Cohomología de Chech

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la cohomología de Čech es una teoría de cohomología basada en las propiedades de intersección de las cubiertas abiertas de un espacio topológico . Recibe su nombre en honor al matemático Eduard Čech .

Sea X un espacio topológico y sea una cubierta abierta de X . Sea el nervio de la cubierta. La idea de la cohomología de Čech es que, para una cubierta abierta que consiste en conjuntos abiertos suficientemente pequeños, el complejo simplicial resultante debería ser un buen modelo combinatorio para el espacio X . Para tal cubierta, la cohomología de Čech de X se define como la cohomología simplicial del nervio. Esta idea se puede formalizar mediante la noción de una buena cubierta . Sin embargo, un enfoque más general es tomar el límite directo de los grupos de cohomología del nervio sobre el sistema de todas las cubiertas abiertas posibles de X , ordenadas por refinamiento . Este es el enfoque adoptado a continuación.${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$

Sea X un espacio topológico , y sea un prehaz de grupos abelianos en X . Sea una cubierta abierta de X .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Un q - símplex σ de es una colección ordenada de q +1 conjuntos elegidos entre , de modo que la intersección de todos estos conjuntos no está vacía. Esta intersección se denomina soporte de σ y se denota |σ|.${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Sea ahora un q -símplex de este tipo. El j-ésimo límite parcial de σ se define como el ( q −1)-símplex obtenido al eliminar el j -ésimo conjunto de σ, es decir: ${\displaystyle \sigma = (U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}}}$

${\displaystyle \partial _{j}\sigma :=(U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}\setminus \{j\}}.}$

El límite de σ se define como la suma alternada de los límites parciales:

${\displaystyle \sigma parcial :=\suma _{j=0}^{q}(-1)^{j+1}\sigma parcial _{j}}$

visto como un elemento del grupo abeliano libre abarcado por los símplices de .${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Una q - cocadena de con coeficientes en es un mapa que asocia con cada q -símplex σ un elemento de , y denotamos el conjunto de todas las q -cocadenas de con coeficientes en por . es un grupo abeliano por adición puntual.${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\sigma |)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Los grupos de cocadenas se pueden transformar en un complejo de cocadenas definiendo el operador de colímite mediante:${\displaystyle (C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )}$ ${\displaystyle \delta _{q}:C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to C^{q+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \quad (\delta _{q}f)(\sigma ):=\sum _{j=0}^{q+1}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma ),}$

¿Dónde está el morfismo de restricción de a (Observe que ∂ _j σ ⊆ σ, pero |σ| ⊆ |∂ _j σ|.)${\displaystyle \mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\partial _{j}\sigma |)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\sigma |).}$

Un cálculo muestra que${\displaystyle \delta _{q+1}\circ \delta _{q}=0.}$

El operador co-límite es análogo a la derivada exterior de la cohomología de De Rham , por lo que a veces se lo denomina diferencial del complejo de cocadena .

Una q -cocadena se denomina q -cociclo si está en el núcleo de , por lo tanto es el conjunto de todos los q -cociclos.${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\ker(\delta _{q})\subseteq C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Por lo tanto, una ( q −1)-cocadena es un cociclo si para todos los q -simplifica la condición de cociclo ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \sigma}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{q}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma )=0}$

sostiene.

Un 0-cociclo es una colección de secciones locales que satisfacen una relación de compatibilidad en cada intersección.${\estilo de visualización f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A,B\en {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(A)|_{A\cap B}=f(B)|_{A\cap B}}$

Un 1-cociclo satisface para cada no vacío con${\estilo de visualización f}$${\displaystyle U=A\cap B\cap C}$${\displaystyle A,B,C\en {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(B\cap C)|_{U}-f(A\cap C)|_{U}+f(A\cap B)|_{U}=0}$

Una q -cocadena se denomina q -colímite si está en la imagen de y es el conjunto de todos los q -colímites.${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\mathrm {Estoy} (\delta _ {q-1})\subseteq C^{q}( {\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Por ejemplo, una cocadena 1 es un colímite 1 si existe una cocadena 0 tal que para cada intersección${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización h}$${\displaystyle A,B\en {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(A\cap B)=h(A)|_{A\cap B}-h(B)|_{A\cap B}}$

La cohomología de Čech de con valores en se define como la cohomología del complejo de cocadena . Por lo tanto, la cohomología de Čech q -ésima viene dada por${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )}$

${\displaystyle {\check {H}}^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=H^{q}((C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta ))=Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})/B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$.

La cohomología de Čech de X se define considerando refinamientos de cubiertas abiertas. Si es un refinamiento de entonces hay una función en la cohomología Las cubiertas abiertas de X forman un conjunto dirigido bajo refinamiento, por lo que la función anterior conduce a un sistema directo de grupos abelianos. La cohomología de Čech de X con valores en se define como el límite directo de este sistema.${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {H}}^{*}({\mathcal {V}},{\mathcal {F}}).}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\check {H}}(X,{\mathcal {F}}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}({\mathcal {U}},{ \mathcal{F}})}$

La cohomología de Čech de X con coeficientes en un grupo abeliano fijo A , denotado , se define como donde es el haz constante en X determinado por A .${\displaystyle {\check {H}}(X;A)}$${\displaystyle {\check {H}}(X,{\mathcal {F}}_{A})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$

Una variante de la cohomología de Čech, llamada cohomología de Čech numerable , se define como se indica más arriba, excepto que se requiere que todas las cubiertas abiertas consideradas sean numerables : es decir, existe una partición de unidad {ρ _i } tal que cada soporte está contenido en algún elemento de la cubierta. Si X es paracompacto y Hausdorff , entonces la cohomología de Čech numerable concuerda con la cohomología de Čech habitual.${\displaystyle \{x\mid \rho _{i}(x)>0\}}$

Si X es homotópicamente equivalente a un complejo CW , entonces la cohomología de Čech es naturalmente isomorfa a la cohomología singular . Si X es una variedad diferenciable , entonces también es naturalmente isomorfa a la cohomología de De Rham ; el artículo sobre la cohomología de De Rham proporciona una breve revisión de este isomorfismo. Para espacios con un comportamiento menos bueno, la cohomología de Čech difiere de la cohomología singular. Por ejemplo, si X es la curva sinusoidal del topólogo cerrado , entonces mientras que${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X;A)}$ ${\displaystyle H^{*}(X;A)\,}$${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.}$

Si X es una variedad diferenciable y la cubierta de X es una "buena cubierta" ( es decir , todos los conjuntos U _α son contráctiles hasta un punto, y todas las intersecciones finitas de conjuntos en son vacías o contráctiles hasta un punto), entonces es isomorfo a la cohomología de De Rham.${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}};\mathbb {R} )}$

Si X es Hausdorff compacto, entonces la cohomología de Čech (con coeficientes en un grupo discreto) es isomorfa a la cohomología de Alexander-Spanier .

Para un prehaz en X , denotemos su gavillación . Entonces tenemos una función de comparación natural${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{+}}$

${\displaystyle \chi :{\check {H}}^{*}(X,{\mathcal {F}})\to H^{*}(X,{\mathcal {F}}^{+})}$

de la cohomología de Čech a la cohomología de haces . Si X es Hausdorff paracompacto, entonces es un isomorfismo. De manera más general, es un isomorfismo siempre que la cohomología de Čech de todos los prehaces en X con gavillamiento cero se anule. ^[2]${\textstyle \chi }$${\textstyle \chi }$

La cohomología de Čech se puede definir de manera más general para objetos en un sitio C dotado de una topología. Esto se aplica, por ejemplo, al sitio de Zariski o al sitio de etale de un esquema X . La cohomología de Čech con valores en algún haz se define como${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}).}$

donde el colimite recorre todos los recubrimientos (con respecto a la topología elegida) de X. Aquí se define como arriba, excepto que las intersecciones de r -fold de subconjuntos abiertos dentro del espacio topológico ambiental se reemplazan por el producto de fibra de r -fold${\displaystyle {\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{\times _{X}^{r}}:={\mathcal {U}}\times _{X}\dots \times _{X}{\mathcal {U}}.}$

Como en la situación clásica de los espacios topológicos, siempre hay una función

${\displaystyle {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$

de la cohomología de Čech a la cohomología de haces. Siempre es un isomorfismo en los grados n = 0 y 1, pero puede no serlo en general. Para la topología de Zariski en un esquema separado noetheriano , la cohomología de Čech y de haces concuerda para cualquier haz cuasi-coherente . Para la topología étale , las dos cohomologías concuerdan para cualquier haz étale en X , siempre que cualquier conjunto finito de puntos de X esté contenido en algún subesquema afín abierto. Esto se satisface, por ejemplo, si X es cuasi-proyectivo sobre un esquema afín . ^[3]

La posible diferencia entre la cohomología de Čech y la cohomología de haces es una motivación para el uso de hipercoberturas : estos son objetos más generales que el nervio de Čech.

${\displaystyle N_{X}{\mathcal {U}}:\dots \to {\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\to {\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\to {\mathcal {U}}.}$

Un hipercubrimiento K _∗ de X es un cierto objeto simplicial en C , es decir, una colección de objetos K _n junto con funciones de contorno y de degeneración. Aplicando un haz a K _∗ se obtiene un grupo abeliano simplicial cuyo n -ésimo grupo de cohomología se denota . (Este grupo es el mismo que en el caso de que K _∗ sea igual a ). Entonces, se puede demostrar que existe un isomorfismo canónico${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\textstyle {\mathcal {F}}(K_{\ast })}$${\textstyle H^{n}({\mathcal {F}}(K_{\ast }))}$${\displaystyle {\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$${\displaystyle N_{X}{\mathcal {U}}}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})\cong \varinjlim _{K_{*}}H^{n}({\mathcal {F}}(K_{*})),}$

donde el colimite ahora recorre todas las hipercoberturas. ^[4]

El ejemplo más básico de cohomología de Čech se da en el caso en el que el prehaz es un haz constante , p . ej . En tales casos, cada -cocadena es simplemente una función que asigna cada -símplex a . Por ejemplo, calculamos la primera cohomología de Čech con valores en del círculo unitario . Dividiendo en tres arcos y eligiendo vecindarios abiertos suficientemente pequeños, obtenemos una cobertura abierta donde pero .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbb {R} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle f}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X=S^{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{0},U_{1},U_{2}\}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$${\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}=\phi }$

Dado cualquier 1-cociclo , es una 2-cocadena que toma entradas de la forma donde (ya que y por lo tanto no es un 2-símplex para ninguna permutación ). Las primeras tres entradas dan ; la cuarta da${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta f}$${\displaystyle (U_{i},U_{i},U_{i}),(U_{i},U_{i},U_{j}),(U_{j},U_{i},U_{i}),(U_{i},U_{j},U_{i})}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}=\phi }$${\displaystyle (U_{i},U_{j},U_{k})}$${\displaystyle \{i,j,k\}=\{1,2,3\}}$${\displaystyle f(U_{i},U_{i})=0}$

${\displaystyle \delta f(U_{i},U_{j},U_{i})=f(U_{j},U_{i})-f(U_{i},U_{i})+f(U_{i},U_{j})=0\implies f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j}).}$

Una función de este tipo está completamente determinada por los valores de . Por lo tanto,${\displaystyle f(U_{0},U_{1}),f(U_{0},U_{2}),f(U_{1},U_{2})}$

${\displaystyle Z^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=\{f\in C^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} ):f(U_{i},U_{i})=0,f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j})\}\cong \mathbb {R} ^{3}.}$

Por otra parte, dado cualquier 1-colímite , tenemos${\displaystyle f=\delta g}$

${\displaystyle {\begin{cases}f(U_{i},U_{i})=g(U_{i})-g(U_{i})=0&(i=0,1,2);\\f(U_{i},U_{j})=g(U_{j})-g(U_{i})=-f(U_{j},U_{i})&(i\neq j)\end{cases}}}$

Sin embargo, si lo analizamos más de cerca, veremos que y, por lo tanto, cada colímite 1 está determinado de forma única por y . Esto nos da el conjunto de colímites 1:${\displaystyle f(U_{0},U_{1})+f(U_{1},U_{2})=f(U_{0},U_{2})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(U_{0},U_{1})}$${\displaystyle f(U_{1},U_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=\{f\in C^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} ):\ &f(U_{i},U_{i})=0,f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j}),\\&f(U_{0},U_{2})=f(U_{0},U_{1})+f(U_{1},U_{2})\}\cong \mathbb {R} ^{2}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, . Dado que es una buena cobertura de , tenemos por el teorema de Leray .${\displaystyle {\check {H}}^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=Z^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )/B^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }$

También podemos calcular la cohomología del haz coherente de en la línea proyectiva utilizando el complejo de Čech. Utilizando la cobertura${\displaystyle \Omega ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{1}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y]),U_{2}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y^{-1}])\}}$

Tenemos los siguientes módulos del haz cotangente

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Omega ^{1}(U_{1})=\mathbb {C} [y]dy\\&\Omega ^{1}(U_{2})=\mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}\end{aligned}}}$

Si tomamos las convenciones entonces obtenemos el complejo Čech${\displaystyle dy^{-1}=-(1/y^{2})dy}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [y]dy\oplus \mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}{\xrightarrow {d^{0}}}\mathbb {C} \left[y,y^{-1}\right]dy\to 0}$

Dado que es inyectiva y el único elemento que no está en la imagen de es obtenemos que${\displaystyle d^{0}}$${\displaystyle d^{0}}$${\displaystyle y^{-1}dy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&H^{1}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong \mathbb {C} \\&H^{k}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong 0{\text{ for }}k\neq 1\end{aligned}}}$

• Bott, Raoul ; Loring Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Springer. ISBN 0-387-90613-4.
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (PDF) . Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Wells, Raymond (1980). "2. Teoría de haces: Apéndice A. Cohomología de Cech con coeficientes en un haces". Análisis diferencial en variedades complejas . Springer. págs. 63–64. doi :10.1007/978-1-4757-3946-6_2. ISBN 978-3-540-90419-9.