyle x^{-1}\in A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle x^{-1}\in A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(xx^{-1})=v_{\mathfrak {p}}(1)=0=v_{\mathfrak {p}}(x)+v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})=0}$${\displaystyle \geq 0}$
• Un elemento está determinado de forma única, hasta una unidad de , por los valores , .${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$ En efecto, si para cada , entonces , por lo tanto por la propiedad anterior (qed). Esto muestra que la aplicación está bien definida, y dado que solo para un número finito de , es una incrustación de en el grupo abeliano libre generado por los elementos de . Por lo tanto, utilizando la notación multiplicativa " " para el último grupo, se cumple, para cada , , donde son los elementos de que contienen a , y .${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(y)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(xy^{-1})=0}$${\displaystyle xy^{-1}\in U}$${\displaystyle x\ {\rm {mod}}\ U\mapsto \left(v_{\mathfrak {p}}(x)\right)_{{\mathfrak {p}}\in P}}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)\not =0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A^{\times }/U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle x\in A^{\times }}$${\displaystyle x=1\cdot {\mathfrak {p}}_{1}^{\alpha _{1}}\cdot {\mathfrak {p}}_{2}^{\alpha _{2}}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}^{\alpha _{n}}\ {\rm {mod}}\ U}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha _{i}=v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x)}$
• Las valoraciones son independientes por pares. ^[4] En consecuencia, se cumple el llamado teorema de aproximación débil , ^[5] un homólogo del teorema del resto chino: si son elementos distintos de , pertenecen a (resp. ), y son números naturales, entonces existen (resp. ) tales que para cada .${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots {\mathfrak {p}}_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle a_{1},\ldots a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle x\in A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x-x_{i})=n_{i}}$${\displaystyle i}$
• Una consecuencia del teorema de aproximación débil es una caracterización de cuándo los anillos de Krull son noetherianos; es decir, un anillo de Krull es noetheriano si y solo si todos sus cocientes por primos de altura 1 son noetherianos.${\displaystyle A}$${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$
• Dos elementos y de son coprimos si y no son ambos para cada . Las propiedades básicas de las valoraciones implican que una buena teoría de coprimalidad se cumple en .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(y)}$${\displaystyle >0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$${\displaystyle A}$
• Todo ideal primo de contiene un elemento de . ^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$
• Cualquier intersección finita de dominios de Krull cuyos campos cocientes sean los mismos es nuevamente un dominio de Krull. ^[7]
• Si es un subcampo de , entonces es un dominio de Krull. ^[8]${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\cap L}$
• Si es un conjunto multiplicativamente cerrado que no contiene 0, el anillo de cocientes es nuevamente un dominio de Krull. De hecho, las valoraciones esenciales de son aquellas valoraciones (de ) para las cuales . ^[9]${\displaystyle S\subset A}$${\displaystyle S^{-1}A}$${\displaystyle S^{-1}A}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$
• Si es una extensión algebraica finita de , y es el cierre integral de en , entonces es un dominio de Krull. ^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle B}$

1. Todo dominio de factorización único es un dominio de Krull. A la inversa, un dominio de Krull es un dominio de factorización único si (y sólo si) todo ideal primo de altura uno es principal. ^{[11] [12]}
2. Todo dominio noetheriano integralmente cerrado es un dominio de Krull. ^[13] En particular, los dominios de Dedekind son dominios de Krull. Por el contrario, los dominios de Krull son integralmente cerrados, por lo que un dominio noetheriano es de Krull si y solo si es integralmente cerrado.
3. Si es un dominio de Krull, entonces también lo es el anillo de polinomios y el anillo de series de potencias formales . ^[14]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x]}$ ${\displaystyle A[[x]]}$
4. El anillo polinomial en infinitas variables sobre un dominio de factorización único es un dominio de Krull que no es noetheriano.${\displaystyle R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}$ ${\displaystyle R}$
5. Sea un dominio noetheriano con cuerpo cociente , y una extensión algebraica finita de . Entonces la clausura integral de en es un dominio de Krull ( teorema de Mori-Nagata ). ^[15]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$
6. Sea un anillo de Zariski (por ejemplo, un anillo noetheriano local). Si la compleción es un dominio de Krull, entonces es un dominio de Krull (Mori). ^{[16] [17]}${\displaystyle A}$${\displaystyle {\widehat {A}}}$${\displaystyle A}$
7. Sea un dominio de Krull, y sea el conjunto multiplicativamente cerrado que consiste en las potencias de un elemento primo . Entonces es un dominio de Krull (Nagata). ^[18]${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p\in A}$${\displaystyle S^{-1}A}$

Supóngase que es un dominio de Krull y es su campo cociente. Un divisor primo de es un ideal primo de altura 1 de . El conjunto de divisores primos de se denotará en la secuela. Un divisor (de Weil) de es una combinación lineal integral formal de divisores primos. Forman un grupo abeliano, denotado . Un divisor de la forma , para algún distinto de cero en , se llama divisor principal. Los divisores principales de forman un subgrupo del grupo de divisores (se ha demostrado anteriormente que este grupo es isomorfo a , donde es el grupo de unidades de ). El cociente del grupo de divisores por el subgrupo de divisores principales se llama grupo de clase divisor de ; normalmente se denota .${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(A)}$${\displaystyle div(x)=\sum _{p\in P}v_{p}(x)\cdot p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\times }/U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C(A)}$

Supongamos que es un dominio de Krull que contiene . Como es habitual, decimos que un ideal primo de se encuentra por encima de un ideal primo de si ; esto se abrevia en .${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}\cap A={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}}}$

Denotemos el índice de ramificación de sobre por , y por el conjunto de divisores primos de . Definamos la aplicación por ${\displaystyle v_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P(A)\to D(B)}$

${\displaystyle j({\mathfrak {p}})=\sum _{{\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {P}}\in P(B)}e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}}){\mathfrak {P}}}$

(la suma anterior es finita ya que cada está contenido en un número finito de elementos de ). Extendamos la aplicación por linealidad a una aplicación lineal . Ahora podemos preguntarnos en qué casos induce un morfismo . Esto conduce a varios resultados. ^[19] Por ejemplo, lo siguiente generaliza un teorema de Gauss:${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle D(A)\to D(B)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\bar {j}}:C(A)\to C(B)}$

La aplicación es biyectiva. En particular, si es un dominio de factorización único, entonces también lo es . ${\displaystyle {\bar {j}}:C(A)\to C(A[X])}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A[X]}$^[20]

El grupo de clases divisorias de un anillo de Krull también se utiliza para configurar métodos de descenso potentes , y en particular el descenso galoisiano. ^[21]

Un divisor de Cartier de un anillo de Krull es un divisor localmente principal (Weil). Los divisores de Cartier forman un subgrupo del grupo de divisores que contiene a los divisores principales. El cociente de los divisores de Cartier por los divisores principales es un subgrupo del grupo de clases de divisores, isomorfo al grupo de Picard de haces invertibles en Spec( A ).

Ejemplo: en el anillo k [ x , y , z ]/( xy – z ² ) el grupo de clases divisor tiene orden 2, generado por el divisor y = z , pero el subgrupo de Picard es el grupo trivial. ^[22]

• N. Bourbaki. Álgebra conmutativa .
• "Anillo de Krull", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Krull, Wolfgang (1931), "Allgemeine Bewertungstheorie", J. Reine Angew. Matemáticas. , 167 : 160–196, archivado desde el original el 6 de enero de 2013.
• Hideyuki Matsumura, Álgebra conmutativa . Segunda edición. Serie de notas de clase de matemáticas, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9 
• Hideyuki Matsumura, Teoría de anillos conmutativos . Traducido del japonés por M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9 
• Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Lecciones sobre dominios de factorización únicos, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol. 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR  0214579