Subiendo y bajando

En álgebra conmutativa , una rama de las matemáticas , subir y bajar son términos que se refieren a ciertas propiedades de cadenas de ideales primos en extensiones integrales .

La frase " subir" se refiere al caso en el que una cadena puede extenderse mediante " inclusión hacia arriba ", mientras que " bajar" se refiere al caso en el que una cadena puede extenderse mediante "inclusión hacia abajo".

Los principales resultados son los teoremas de Cohen-Seidenberg , que fueron demostrados por Irvin S. Cohen y Abraham Seidenberg . Se conocen como teoremas de subida y bajada .

Sea A  ⊆  B una extensión de anillos conmutativos .

Los teoremas de ascenso y descenso proporcionan condiciones suficientes para que una cadena de ideales primos en B , cada miembro de la cual se encuentra sobre miembros de una cadena más larga de ideales primos en A , pueda extenderse hasta la longitud de la cadena de ideales primos en A.

Primero, arreglemos algo de terminología. Si y son ideales primos de A y B , respectivamente, tales que${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {p}}}$

(nótese que es automáticamente un ideal primo de A ) entonces decimos que está debajo y que está sobre . En general, se dice que una extensión de anillo A  ⊆  B de anillos conmutativos satisface la propiedad de estar sobre si cada ideal primo de A está debajo de algún ideal primo de  B .${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Se dice que la extensión A  ⊆  B satisface la propiedad de incomparabilidad si siempre que y son primos distintos de B que se encuentran sobre un primo en A , entonces  ⊈  y  ⊈  .${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Se dice que la extensión del anillo A  ⊆  B satisface la propiedad ascendente si siempre que

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\subseteq {\mathfrak {p}}_{n}}$

es una cadena de ideales primos de A y

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}}$

es una cadena de ideales primos de B con m < n y tal que se encuentra sobre para 1 ≤  i  ≤  m , entonces la última cadena se puede extender a una cadena${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}}$

de manera que se encuentre para cada 1 ≤  i  ≤  n .${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

En (Kaplansky 1970) se muestra que si una extensión A  ⊆  B satisface la propiedad de subir, entonces también satisface la propiedad de reposar.

Se dice que la extensión del anillo A  ⊆  B satisface la propiedad descendente si siempre que

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\supseteq {\mathfrak {p}}_{n}}$

es una cadena de ideales primos de A y

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}}$

es una cadena de ideales primos de B con m < n y tal que se encuentra sobre para 1 ≤  i  ≤  m , entonces la última cadena se puede extender a una cadena${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}}$

de manera que se encuentre para cada 1 ≤  i  ≤  n .${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

Existe una generalización del caso de extensión de anillo con morfismos de anillo. Sea f  : A  →  B un homomorfismo de anillo (unital) de modo que B sea una extensión de anillo de f ( A ). Entonces se dice que f satisface la propiedad de ascenso si esta se cumple para f ( A ) en  B .

De manera similar, si B es una extensión de anillo de f ( A ), entonces se dice que f satisface la propiedad de descenso si esta propiedad se cumple para f ( A ) en B .

En el caso de extensiones de anillo ordinarias como A  ⊆  B , el mapa de inclusión es el mapa pertinente.

Los enunciados habituales de los teoremas de subida y bajada se refieren a una extensión de anillo A  ⊆  B :

1. (Subiendo) Si B es una extensión integral de A , entonces la extensión satisface la propiedad de subida (y, por lo tanto, la propiedad de superposición) y la propiedad de incomparabilidad.
2. (Descendiendo) Si B es una extensión integral de A , y B es un dominio, y A está integralmente cerrado en su campo de fracciones, entonces la extensión (además de la subida, la superposición y la incomparabilidad) satisface la propiedad de bajada.

Hay otra condición suficiente para la propiedad de descenso:

• Si A ⊆ B es una extensión plana de anillos conmutativos, entonces se cumple la propiedad de descenso. ^[1]

Demostración : ^[2] Sean p ₁  ⊆  p ₂ ideales primos de A y sea q ₂ un ideal primo de B tal que q ₂  ∩  A  =  p ₂ . Queremos demostrar que hay un ideal primo q ₁ de B contenido en q ₂ tal que q ₁  ∩  A  =  p ₁ . Como A  ⊆  B es una extensión plana de anillos, se sigue que A _{p 2}  ⊆  B _{q 2} es una extensión plana de anillos. De hecho, A _{p 2}  ⊆  B _{q 2} es una extensión fielmente plana de anillos ya que la función de inclusión A _{p 2}  →  B _{q 2} es un homomorfismo local. Por lo tanto, la función inducida en los espectros Spec( B _{q 2} ) → Spec( A _{p 2} ) es sobreyectiva y existe un ideal primo de B _{q 2} que se contrae al ideal primo p ₁ A _{p 2} de A _{p 2} . La contracción de este ideal primo de B _{q 2} a B es un ideal primo q ₁ de B contenido en q ₂ que se contrae a p ₁ . La prueba está completa.  QED

• Atiyah, MF y IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Perseus Books, 1969, ISBN  0-201-00361-9 MR 242802
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Anillos de Cohen-Macaulay . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1 
• Cohen, IS; Seidenberg, A. (1946). "Ideales primos y dependencia integral". Bull. Amer. Math. Soc . 52 (4): 252–261. doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08552-3 . MR  0015379.
• Kaplansky, Irving (1970). Anillos conmutativos . Allyn y Bacon.
• Matsumura, Hideyuki (1970). Álgebra conmutativa . WA Benjamín. ISBN 978-0-8053-7025-6.
• Sharp, RY (2000). "13 Dependencia integral de subanillos (13.38 El teorema de subida, pp. 258-259; 13.41 El teorema de bajada, pp. 261-262)". Pasos en álgebra conmutativa . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 51 (Segunda ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xii+355. ISBN 0-521-64623-5.Señor 1817605  .