Idealizador

En álgebra abstracta , el idealizador de un subsemigrupo T de un semigrupo S es el subsemigrupo más grande de S en el que T es un ideal . ^[1] Tal idealizador está dado por

${\displaystyle \mathbb {I} _{S}(T)=\{s\en S\mid sT\subseteq T{\text{ y }}Ts\subseteq T\}.}$

En la teoría de anillos , si A es un subgrupo aditivo de un anillo R , entonces (definido en el semigrupo multiplicativo de R ) es el subanillo más grande de R en el que A es un ideal de dos lados. ^{[2] [3]}${\displaystyle \mathbb {I}_{R}(A)}$

En el álgebra de Lie , si L es un anillo de Lie (o álgebra de Lie ) con producto de Lie [ x , y ], y S es un subgrupo aditivo de L , entonces el conjunto

${\displaystyle \{r\en L\mid[r,S]\subseteq S\}}$

se denomina clásicamente el normalizador de S , sin embargo es evidente que este conjunto es en realidad el equivalente del anillo de Lie del idealizador. No es necesario especificar que [ S , r ] ⊆  S , porque la anticonmutatividad del producto de Lie hace que [ s , r ] = −[ r , s ] ∈  S . El "normalizador" de Lie de S es el subanillo más grande de L en el que S es un ideal de Lie.

A menudo, cuando los ideales de derecha o izquierda son los subgrupos aditivos de R de interés, el idealizador se define de manera más simple aprovechando el hecho de que la multiplicación por elementos del anillo ya está absorbida en un lado. Explícitamente,

${\displaystyle \mathbb {I}_{R}(T)=\{r\en R\mid rT\subseteq T\}}$

si T es un ideal correcto, o

${\displaystyle \mathbb {I}_{R}(L)=\{r\en R\mid Lr\subseteq L\}}$

si L es un ideal izquierdo.

En álgebra conmutativa , el idealizador está relacionado con una construcción más general. Dado un anillo conmutativo R y dados dos subconjuntos A y B de un R -módulo recto M , el conductor o transportador está dado por

${\displaystyle (A:B):=\{r\en R\mid Br\subseteq A\}}$.

En términos de esta notación de conductor, un subgrupo aditivo B de R tiene idealizador

${\displaystyle \mathbb {I}_{R}(B)=(B:B)}$.

Cuando A y B son ideales de R , el conductor es parte de la estructura de la red residual de ideales de R.

Ejemplos

El álgebra multiplicadora M ( A ) de una C*-álgebra A es isomorfa al idealizador de π ( A ) donde π es cualquier representación fiel no degenerada de A en un espacio de Hilbert  H .

• Goodearl, KR (1976), Teoría de anillos: anillos y módulos no singulares , Matemáticas puras y aplicadas, n.º 33, Nueva York: Marcel Dekker Inc., págs. viii+206, MR  0429962
• Levy, Lawrence S.; Robson, J. Chris (2011), Anillos primos e idealizadores noetherianos hereditarios , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 174, Providence, RI: American Mathematical Society, págs. iv+228, ISBN 978-0-8218-5350-4, Sr.  2790801
• Mikhalev, Alejandro V.; Pilz, Günter F., eds. (2002), El manual conciso de álgebra , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. xvi+618, ISBN 0-7923-7072-4, Sr.  1966155

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