Morfismo finito

En geometría algebraica , un morfismo finito entre dos variedades afines es una función regular densa que induce una inclusión isomorfa entre sus anillos de coordenadas , tal que es integral sobre . ^[1] Esta definición se puede extender a las variedades cuasi-proyectivas , tales que una función regular entre variedades cuasi-proyectivas es finita si cualquier punto tiene un vecindario afín V tal que es afín y es una función finita (en vista de la definición anterior, porque está entre variedades afines). ^[2]${\estilo de visualización X, Y}$${\displaystyle k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]}$${\displaystyle k\izquierda[X\derecha]}$ ${\displaystyle k\left[Y\right]}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle y\en Y}$${\displaystyle U=f^{-1}(V)}$${\displaystyle f\colon U\to V}$

Un morfismo f : X → Y de esquemas es un morfismo finito si Y tiene una cubierta abierta por esquemas afines

${\displaystyle V_{i}={\mbox{Espec}}\;B_{i}}$

de modo que para cada i ,

${\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i}}$

es un subesquema afín abierto Spec A _i , y la restricción de f a U _i , que induce un homomorfismo de anillo

${\displaystyle B_{i}\rightarrow A_{i},}$

hace que A _i sea un módulo finitamente generado sobre B _i . ^[3] También se dice que X es finito sobre Y .

De hecho, f es finito si y sólo si para cada subesquema afín abierto V = Spec B en Y , la imagen inversa de V en X es afín, de la forma Spec A , con A un módulo B finitamente generado . ^[4]

Por ejemplo, para cualquier cuerpo k , es un morfismo finito ya que como -módulos. Geométricamente, esto es obviamente finito ya que se trata de una cubierta ramificada de n-láminas de la línea afín que degenera en el origen. Por el contrario, la inclusión de A ¹ − 0 en A ¹ no es finita. (De hecho, el anillo de polinomios de Laurent k [ y , y ⁻¹ ] no se genera finitamente como un módulo sobre k [ y ].) Esto restringe nuestra intuición geométrica a familias sobreyectivas con fibras finitas.${\displaystyle {\text{Espec.}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Espec.}}(k[t])}$${\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}}$${\displaystyle k[t]}$

• La composición de dos morfismos finitos es finita.
• Cualquier cambio de base de un morfismo finito f : X → Y es finito. Es decir, si g : Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el morfismo resultante X × _Y Z → Z es finito. Esto corresponde al siguiente enunciado algebraico: si A y C son B -álgebras (conmutativas) , y A se genera finitamente como un B -módulo, entonces el producto tensorial A ⊗ _B C se genera finitamente como un C -módulo. De hecho, los generadores pueden tomarse como los elementos a _i ⊗ 1, donde a _i son los generadores dados de A como un B -módulo.
• Las inmersiones cerradas son finitas, ya que están dadas localmente por A → A / I , donde I es el ideal correspondiente al subesquema cerrado.
• Los morfismos finitos son cerrados, por lo tanto (debido a su estabilidad bajo cambio de base) son propios . ^[5] Esto se desprende del teorema de ascenso de Cohen-Seidenberg en álgebra conmutativa.
• Los morfismos finitos tienen fibras finitas (es decir, son cuasi-finitos ). ^[6] Esto se deduce del hecho de que para un cuerpo k , cada k -álgebra finita es un anillo artiniano . Una afirmación relacionada es que para un morfismo sobreyectivo finito f : X → Y , X e Y tienen la misma dimensión .
• Según Deligne , un morfismo de esquemas es finito si y sólo si es propio y cuasi-finito. ^[7] Esto había sido demostrado por Grothendieck si el morfismo f : X → Y es localmente de presentación finita , lo que se sigue de los otros supuestos si Y es noetheriano . ^[8]
• Los morfismos finitos son a la vez proyectivos y afines . ^[9]

• Glosario de geometría algebraica
• Álgebra finita

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