Cohomología de De Rham

En matemáticas , la cohomología de De Rham (llamada así por Georges de Rham ) es una herramienta perteneciente tanto a la topología algebraica como a la topología diferencial , capaz de expresar información topológica básica sobre variedades suaves en una forma particularmente adaptada al cálculo y a la representación concreta de clases de cohomología . Es una teoría de cohomología basada en la existencia de formas diferenciales con propiedades prescritas.

En cualquier variedad lisa, toda forma exacta es cerrada, pero la recíproca puede no cumplirse. En términos generales, esta falla está relacionada con la posible existencia de "agujeros" en la variedad, y los grupos de cohomología de De Rham comprenden un conjunto de invariantes topológicos de variedades lisas que cuantifican con precisión esta relación. ^[1]

El concepto de integración sobre formas es de importancia fundamental en topología diferencial, geometría y física, y también produce uno de los ejemplos más importantes de cohomología , a saber, la cohomología de De Rham , que (en términos generales) mide con precisión hasta qué punto el teorema fundamental del cálculo falla en dimensiones superiores y en variedades generales.
—  Terence Tao , Formas diferenciales e integración ^[2]

El complejo de De Rham es el complejo de cocadena de formas diferenciales en alguna variedad suave M , con la derivada exterior como diferencial:

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,}$

donde Ω ⁰ ( M ) es el espacio de funciones suaves en M , Ω ¹ ( M ) es el espacio de 1 -formas , y así sucesivamente. Las formas que son la imagen de otras formas bajo la derivada exterior , más la función constante 0 en Ω ⁰ ( M ) , se llaman exactas y las formas cuya derivada exterior es 0 se llaman cerradas (ver Formas diferenciales cerradas y exactas ); la relación d ² = 0 dice entonces que las formas exactas son cerradas.

Por el contrario, las formas cerradas no son necesariamente exactas. Un caso ilustrativo es un círculo como variedad, y la forma 1 correspondiente a la derivada del ángulo a partir de un punto de referencia en su centro, típicamente escrita como dθ (descrita en Formas diferenciales cerradas y exactas ). No hay ninguna función θ definida en todo el círculo tal que dθ sea su derivada; el aumento de 2 π al dar una vuelta al círculo en la dirección positiva implica una función multivaluada θ . Eliminar un punto del círculo evita esto, al mismo tiempo que cambia la topología de la variedad.

Un ejemplo destacado de cuando todas las formas cerradas son exactas es cuando el espacio subyacente es contráctil hasta un punto o, de forma más general, si es simplemente conexo (condición sin agujeros). En este caso, la derivada exterior restringida a las formas cerradas tiene una inversa local llamada operador de homotopía . ^{[3] [4]} Dado que también es nilpotente , ^[3] forma un complejo de cadena dual con las flechas invertidas ^[5] en comparación con el complejo de De Rham. Esta es la situación descrita en el lema de Poincaré . ${\estilo de visualización d}$

La idea detrás de la cohomología de De Rham es definir clases de equivalencia de formas cerradas en una variedad. Se clasifican dos formas cerradas α , β ∈ Ω ^k ( M ) como cohomólogas si difieren en una forma exacta, es decir, si α − β es exacta. Esta clasificación induce una relación de equivalencia en el espacio de formas cerradas en Ω ^k ( M ) . Luego se define el k -ésimo grupo de cohomología de De Rham como el conjunto de clases de equivalencia, es decir, el conjunto de formas cerradas en Ω ^k ( M ) módulo las formas exactas.${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$

Nótese que, para cualquier variedad M compuesta de m componentes desconectados, cada uno de los cuales está conectado , tenemos que

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.}$

Esto se deduce del hecho de que cualquier función suave en M con derivada cero en todas partes es constante por separado en cada uno de los componentes conectados de M.

A menudo se pueden encontrar las cohomologías de De Rham generales de una variedad utilizando el hecho anterior sobre la cohomología cero y una sucesión de Mayer–Vietoris . Otro hecho útil es que la cohomología de De Rham es un invariante de homotopía . Si bien no se proporciona el cálculo, las siguientes son las cohomologías de De Rham calculadas para algunos objetos topológicos comunes :

Para la n -esfera , , y también cuando se toma junto con un producto de intervalos abiertos, tenemos lo siguiente. Sea n > 0, m ≥ 0 , e I un intervalo real abierto. Entonces$Estilo de visualización Sn$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ o }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ y }}k\neq n.\end{cases}}}$

El -toro es el producto cartesiano: . De manera similar, permitiendo aquí, obtenemos${\estilo de visualización n}$${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

También podemos encontrar generadores explícitos para la cohomología de De Rham del toro directamente usando formas diferenciales. Dada una variedad cociente y una forma diferencial podemos decir que es -invariante si dado cualquier difeomorfismo inducido por , tenemos . En particular, el pullback de cualquier forma en es -invariante. Además, el pullback es un morfismo inyectivo. En nuestro caso de las formas diferenciales son -invariantes ya que . Pero, note que para no es una -forma invariante . Esto con inyectividad implica que${\displaystyle \pi :X\to X/G}$${\displaystyle \omega \en \Omega ^{k}(X)}$${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \cdot g:X\to X}$${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega }$${\estilo de visualización X/G}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$${\displaystyle x_{i}+\alpha }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

Dado que el anillo de cohomología de un toro se genera por , tomar los productos externos de estas formas proporciona todos los representantes explícitos para la cohomología de De Rham de un toro.${\displaystyle H^{1}}$

El espacio euclidiano perforado es simplemente aquel en el que se ha eliminado el origen.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

Podemos deducir del hecho de que la banda de Möbius , M , puede ser retraída por deformación hasta la 1- esfera (es decir, el círculo unitario real), que:

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$

El teorema de Stokes es una expresión de dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología de cadenas . Dice que el emparejamiento de formas diferenciales y cadenas, vía integración, da un homomorfismo de la cohomología de De Rham a grupos de cohomología singulares . El teorema de De Rham, demostrado por Georges de Rham en 1931, establece que para una variedad suave M , esta función es de hecho un isomorfismo .${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$

Más precisamente, consideremos el mapa

${\displaystyle I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R} ),}$

definida de la siguiente manera: para cualquier , sea I ( ω ) el elemento de que actúa de la siguiente manera:${\displaystyle [\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)}$${\displaystyle {\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .}$

El teorema de De Rham afirma que se trata de un isomorfismo entre la cohomología de De Rham y la cohomología singular.

El producto exterior confiere a la suma directa de estos grupos una estructura de anillo . Otro resultado del teorema es que los dos anillos de cohomología son isomorfos (como anillos graduados ), donde el producto análogo en cohomología singular es el producto de copa .

Para cualquier variedad suave M , sea el haz constante en M asociado al grupo abeliano ; en otras palabras, es el haz de funciones reales localmente constantes en M. Entonces tenemos un isomorfismo natural${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$${\textstyle \mathbb {R} }$${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{*}(M)\cong H^{*}(M,{\underline {\mathbb {R} }})}$

entre la cohomología de De Rham y la cohomología de haces de . (Nótese que esto muestra que la cohomología de De Rham también puede calcularse en términos de la cohomología de Čech ; de hecho, dado que cada variedad suave es Hausdorff paracompacta, tenemos que la cohomología de haces es isomorfa a la cohomología de Čech para cualquier buena cobertura de M .)${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$${\textstyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})}$ ${\textstyle {\mathcal {U}}}$

La prueba estándar procede mostrando que el complejo de De Rham, cuando se lo considera como un complejo de haces, es una resolución acíclica de . Con más detalle, sea m la dimensión de M y sea el haz de gérmenes de -formas en M (con el haz de funciones en M ). Por el lema de Poincaré , la siguiente secuencia de haces es exacta (en la categoría abeliana de haces):${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$${\textstyle \Omega ^{k}}$${\displaystyle k}$${\textstyle \Omega ^{0}}$${\textstyle C^{\infty }}$

${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d_{0}} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d_{1}} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d_{2}} \dots \xrightarrow {d_{m-1}} \,\Omega ^{m}\to 0.}$

Esta larga secuencia exacta ahora se divide en secuencias cortas y exactas de haces.

${\displaystyle 0\to \mathrm {im} \,d_{k-1}\,\xrightarrow {\subset } \,\Omega ^{k}\,\xrightarrow {d_{k}} \,\mathrm {im} \,d_{k}\to 0,}$

donde por exactitud tenemos isomorfismos para todo k . Cada uno de estos induce una larga secuencia exacta en cohomología. Puesto que el haz de funciones en M admite particiones de unidad , cualquier -módulo es un haz fino ; en particular, los haces son todos finos. Por lo tanto, los grupos de cohomología de haces se desvanecen para puesto que todos los haces finos en espacios paracompactos son acíclicos. Así que las largas secuencias de cohomología exacta finalmente se separan en una cadena de isomorfismos. En un extremo de la cadena está la cohomología de haces de y en el otro se encuentra la cohomología de De Rham.${\textstyle \mathrm {im} \,d_{k-1}\cong \mathrm {ker} \,d_{k}}$${\textstyle \Omega ^{0}}$${\textstyle C^{\infty }}$${\textstyle \Omega ^{0}}$${\textstyle \Omega ^{k}}$${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$${\textstyle i>0}$${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

La cohomología de De Rham ha inspirado muchas ideas matemáticas, entre ellas la cohomología de Dolbeault , la teoría de Hodge y el teorema del índice de Atiyah-Singer . Sin embargo, incluso en contextos más clásicos, el teorema ha inspirado una serie de desarrollos. En primer lugar, la teoría de Hodge demuestra que existe un isomorfismo entre la cohomología que consiste en formas armónicas y la cohomología de De Rham que consiste en formas cerradas módulo formas exactas. Esto se basa en una definición apropiada de las formas armónicas y del teorema de Hodge. Para más detalles, consulte la teoría de Hodge .

Si M es una variedad compacta de Riemann , entonces cada clase de equivalencia en contiene exactamente una forma armónica . Es decir, cada miembro de una clase de equivalencia dada de formas cerradas puede escribirse como${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma }$

donde es exacto y es armónico: .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Delta \gamma =0}$

Cualquier función armónica en una variedad de Riemann compacta y conexa es una constante. Por lo tanto, este elemento representativo particular puede entenderse como un extremo (un mínimo) de todas las formas cohomólogamente equivalentes en la variedad. Por ejemplo, en un toro 2 - , se puede imaginar una forma 1 constante como una en la que todo el "cabello" está peinado prolijamente en la misma dirección (y todo el "cabello" tiene la misma longitud). En este caso, hay dos peinados cohomológicamente distintos; todos los demás son combinaciones lineales. En particular, esto implica que el primer número de Betti de un toro 2 - es dos. De manera más general, en un toro -dimensional , se pueden considerar los diversos peinados de las formas - en el toro. Hay choose de tales peinados que se pueden usar para formar los vectores base para ; el -ésimo número de Betti para el grupo de cohomología de De Rham para el -toro es choose .${\displaystyle n}$${\displaystyle T^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

Más precisamente, para una variedad diferencial M , se le puede dotar de alguna métrica riemanniana auxiliar . Entonces el laplaciano se define por${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

con la derivada exterior y la codiferencial . El laplaciano es un operador diferencial lineal homogéneo (en gradación ) que actúa sobre el álgebra exterior de formas diferenciales : podemos observar su acción sobre cada componente de grado por separado.${\displaystyle d}$${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle k}$

Si es compacto y orientado , la dimensión del núcleo del laplaciano que actúa sobre el espacio de k -formas es entonces igual (por la teoría de Hodge ) a la del grupo de cohomología de De Rham en grado : el laplaciano escoge una forma armónica única en cada clase de cohomología de formas cerradas . En particular, el espacio de todas las -formas armónicas en es isomorfo a La dimensión de cada uno de esos espacios es finita y está dada por el -ésimo número de Betti .${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$${\displaystyle k}$

Sea una variedad riemanniana orientada compacta . La descomposición de Hodge establece que cualquier forma de se descompone de manera única en la suma de tres componentes L ² :${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma ,}$

donde es exacto, es coexacto y es armónico.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

Se dice que una forma es cocerrada si y coexacta si para alguna forma , y que es armónica si el laplaciano es cero, . Esto se deduce de notar que las formas exactas y coexactas son ortogonales; el complemento ortogonal entonces consiste en formas que son cerradas y cocerradas: es decir, de formas armónicas. Aquí, la ortogonalidad se define con respecto al producto interno L ² en :${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \delta \beta =0}$${\displaystyle \beta =\delta \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Delta \gamma =0}$${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.}$

Mediante el uso de espacios o distribuciones de Sobolev , la descomposición puede extenderse, por ejemplo, a una variedad riemanniana completa (orientada o no). ^[6]

• Teoría de Hodge
• Integración a lo largo de las fibras (para la cohomología de De Rham, el empuje hacia adelante se da por la integración )
• Teoría de las gavillas
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema para un refinamiento de formas diferenciales exactas en el caso de variedades de Kähler compactas .

• Idea de la cohomología de De Rham en el proyecto Mathifold
• "Cohomología de De Rham", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]