Extensión puramente inseparable

En álgebra , una extensión puramente inseparable de cuerpos es una extensión k  ⊆  K de cuerpos de característica p  > 0 tal que cada elemento de K es una raíz de una ecuación de la forma x ^q  =  a , con q una potencia de p y a en k . Las extensiones puramente inseparables a veces se denominan extensiones radicales , que no deben confundirse con la noción de extensión radical , que suena similar pero es más general .

Una extensión algebraica es una extensión puramente inseparable si y solo si para cada , el polinomio mínimo de sobre F no es un polinomio separable . ^[1] Si F es cualquier cuerpo, la extensión trivial es puramente inseparable; para que el cuerpo F posea una extensión puramente inseparable no trivial , debe ser imperfecto como se describe en la sección anterior.${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle \alpha \en E\setminus F}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle F\supseteq F}$

Se conocen varias definiciones equivalentes y más concretas para la noción de extensión puramente inseparable. Si es una extensión algebraica con característica prima (no nula) p , entonces son equivalentes: ^[2]${\displaystyle E\supseteq F}$

1. E es puramente inseparable sobre F.
2. Para cada elemento , existe tal que .${\displaystyle \alpha \en E}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\en F}$
3. Cada elemento de E tiene un polinomio mínimo sobre F de la forma para algún entero y algún elemento .${\displaystyle X^{p^{n}}-a}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle a\en F}$

De las caracterizaciones equivalentes anteriores se desprende que si (para F un campo de característica prima) tal que para algún entero , entonces E es puramente inseparable sobre F . ^[3] (Para ver esto, note que el conjunto de todos los x tales que para algún forma un campo; dado que este campo contiene tanto a como a F , debe ser E , y por la condición 2 anterior, debe ser puramente inseparable.)${\displaystyle E=F[\alpha ]}$${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\en F}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle x^{p^{n}}\en F}$${\displaystyle n\geq 0}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle E\supseteq F}$

Si F es un cuerpo imperfecto de característica prima p , elijamos tal que a no sea una potencia p en F , y sea f ( X ) =  X ^p  −  a . Entonces f no tiene raíz en F , y por lo tanto si E es un cuerpo descomponible para f sobre F , es posible elegir con . En particular, y por la propiedad establecida en el párrafo directamente anterior, se sigue que es una extensión puramente inseparable no trivial (de hecho, , y por lo tanto es automáticamente una extensión puramente inseparable). ^[4]${\displaystyle a\en F}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle f(\alpha )=0}$${\displaystyle \alpha ^{p}=a}$${\displaystyle F[\alpha ]\supseteq F}$${\displaystyle E=F[\alpha ]}$${\displaystyle E\supseteq F}$

Las extensiones puramente inseparables ocurren naturalmente; por ejemplo, ocurren en geometría algebraica sobre cuerpos de característica prima. Si K es un cuerpo de característica p , y si V es una variedad algebraica sobre K de dimensión mayor que cero, el cuerpo de funciones K ( V ) es una extensión puramente inseparable sobre el subcuerpo K ( V ) ^p de potencias p ésimas (esto se sigue de la condición 2 anterior). Tales extensiones ocurren en el contexto de la multiplicación por p en una curva elíptica sobre un cuerpo finito de característica p .

• Si la característica de un cuerpo F es un número primo (distinto de cero) p , y si es una extensión puramente inseparable, entonces si , K es puramente inseparable sobre F y E es puramente inseparable sobre K . Además, si [ E  : F ] es finito, entonces es una potencia de p , la característica de F . ^[5]${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}$
• Por el contrario, si es tal que y son extensiones puramente inseparables, entonces E es puramente inseparable sobre F . ^[6]${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}$${\displaystyle F\subseteq K}$${\displaystyle K\subseteq E}$
• Una extensión algebraica es una extensión inseparable si y solo si existe alguna tal que el polinomio mínimo de sobre F no sea un polinomio separable (es decir, una extensión algebraica es inseparable si y solo si no es separable; nótese, sin embargo, que una extensión inseparable no es lo mismo que una extensión puramente inseparable). Si es una extensión inseparable no trivial de grado finito, entonces [ E  : F ] es necesariamente divisible por la característica de F . ^[7]${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle \alpha \en E\setminus F}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle E\supseteq F}$
• Si es una extensión normal de grado finito, y si , entonces K es puramente inseparable sobre F y E es separable sobre K . ^[8]${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle K={\mbox{Fix}}({\mbox{Gal}}(E/F))}$

Jacobson (1937, 1944) introdujo una variación de la teoría de Galois para extensiones puramente inseparables de exponente 1, donde los grupos de Galois de automorfismos de campo en la teoría de Galois son reemplazados por álgebras de Lie restringidas de derivaciones. El caso más simple es para extensiones puramente inseparables de índice finito K ⊆ L de exponente como máximo 1 (lo que significa que la potencia p de cada elemento de L está en K ). En este caso, el álgebra de Lie de K -derivaciones de L es un álgebra de Lie restringida que también es un espacio vectorial de dimensión n sobre L , donde [ L : K ] =  p ⁿ , y los campos intermedios en L que contienen a K corresponden a las subálgebras de Lie restringidas de esta álgebra de Lie que son espacios vectoriales sobre L . Aunque el álgebra de Lie de derivaciones es un espacio vectorial sobre L , en general no es un álgebra de Lie sobre L , sino que es un álgebra de Lie sobre K de dimensión n [ L : K ] =  np ⁿ .

Una extensión puramente inseparable se denomina extensión modular si es un producto tensorial de extensiones simples, por lo que, en particular, toda extensión del exponente 1 es modular, pero hay extensiones no modulares del exponente 2 (Weisfeld 1965). Sweedler (1968) y Gerstenhaber & Zaromp (1970) dieron una extensión de la correspondencia de Galois a extensiones modulares puramente inseparables, donde las derivaciones se reemplazan por derivaciones superiores.

• Teorema de Jacobson-Bourbaki

• Gerstenhaber, Murray ; Zaromp, Avigdor (1970), "Sobre la teoría de Galois de extensiones de campo puramente inseparables", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 76 (5): 1011–1014, doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12535-6 , ISSN  0002-9904, MR  0266904
• Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1.ª ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, Nathan (1937), "Derivación abstracta y álgebras de Lie", Transactions of the American Mathematical Society , 42 (2), Providence, RI: American Mathematical Society : 206–224, doi : 10.2307/1989656 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1989656
• Jacobson, Nathan (1944), "Teoría de Galois de campos puramente inseparables de exponente uno", American Journal of Mathematics , 66 (4): 645–648, doi :10.2307/2371772, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371772, MR  0011079
• Sweedler, Moss Eisenberg (1968), "Estructura de extensiones inseparables", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 87 (3): 401–410, doi :10.2307/1970711, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970711, MR  0223343
• Weisfeld, Morris (1965), "Extensiones puramente inseparables y derivaciones superiores", Transactions of the American Mathematical Society , 116 : 435–449, doi : 10.2307/1994126 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1994126, MR  0191895