Función Tor

En matemáticas , los funtores Tor son los funtores derivados del producto tensorial de módulos sobre un anillo . Junto con el funtor Ext , Tor es uno de los conceptos centrales del álgebra homológica , en la que se utilizan ideas de la topología algebraica para construir invariantes de estructuras algebraicas. La homología de grupos , las álgebras de Lie y las álgebras asociativas se pueden definir en términos de Tor. El nombre proviene de una relación entre el primer grupo Tor Tor ₁ y el subgrupo de torsión de un grupo abeliano .

En el caso especial de los grupos abelianos, Tor fue introducido por Eduard Čech (1935) y nombrado por Samuel Eilenberg alrededor de 1950. ^[1] Se aplicó por primera vez al teorema de Künneth y al teorema del coeficiente universal en topología. Para módulos sobre cualquier anillo, Tor fue definido por Henri Cartan y Eilenberg en su libro de 1956 Homological Algebra . ^[2]

Sea R un anillo . Escriba R -Mod para la categoría de R -módulos izquierdos y Mod- R para la categoría de R -módulos derechos. (Si R es conmutativo , se pueden identificar las dos categorías). Para un R -módulo izquierdo fijo B , sea para A en Mod- R. Este es un funtor exacto derecho de Mod- R a la categoría de grupos abelianos Ab, y por lo tanto tiene funtores derivados izquierdos . Los grupos Tor son los grupos abelianos definidos por para un entero i . Por definición, esto significa: tome cualquier resolución proyectiva y elimine A , y forme el complejo de cadena :${\displaystyle T(A)=A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle L_{i}T}$$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),}$$ $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$$$${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$$

Para cada entero i , el grupo es la homología de este complejo en la posición i . Es cero para i negativo. Además, es el cokernel de la función , que es isomorfa a .${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)}$${\displaystyle P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B}$${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

Alternativamente, se puede definir Tor fijando A y tomando los funtores derivados izquierdos del funtor exacto derecho G ( B ) = A ⊗ _R B . Es decir, el tensor A con una resolución proyectiva de B y toma homología. Cartan y Eilenberg demostraron que estas construcciones son independientes de la elección de la resolución proyectiva, y que ambas construcciones producen los mismos grupos Tor. ^[3] Además, para un anillo fijo R , Tor es un funtor en cada variable (desde R -módulos hasta grupos abelianos).

Para un anillo conmutativo R y R -módulos A y B , Tor^R
_yo( A , B ) es un módulo R (usando que A ⊗ _R B es un módulo R en este caso). Para un anillo no conmutativo R , Tor^R
_yo( A , B ) es sólo un grupo abeliano, en general. Si R es un álgebra sobre un anillo S (lo que significa en particular que S es conmutativo), entonces Tor^R
_yo( A , B ) es al menos un módulo S.

A continuación se presentan algunas de las propiedades y cálculos básicos de los grupos Tor. ^[4]

• Colina^R0
  _​( A , B ) ≅ A ⊗ _R B para cualquier R -módulo derecho A y R -módulo izquierdo B .
• Colina^R
  _yo( A , B ) = 0 para todo i > 0 si A o B es plano (por ejemplo, libre ) como un módulo R. De hecho, se puede calcular Tor utilizando una resolución plana de A o B ; esto es más general que una resolución proyectiva (o libre). ^[5]
• Hay contradicciones a la afirmación anterior:
  • Si Tor^R1
    _​( A , B ) = 0 para todo B , entonces A es plano (y por lo tanto Tor^R
    _yo( A , B ) = 0 para todo i > 0).
  • Si Tor^R1
    _​( A , B ) = 0 para todo A , entonces B es plano (y por lo tanto Tor^R
    _yo( A , B ) = 0 para todo i > 0).
• Por las propiedades generales de los funtores derivados , cada secuencia exacta corta 0 → K → L → M → 0 de módulos R derechos induce una secuencia exacta larga de la forma ^[6] para cualquier módulo R izquierdo B. La secuencia exacta análoga también se cumple para Tor con respecto a la segunda variable.$${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$$
• Simetría: para un anillo conmutativo R , existe un isomorfismo natural Tor^R
  _yo( A , B ) ≅ Tor^R
  _yo( B , A ). ^[7] (Para que R sea conmutativo, no es necesario distinguir entre módulos R izquierdo y derecho ).
• Si R es un anillo conmutativo y u en R no es un divisor de cero , entonces para cualquier R -módulo B , donde es el subgrupo de u -torsión de B . Esta es la explicación del nombre Tor. Tomando R como el anillo de números enteros, este cálculo se puede utilizar para calcular cualquier grupo abeliano A finitamente generado .$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$
• Generalizando el ejemplo anterior, se pueden calcular grupos Tor que involucran el cociente de un anillo conmutativo por cualquier secuencia regular , utilizando el complejo de Koszul . ^[8] Por ejemplo, si R es el anillo polinomial k [ x ₁ , ..., x _n ] sobre un cuerpo k , entonces es el álgebra exterior sobre k en n generadores en Tor ₁ .${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$para todo i ≥ 2. La razón: cada grupo abeliano A tiene una resolución libre de longitud 1, ya que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre.
• Generalizando el ejemplo anterior, para todo i ≥ 2 si $R$ es un dominio ideal principal (PID). La razón: todo módulo A sobre un PID tiene una resolución libre de longitud 1, ya que todo submódulo de un módulo libre sobre un PID es libre.${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$
• Para cualquier anillo R , Tor conserva sumas directas (posiblemente infinitas) y colímites filtrados en cada variable. ^[9] Por ejemplo, en la primera variable, esto dice que$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$$
• Cambio de base plana: para una R -álgebra plana conmutativa T , R -módulos A y B , y un entero i , ^[10] Se deduce que Tor conmuta con localización . Es decir, para un conjunto multiplicativamente cerrado S en R ,$${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).}$$ $${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$$
• Para un anillo conmutativo R y R -álgebras conmutativas A y B , Tor^R
  _*( A , B ) tiene la estructura de un álgebra conmutativa graduada sobre R . Además, los elementos de grado impar en el álgebra de Tor tienen el cuadrado cero, y hay operaciones de potencia divididas sobre los elementos de grado par positivo. ^[11]

• La homología de grupo se define por donde G es un grupo, M es una representación de G sobre los números enteros y es el anillo de grupo de G.${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
• Para un álgebra A sobre un cuerpo k y un A - bimódulo M , la homología de Hochschild se define por$${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).}$$
• La homología del álgebra de Lie se define por , donde es un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo R , M es un -módulo y es el álgebra envolvente universal .${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$
• Para un anillo conmutativo R con un homomorfismo sobre un cuerpo k , es un álgebra de Hopf conmutativa graduada sobre k . ^[12] (Si R es un anillo local noetheriano con cuerpo de residuos k , entonces el álgebra de Hopf dual es Ext${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$^*
  _R( k , k ).) Como álgebra, es el álgebra de potencia dividida conmutativa graduada libre en un espacio vectorial graduado π _* ( R ). ^[13] Cuando k tiene característica cero, π _* ( R ) puede identificarse con la homología de André-Quillen D _* ( k / R , k ). ^[14]${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$

• Morfismo plano
• Fórmula de intersección de Serre
• Producto tensorial derivado
• Secuencia espectral de Eilenberg-Moore

• Avramov, Luchezar ; Halperin, Stephen (1986), "A través del espejo: un diccionario entre la teoría de la homotopía racional y el álgebra local", en J.-E. Roos (ed.), Álgebra, topología algebraica y sus interacciones (Estocolmo, 1983) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1183, Springer Nature , págs. 1–27, doi :10.1007/BFb0075446, ISBN 978-3-540-16453-1, Sr.  0846435
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Álgebra homológica , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, Sr.  0077480
• Čech, Eduard (1935), "Les groupes de Betti d'un complexe infini" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 25 : 33–44, doi : 10.4064/fm-25-1-33-44 , JFM  61.0609.02
• Gulliksen, Tor; Levin, Gerson (1969), Homología de anillos locales , Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Queen's University, MR  0262227
• Quillen, Daniel (1970), "Sobre la (co-)homología de los anillos conmutativos", Aplicaciones del álgebra categórica , Proc. Symp. Pure Mat., vol. 17, American Mathematical Society , págs. 65–87, MR  0257068
• Sjödin, Gunnar (1980), "Álgebras y derivaciones de Hopf", Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.
• Weibel, Charles (1999), "Historia del álgebra homológica", Historia de la topología (PDF) , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 797–836, MR  1721123

• Autores del Proyecto Stacks, Proyecto Stacks