Anillo no ramificado analíticamente

En álgebra, un anillo analíticamente no ramificado es un anillo local cuya completitud está reducida (no tiene ningún nilpotente distinto de cero ).

Los siguientes anillos no están ramificados analíticamente:

• anillo reducido pseudogeométrico .
• Excelente anillo reducido.

Chevalley (1945) demostró que todo anillo local de una variedad algebraica está analíticamente no ramificado. Schmidt (1936) dio un ejemplo de un anillo local reducido analíticamente ramificado. Krull demostró que todo anillo local noetheriano normal unidimensional está analíticamente no ramificado; más precisamente, demostró que un dominio local noetheriano normal unidimensional está analíticamente no ramificado si y solo si su clausura integral es un módulo finito. ^{[ cita requerida ]} Esto impulsó a Zariski (1948) a preguntar si un dominio local noetheriano tal que su clausura integral es un módulo finito está siempre analíticamente no ramificado. Sin embargo, Nagata (1955) dio un ejemplo de un anillo local noetheriano normal analíticamente ramificado bidimensional. Nagata también demostró que una versión ligeramente más fuerte de la pregunta de Zariski es correcta: si la normalización de cada extensión finita de un anillo local noetheriano dado R es un módulo finito, entonces R está analíticamente no ramificado.

Hay dos teoremas clásicos de David Rees  (1961) que caracterizan a los anillos analíticamente no ramificados. El primero dice que un anillo local noetheriano ( R , m ) está analíticamente no ramificado si y solo si hay un ideal primario m J y una sucesión tal que , donde la barra significa la clausura integral de un ideal . El segundo dice que un dominio local noetheriano está analíticamente no ramificado si y solo si, para cada R -álgebra finitamente generada S que se encuentre entre R y el cuerpo de fracciones K de R , la clausura integral de S en K es un módulo finitamente generado sobre S . El segundo se sigue del primero.${\displaystyle n_{j}\to \infty }$${\displaystyle {\overline {J^{j}}}\subset J^{n_{j}}}$

Sea K ₀ un cuerpo perfecto de característica 2, tal como F ₂ . Sea K K 0 ₍ { u _n , v _n  : n ≥ 0}), donde u _n y v _n son indeterminadas. Sea T el subanillo del anillo de series de potencias formales K  [[ x , y ]] generado por K y K ²  [[ x , y ]] y el elemento Σ( u _n x ⁿ + v _n y ⁿ ). Nagata demuestra que T es un dominio noetheriano local normal cuya completitud tiene elementos nilpotentes distintos de cero, por lo que T está analíticamente ramificado.

• Chevalley, Claude (1945), "Intersecciones de variedades algebraicas y algebroides", Trans. Amer. Math. Soc. , 57 : 1–85, doi : 10.1090/s0002-9947-1945-0012458-1 , JSTOR  1990167, MR  0012458
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Cierre integral de ideales, anillos y módulos, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 336, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR  2266432, archivado desde el original el 15 de noviembre de 2019 , consultado el 13 de julio de 2013
• Nagata, Masayoshi (1955), "Un ejemplo de anillo local normal que se ramifica analíticamente", Nagoya Math. J. , 9 : 111–113, MR  0073572
• Rees, D. (1961), "Una nota sobre anillos locales no ramificados analíticamente", J. London Math. Soc. , 36 : 24–28, MR  0126465
• Schmidt, Friedrich Karl (1936), "Über die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen", Mathematische Zeitschrift , 41 (1): 443–450, doi :10.1007/BF01180433
• Zariski, Oscar (1948), "Irreducibilidad analítica de variedades normales", Ann. of Math. , 2, 49 : 352–361, doi :10.2307/1969284, MR  0024158
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975) [1960], Álgebra conmutativa. Vol. II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, Sr.  0389876