Esquema normal

En geometría algebraica , una variedad algebraica o esquema X es normal si es normal en cada punto, es decir, que el anillo local en el punto es un dominio integralmente cerrado . Una variedad afín X (entendida como irreducible) es normal si y solo si el anillo O ( X ) de funciones regulares sobre X es un dominio integralmente cerrado. Una variedad X sobre un cuerpo es normal si y solo si todo morfismo biracional finito de cualquier variedad Y a X es un isomorfismo .

Las variedades normales fueron introducidas por Zariski  (1939, sección III).

Un morfismo de variedades es finito si la imagen inversa de cada punto es finita y el morfismo es propio . Un morfismo de variedades es biracional si se restringe a un isomorfismo entre subconjuntos abiertos densos. Así, por ejemplo, la curva cúspide cúbica X en el plano afín A ² definido por x ² = y ³ no es normal, porque hay un morfismo biracional finito A ¹ → X (es decir, t se mapea en ( t ³ , t ² )) que no es un isomorfismo. Por el contrario, la línea afín A ¹ es normal: no puede simplificarse más mediante morfismos biracionales finitos.

Una variedad compleja normal X tiene la propiedad, cuando se la considera como un espacio estratificado utilizando la topología clásica, de que cada vínculo está conexo. De manera equivalente, cada punto complejo x tiene vecindarios arbitrariamente pequeños U tales que U menos el conjunto singular de X está conexo. Por ejemplo, se deduce que la curva cúbica nodal X en la figura, definida por y ² = x ² ( x + 1), no es normal. Esto también se deduce de la definición de normalidad, ya que hay un morfismo biracional finito de A ¹ a X que no es un isomorfismo; envía dos puntos de A ¹ al mismo punto en X .

De manera más general, un esquema X es normal si cada uno de sus anillos locales

O _{X, x}

es un dominio integralmente cerrado . Es decir, cada uno de estos anillos es un dominio integral R , y cada anillo S con R ⊆ S ⊆ Frac( R ) tal que S se genera finitamente como un R -módulo es igual a R . (Aquí Frac( R ) denota el campo de fracciones de R .) Esta es una traducción directa, en términos de anillos locales, de la condición geométrica de que todo morfismo biracional finito a X es un isomorfismo.

Una noción más antigua es que una subvariedad X del espacio proyectivo es linealmente normal si el sistema lineal que da la incrustación es completo. De manera equivalente, X ⊆ P ⁿ no es la proyección lineal de una incrustación X ⊆ P ⁿ⁺¹ (a menos que X esté contenido en un hiperplano P ⁿ ). Este es el significado de "normal" en las frases curva normal racional y desplazamiento normal racional .

Todo esquema regular es normal. Por el contrario, Zariski (1939, teorema 11) demostró que toda variedad normal es regular fuera de un subconjunto de codimensión al menos 2, y un resultado similar es válido para los esquemas. ^[1] Así, por ejemplo, toda curva normal es regular.

Cualquier esquema reducido X tiene una normalización única : un esquema normal Y con un morfismo biracional integral Y → X . (Para X una variedad sobre un cuerpo, el morfismo Y → X es finito, lo cual es más fuerte que "integral". ^[2] ) La normalización de un esquema de dimensión 1 es regular, y la normalización de un esquema de dimensión 2 solo tiene singularidades aisladas. La normalización no se usa habitualmente para la resolución de singularidades para esquemas de dimensión superior.

Para definir la normalización, supongamos primero que X es un esquema reducido irreducible X . Todo subconjunto abierto afín de X tiene la forma Spec R con R un dominio integral . Escribamos X como una unión de subconjuntos abiertos afines Spec A _i . Sea B _i la clausura integral de A _i en su cuerpo de fracciones. Entonces la normalización de X se define uniendo los esquemas afines Spec B _i .

Si el esquema inicial no es irreducible, la normalización se define como la unión disjunta de las normalizaciones de los componentes irreducibles.

Considere la curva afín

${\displaystyle C={\text{Espec.}}\left({\frac {k[x,y]}{y^{2}-x^{5}}}\right)}$

con la singularidad de la cúspide en el origen. Su normalización puede darse mediante el mapa

${\displaystyle {\text{Especificación}}(k[t])\to C}$

inducido a partir del mapa del álgebra

${\displaystyle x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{5}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle X={\text{Espec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$

no es un esquema irreducible ya que tiene dos componentes. Su normalización viene dada por el morfismo del esquema

${\displaystyle {\text{Espec.}}(\mathbb {C} [x,y]/(x)\times \mathbb {C} [x,y]/(y))\to {\text{Espec.}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$

inducido a partir de los dos mapas de cocientes

${\displaystyle \mathbb {C}[x,y]/(xy)\to \mathbb {C}[x,y]/(x,xy)=\mathbb {C}[x,y]/(x)}$

${\displaystyle \mathbb {C}[x,y]/(xy)\to \mathbb {C}[x,y]/(y,xy)=\mathbb {C}[x,y]/(y)}$

De manera similar, para polinomios irreducibles homogéneos en una UFD, la normalización de${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$

${\displaystyle {\text{Proyección}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)}$

viene dado por el morfismo

${\displaystyle {\text{Proy}}\left(\prod {\frac {k[x_{0}\ldots ,x_{n}]}{(f_{i},g)}}\right)\to {\text{Proy}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)}$

• Lema de normalización de Noether
• Resolución de singularidades

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica. , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, Sr.  1322960
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157, pág. 91
• Zariski, Oscar (1939), "Algunos resultados en la teoría aritmética de variedades algebraicas", Amer. J. Math. , 61 (2): 249–294, doi :10.2307/2371499, JSTOR  2371499, MR  1507376