Teoría K

En matemáticas , la teoría K es, en términos generales, el estudio de un anillo generado por fibrados vectoriales sobre un espacio o esquema topológico . En topología algebraica , es una teoría de cohomología conocida como teoría K topológica . En álgebra y geometría algebraica , se la conoce como teoría K algebraica . También es una herramienta fundamental en el campo de las álgebras de operadores . Puede verse como el estudio de ciertos tipos de invariantes de matrices grandes . ^[1]

La teoría K implica la construcción de familias de K - funtores que se asignan a partir de espacios o esquemas topológicos, o para ser aún más general: cualquier objeto de una categoría de homotopía a anillos asociados; estos anillos reflejan algunos aspectos de la estructura de los espacios o esquemas originales. Al igual que con los funtores a grupos en topología algebraica, la razón para esta asignación funcional es que es más fácil calcular algunas propiedades topológicas a partir de los anillos asignados que a partir de los espacios o esquemas originales. Ejemplos de resultados obtenidos a partir del enfoque de la teoría K incluyen el teorema de Grothendieck–Riemann–Roch , la periodicidad de Bott , el teorema del índice de Atiyah–Singer y las operaciones de Adams .

En física de alta energía , la teoría K y en particular la teoría K torcida han aparecido en la teoría de cuerdas de tipo II , donde se ha conjeturado que clasifican las D-branas , las intensidades de campo de Ramond-Ramond y también ciertos espinores en variedades complejas generalizadas . En física de la materia condensada, la teoría K se ha utilizado para clasificar aislantes topológicos , superconductores y superficies de Fermi estables . Para más detalles, véase Teoría K (física) .

La compleción de Grothendieck de un monoide abeliano en un grupo abeliano es un ingrediente necesario para definir la teoría K, ya que todas las definiciones comienzan construyendo un monoide abeliano a partir de una categoría adecuada y convirtiéndolo en un grupo abeliano mediante esta construcción universal. Dado un monoide abeliano, sea la relación en definida por${\displaystyle (A,+')}$${\estilo de visualización \sim}$${\displaystyle A^{2}=A\times A}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})}$

Si existe un tal que Entonces, el conjunto tiene la estructura de un grupo donde:${\displaystyle c\en A}$${\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.}$${\displaystyle G(A)=A^{2}/\sim }$ ${\displaystyle (G(A),+)}$

${\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].}$

Las clases de equivalencia de este grupo deben considerarse como diferencias formales de elementos en el monoide abeliano. Este grupo también está asociado con un homomorfismo de monoide dado por que tiene una cierta propiedad universal .${\displaystyle (G(A),+)}$${\displaystyle i:A\to G(A)}$${\displaystyle a\mapsto [(a,0)],}$

Para comprender mejor este grupo, considere algunas clases de equivalencia del monoide abeliano . Aquí denotaremos el elemento identidad de por de modo que será el elemento identidad de Primero, para cualquier ya que podemos establecer y aplicar la ecuación de la relación de equivalencia para obtener Esto implica${\displaystyle (A,+)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle [(0,0)]}$${\displaystyle (G(A),+).}$${\displaystyle (0,0)\sim (n,n)}$${\displaystyle n\in A}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle n=n.}$

${\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]}$

Por lo tanto, tenemos un inverso aditivo para cada elemento en . Esto debería darnos la pista de que deberíamos pensar en las clases de equivalencia como diferencias formales. Otra observación útil es la invariancia de las clases de equivalencia bajo escala:${\displaystyle G(A)}$${\displaystyle [(a,b)]}$${\displaystyle a-b.}$

${\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)}$Para cualquiera${\displaystyle k\in A.}$

La completitud de Grothendieck puede verse como un funtor y tiene la propiedad de que es adjunta izquierda al funtor olvidadizo correspondiente. Esto significa que, dado un morfismo de un monoide abeliano al monoide abeliano subyacente de un grupo abeliano, existe un morfismo de grupo abeliano único.${\displaystyle G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} ,}$ ${\displaystyle U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .}$${\displaystyle \phi :A\to U(B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle G(A)\to B.}$

Un ejemplo ilustrativo que podemos observar es la compleción de Grothendieck de . Podemos ver que Para cualquier par podemos encontrar un representante mínimo utilizando la invariancia bajo escalamiento. Por ejemplo, podemos ver a partir de la invariancia de escalamiento que${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+).}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a',b')}$

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

En general, si entonces${\displaystyle k:=\min\{a,b\}}$

${\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}$que es de la forma o${\displaystyle (c,0)}$${\displaystyle (0,d).}$

Esto demuestra que debemos pensar en los como números enteros positivos y en los como números enteros negativos.${\displaystyle (a,0)}$${\displaystyle (0,b)}$

Hay varias definiciones básicas de la teoría K: dos provenientes de la topología y dos de la geometría algebraica.

Dado un espacio de Hausdorff compacto , considérese el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales de dimensión finita sobre , denotado por y sea la clase de isomorfismo de un fibrado vectorial denotada por . Dado que las clases de isomorfismo de fibrados vectoriales se comportan bien con respecto a las sumas directas , podemos escribir estas operaciones sobre clases de isomorfismo por${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle [E]}$

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

Debe quedar claro que es un monoide abeliano donde la unidad está dada por el fibrado vectorial trivial . Podemos entonces aplicar la compleción de Grothendieck para obtener un grupo abeliano a partir de este monoide abeliano. Esto se llama la teoría K de y se denota .${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K^{0}(X)}$

Podemos utilizar el teorema de Serre-Swan y algo de álgebra para obtener una descripción alternativa de los fibrados vectoriales sobre el anillo de funciones complejas continuas como módulos proyectivos . Luego, estos pueden identificarse con matrices idempotentes en algún anillo de matrices . Podemos definir clases de equivalencia de matrices idempotentes y formar un monoide abeliano . Su completitud de Grothendieck también se llama . Una de las principales técnicas para calcular el grupo de Grothendieck para espacios topológicos proviene de la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch , lo que la hace muy accesible. Los únicos cálculos necesarios para comprender las secuencias espectrales son calcular el grupo para las esferas . ^{[2] pág. 51-110}${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$${\displaystyle K^{0}(X)}$${\displaystyle K^{0}}$${\displaystyle S^{n}}$

Existe una construcción análoga al considerar fibrados vectoriales en geometría algebraica . Para un esquema noetheriano hay un conjunto de todas las clases de isomorfismos de fibrados vectoriales algebraicos en . Entonces, como antes, la suma directa de las clases de isomorfismos de fibrados vectoriales está bien definida, dando un monoide abeliano . Entonces, el grupo de Grothendieck se define mediante la aplicación de la construcción de Grothendieck en este monoide abeliano.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$${\displaystyle K^{0}(X)}$

En geometría algebraica, la misma construcción se puede aplicar a los fibrados vectoriales algebraicos sobre un esquema suave. Pero, existe una construcción alternativa para cualquier esquema noetheriano . Si observamos las clases de isomorfismo de haces coherentes, podemos calcular el módulo mediante la relación si hay una secuencia exacta corta${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

Esto da como resultado el grupo de Grothendieck, que es isomorfo a si es suave. El grupo es especial porque también tiene una estructura de anillo: lo definimos como${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle K^{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{0}(X)}$

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

Usando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , tenemos que

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

es un isomorfismo de anillos. Por lo tanto, podemos utilizar para la teoría de intersecciones . ^[3]${\displaystyle K_{0}(X)}$

Se puede decir que el tema comienza con Alexander Grothendieck (1957), quien lo utilizó para formular su teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Toma su nombre del alemán Klasse , que significa "clase". ^[4] Grothendieck necesitaba trabajar con haces coherentes en una variedad algebraica X. En lugar de trabajar directamente con los haces, definió un grupo utilizando clases de isomorfismo de haces como generadores del grupo, sujeto a una relación que identifica cualquier extensión de dos haces con su suma. El grupo resultante se llama K ( X ) cuando solo se utilizan haces localmente libres , o G ( X ) cuando todos son haces coherentes. Cualquiera de estas dos construcciones se conoce como el grupo de Grothendieck ; K ( X ) tiene un comportamiento cohomológico y G ( X ) tiene un comportamiento homológico .

Si X es una variedad uniforme , los dos grupos son iguales. Si es una variedad afín uniforme , entonces todas las extensiones de haces localmente libres se dividen, por lo que el grupo tiene una definición alternativa.

En topología , al aplicar la misma construcción a los fibrados vectoriales , Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch definieron K ( X ) para un espacio topológico X en 1959, y utilizando el teorema de periodicidad de Bott lo convirtieron en la base de una extraordinaria teoría de cohomología . Desempeñó un papel importante en la segunda demostración del teorema del índice de Atiyah-Singer (circa 1962). Además, este enfoque condujo a una teoría K no conmutativa para las C*-álgebras .

Ya en 1955, Jean-Pierre Serre había utilizado la analogía de los fibrados vectoriales con los módulos proyectivos para formular la conjetura de Serre , que afirma que todo módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo de polinomios es libre ; esta afirmación es correcta, pero no se resolvió hasta 20 años después. ( El teorema de Swan es otro aspecto de esta analogía.)

El otro origen histórico de la teoría K algebraica fue el trabajo de JHC Whitehead y otros sobre lo que más tarde se conocería como torsión de Whitehead .

Siguió un período en el que hubo varias definiciones parciales de funtores de la teoría K superior . Finalmente, Daniel Quillen dio dos definiciones útiles y equivalentes utilizando la teoría de homotopía en 1969 y 1972. Friedhelm Waldhausen también dio una variante para estudiar la teoría K algebraica de espacios, que está relacionada con el estudio de pseudoisotopías. Gran parte de la investigación moderna sobre la teoría K superior está relacionada con la geometría algebraica y el estudio de la cohomología motívica .

Las construcciones correspondientes que involucran una forma cuadrática auxiliar recibieron el nombre general de teoría L. Es una herramienta importante de la teoría quirúrgica .

En teoría de cuerdas , la clasificación de la teoría K de las intensidades de campo Ramond-Ramond y las cargas de las D-branas estables se propuso por primera vez en 1997. ^[5]

El ejemplo más sencillo del grupo de Grothendieck es el grupo de Grothendieck de un punto para un cuerpo . Puesto que un fibrado vectorial sobre este espacio es simplemente un espacio vectorial de dimensión finita, que es un objeto libre en la categoría de haces coherentes, por lo tanto proyectivo, el monoide de clases de isomorfismo es correspondiente a la dimensión del espacio vectorial. Es un ejercicio fácil demostrar que el grupo de Grothendieck es entonces .${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Una propiedad importante del grupo de Grothendieck de un esquema noetheriano es que es invariante bajo reducción, por lo tanto . ^[6] Por lo tanto, el grupo de Grothendieck de cualquier -álgebra artiniana es una suma directa de copias de , una para cada componente conectado de su espectro. Por ejemplo,${\displaystyle X}$${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$$${\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$$

Uno de los cálculos más utilizados del grupo de Grothendieck es con el cálculo de para el espacio proyectivo sobre un cuerpo. Esto se debe a que los números de intersección de un proyectivo se pueden calcular mediante la incrustación y el uso de la fórmula push pull . Esto hace posible hacer cálculos concretos con elementos en sin tener que conocer explícitamente su estructura ya que ^[7] Una técnica para determinar el grupo de Grothendieck de proviene de su estratificación ya que dado que el grupo de Grothendieck de haces coherentes en espacios afines es isomorfo a , y la intersección de es genéricamente para .${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$${\displaystyle K(X)}$$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}$$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}}$$${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$

Otra fórmula importante para el grupo de Grothendieck es la fórmula del fibrado proyectivo: ^[8] dado un fibrado vectorial de rango r sobre un esquema noetheriano , el grupo de Grothendieck del fibrado proyectivo es un módulo libre de rango r con base . Esta fórmula permite calcular el grupo de Grothendieck de . Esto hace posible calcular las superficies de Hirzebruch o . Además, esto se puede utilizar para calcular el grupo de Grothendieck observando que es un fibrado proyectivo sobre el cuerpo .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$${\displaystyle K(X)}$${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

Una técnica reciente para calcular el grupo de Grothendieck de espacios con singularidades menores proviene de evaluar la diferencia entre y , que proviene del hecho de que cada fibrado vectorial puede describirse de manera equivalente como un haz coherente. Esto se hace utilizando el grupo de Grothendieck de la categoría de Singularidad ^{[9] [10]} de la geometría algebraica no conmutativa derivada . Da una secuencia larga y exacta que comienza con donde los términos superiores provienen de la teoría K superior . Nótese que los fibrados vectoriales en un singular están dados por fibrados vectoriales en el lugar geométrico liso . Esto hace posible calcular el grupo de Grothendieck en espacios proyectivos ponderados ya que típicamente tienen singularidades cociente aisladas. En particular, si estas singularidades tienen grupos de isotropía, entonces la función es inyectiva y el conúcleo se aniquila por para . ^{[10] pg 3}${\displaystyle K^{0}(X)}$${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle D_{sg}(X)}$$${\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle E\to X_{sm}}$${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$${\displaystyle G_{i}}$$${\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}$$${\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$${\displaystyle n=\dim X}$

Para una curva proyectiva suave, el grupo de Grothendieck es para el grupo de Picard de . Esto se desprende de la secuencia espectral de Brown-Gersten-Quillen ^{[11] pág. 72} de la K-teoría algebraica . Para un esquema regular de tipo finito sobre un cuerpo, existe una secuencia espectral convergente para el conjunto de puntos de codimensión, es decir, el conjunto de subesquemas de codimensión , y el cuerpo de funciones algebraicas del subesquema. Esta secuencia espectral tiene la propiedad ^{[11] pág. 80} para el anillo de Chow de , que esencialmente da el cálculo de . Nótese que debido a que no tiene puntos de codimensión, las únicas partes no triviales de la secuencia espectral son , por lo tanto La filtración de coniveau se puede utilizar para determinar como la suma directa explícita deseada, ya que da una secuencia exacta donde el término de la izquierda es isomorfo a y el término de la derecha es isomorfo a . Como , tenemos la secuencia de grupos abelianos anteriores se divide, dando el isomorfismo. Nótese que si es una curva proyectiva suave de género sobre , entonces Además, las técnicas anteriores que utilizan la categoría derivada de singularidades para singularidades aisladas se pueden extender a singularidades aisladas de Cohen-Macaulay , dando técnicas para calcular el grupo de Grothendieck de cualquier curva algebraica singular. Esto se debe a que la reducción da una curva genéricamente suave y todas las singularidades son de Cohen-Macaulay.${\displaystyle C}$$${\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$${\displaystyle C}$$${\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}$$${\displaystyle X^{(p)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x:Y\to X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k(x)}$$${\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{0}(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}$$${\displaystyle K_{0}(C)}$$${\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0}$$${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}$$

Una aplicación útil del grupo de Grothendieck es definir fibrados vectoriales virtuales. Por ejemplo, si tenemos una incrustación de espacios suaves , entonces existe una secuencia exacta corta${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

donde es el fibrado conormal de en . Si tenemos un espacio singular incrustado en un espacio liso definimos el fibrado conormal virtual como${\displaystyle C_{Y/X}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

Otra aplicación útil de los fibrados virtuales es la definición de un fibrado tangente virtual de una intersección de espacios: Sean subvariedades proyectivas de una variedad proyectiva suave. Entonces, podemos definir el fibrado tangente virtual de su intersección como${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

Kontsevich utiliza esta construcción en uno de sus artículos. ^[12]

Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos desde la teoría K topológica de un espacio hasta (la finalización de) su cohomología racional. Para un fibrado lineal L , el carácter de Chern ch se define por

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

De manera más general, si es una suma directa de haces de líneas, con las primeras clases de Chern, el carácter de Chern se define de forma aditiva.${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

El carácter de Chern es útil en parte porque facilita el cálculo de la clase de Chern de un producto tensorial. El carácter de Chern se utiliza en el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch .

La K-teoría algebraica equivariante es una K-teoría algebraica asociada a la categoría de haces coherentes equivariantes en un esquema algebraico con acción de un grupo algebraico lineal , a través de la Q-construcción de Quillen ; por lo tanto, por definición,${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

En particular, el grupo de Grothendieck es . La teoría fue desarrollada por RW Thomason en la década de 1980. ^[13] En concreto, demostró análogos equivariantes de teoremas fundamentales como el teorema de localización.${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$

• Periodicidad de Bott
• Teoría KK
• Teoría KR
• Lista de teorías de cohomología
• Teoría K algebraica
• Teoría K topológica
• Teoría K del operador
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch

• Atiyah, Michael Francis (1989). Teoría K. Advanced Book Classics (2.ª edición). Addison-Wesley . ISBN. 978-0-201-09394-0.Señor 1043170  .
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Handbook of K-Theory . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4.Señor 2182598  .
• Park, Efton (2008). Teoría K topológica compleja . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 111. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85634-8.
• Swan, RG (1968). Teoría K algebraica . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 76. Springer . ISBN. 3-540-04245-8.
• Karoubi, Max (1978). Teoría K: una introducción . Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN. 0-387-08090-2.
• Karoubi, Max (2006). "Teoría K. Una introducción elemental". arXiv : math/0602082 .
• Hatcher, Allen (2003). "Paquetes vectoriales y teoría K".
• Weibel, Charles (2013). El libro K: una introducción a la teoría K algebraica . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 145. Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-9132-2.

• Grothendieck-Riemann-Roch
• Página de Max Karoubi
• Archivo de preimpresiones de la teoría K