Número entero algebraico

Número complejo que resuelve un polinomio mónico con coeficientes enteros

En la teoría de números algebraicos , un entero algebraico es un número complejo que es integral sobre los números enteros . Es decir, un entero algebraico es una raíz compleja de algún polinomio mónico (un polinomio cuyo coeficiente principal es 1) cuyos coeficientes son números enteros. El conjunto de todos los números enteros algebraicos $A$ es cerrado bajo la suma, la resta y la multiplicación y, por lo tanto, es un subanillo conmutativo de los números complejos.

El anillo de números enteros de un cuerpo de números $K$ , denotado por $O K$ , es la intersección de $K$ y $A$ : también puede caracterizarse como el orden máximo del cuerpo $K$ . Cada número entero algebraico pertenece al anillo de números enteros de algún cuerpo de números. Un número $α$ es un número entero algebraico si y solo si el anillo se genera finitamente como un grupo abeliano , es decir, como un - módulo . $\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\mathbb {Z}$

Definiciones

Las siguientes son definiciones equivalentes de un entero algebraico. Sea $K$ un cuerpo de números (es decir, una extensión finita de , el cuerpo de números racionales ), en otras palabras, para algún número algebraico por el teorema del elemento primitivo . $\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} (\theta )$ $\theta \en \mathbb {C}$

$α \in K$ es un entero algebraico si existe un polinomio mónicotal que $f$ $($ $α$ $) = 0$ . $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$
$α \in K$ es un entero algebraico si elpolinomio mónico mínimo de $α$ sobreestá en. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z} [x]$
$α \in K$ es un entero algebraico sies un módulo generado finitamente. $\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\mathbb {Z}$
$α \in K$ es un entero algebraico si existe un submódulo finitamente generado distinto de cerotalque $αM$ $\subseteq$ $M$ . $\mathbb {Z}$ $M\subconjunto \mathbb {C}$

Los números enteros algebraicos son un caso especial de elementos integrales de una extensión de anillo. En particular, un número entero algebraico es un elemento integral de una extensión finita . $K/\mathbb {Q}$

Ejemplos

Los únicos números enteros algebraicos que se encuentran en el conjunto de los números racionales son los enteros. En otras palabras, la intersección de y $A$ es exactamente . El número racional $⁠$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $a / b ⁠$ no es un entero algebraico a menos que $b$ divida $a a$ . El coeficiente principal del polinomio $bx - a$ es el entero $b$ .
La raíz cuadrada de un entero no negativo $n$ es un entero algebraico, pero es irracional a menos que $n$ sea un cuadrado perfecto . ${\sqrt {n}}$
Si $d$ es un entero sin cuadrados entonces la extensión es un cuerpo cuadrático de números racionales. El anillo de enteros algebraicos $O$ $K$ contiene ya que este es una raíz del polinomio mónico $x$ $2$ $-$ $d$ . Además, si $d$ $\equiv 1$ $mod$ $4$ , entonces el elemento también es un entero algebraico. Satisface el polinomio $x$ $2$ $-$ $x$ $+$ $⁠$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ $1 / 4 ⁠ (1 - d)$ donde el término constante $⁠$ $1 / 4 ⁠ (1 - d)$ es un número entero. El anillo completo de números enteros se genera medianteorespectivamente. Consulte Entero cuadrático para obtener más información. ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$
El anillo de números enteros del cuerpo , $α$ $=$ $3$ $\sqrt$ $m$ , tiene la siguiente base integral , escribiéndose $m$ $=$ $hk$ $2$ para dos números enteros coprimos sin cuadrados $h$ y $k$ : ^[1] $F=\mathbb {Q} [\alpha ]$ ${\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{de lo contrario}}\end{cases}}$
Si $ζ n$ es una raíz $n-$ ésima primitiva de la unidad , entonces el anillo de números enteros del campo ciclotómico es precisamente . $\mathbb {Q} (\zeta _ {n})$ $\mathbb {Z} [\zeta _ {n}]$
Si $α$ es un entero algebraico, entonces $β = n \sqrt α$ es otro entero algebraico. Se obtiene un polinomio para $β$ sustituyendo $x n$ en el polinomio para $α$ .

No-ejemplo

Si $P (x)$ es un polinomio primitivo que tiene coeficientes enteros pero no es mónico, y $P$ es irreducible sobre , entonces ninguna de las raíces de $P$ son números enteros algebraicos (pero son números algebraicos ). Aquí primitivo se utiliza en el sentido de que el máximo común divisor de los coeficientes de $P$ es 1, lo cual es más débil que requerir que los coeficientes sean primos entre sí por pares. $\mathbb {Q}$

Generación finita de extensión de anillo.

Para cualquier $α$ , la extensión del anillo (en el sentido que es equivalente a la extensión del campo ) de los enteros por $α$ , denotado por , se genera finitamente si y solo si $α$ es un entero algebraico. $\mathbb {Z} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \}$

La prueba es análoga a la del hecho correspondiente respecto de los números algebraicos , con allí reemplazado por aquí, y la noción de grado de extensión de campo reemplazada por generación finita (usando el hecho de que se genera finitamente en sí mismo); el único cambio requerido es que solo potencias no negativas de $α$ estén involucradas en la prueba. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

La analogía es posible porque tanto los números enteros algebraicos como los números algebraicos se definen como raíces de polinomios mónicos sobre o , respectivamente. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Anillo

La suma, diferencia y producto de dos números enteros algebraicos es un número entero algebraico. En general, su cociente no lo es. Por lo tanto, los números enteros algebraicos forman un anillo .

Esto se puede demostrar de forma análoga a la prueba correspondiente para los números algebraicos , utilizando los números enteros en lugar de los racionales . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

También se puede construir explícitamente el polinomio mónico involucrado, que generalmente es de mayor grado que los de los enteros algebraicos originales, tomando las resultantes y factorizando. Por ejemplo, si $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ y $z = xy$ , entonces eliminando $x$ e $y$ de $z - xy = 0$ y los polinomios satisfechos por $x$ e $y$ usando la resultante se obtiene $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , que es irreducible, y es la ecuación mónica satisfecha por el producto. (Para ver que $xy$ es una raíz de la resultante $x$ de $z - xy$ y $x 2 - x - 1$ , se podría usar el hecho de que la resultante está contenida en el ideal generado por sus dos polinomios de entrada).

Cierre integral

Toda raíz de un polinomio mónico cuyos coeficientes sean números enteros algebraicos es en sí misma un número entero algebraico. En otras palabras, los números enteros algebraicos forman un anillo que está integralmente cerrado en cualquiera de sus extensiones.

Nuevamente, la prueba es análoga a la prueba correspondiente de que los números algebraicos son algebraicamente cerrados .

Datos adicionales

Cualquier número que se pueda construir a partir de los números enteros con raíces, suma y multiplicación es un número entero algebraico; pero no todos los números enteros algebraicos son tan construibles: en un sentido ingenuo, la mayoría de las raíces de los números de quinto irreducibles no lo son. Este es el teorema de Abel-Ruffini .
El anillo de números enteros algebraicos es un dominio de Bézout , como consecuencia del teorema del ideal principal .
Si el polinomio mónico asociado a un entero algebraico tiene término constante 1 o −1, entonces el recíproco de ese entero algebraico es también un entero algebraico, y cada uno es una unidad , un elemento del grupo de unidades del anillo de enteros algebraicos.
Si $x$ es un número algebraico, entonces $a n x$ es un entero algebraico, donde $x$ satisface un polinomio $p (x)$ con coeficientes enteros y donde $a n x n$ es el término de mayor grado de $p (x)$ . El valor $y = a n x$ es un entero algebraico porque es una raíz de $q (y) = a n - 1n p (y / a n)$ , donde $q (y)$ es un polinomio mónico con coeficientes enteros.
Si $x$ es un número algebraico, se puede escribir como el cociente entre un entero algebraico y un entero algebraico distinto de cero. De hecho, el denominador siempre se puede elegir como un entero positivo. El cociente es $| a n | x / | a n |$ , donde $x$ satisface un polinomio $p (x)$ con coeficientes enteros y donde $a n x n$ es el término de mayor grado de $p (x)$ .
Los únicos enteros algebraicos racionales son los enteros. Por lo tanto, si $α$ es un entero algebraico y , entonces . Este es un resultado directo del teorema de la raíz racional para el caso de un polinomio mónico. $\alpha \in \mathbb {Q}$ $\alpha \en \mathbb {Z}$

Véase también

Referencias

^ Marcus, Daniel A. (1977). Number Fields (3.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . cap. 2, pág. 38 y ej. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Stein, William . Teoría algebraica de números: un enfoque computacional (PDF) . Archivado (PDF) del original el 2 de noviembre de 2013.

[1] Marcus, Daniel A. (1977). Number Fields (3.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . cap. 2, pág. 38 y ej. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.