Homología singular

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En topología algebraica , la homología singular se refiere al estudio de un cierto conjunto de invariantes algebraicos de un espacio topológico , los llamados grupos de homología Intuitivamente, la homología singular cuenta, para cada dimensión , los huecos -dimensionales de un espacio. La homología singular es un ejemplo particular de una teoría de homología , que ahora ha crecido hasta convertirse en una colección bastante amplia de teorías. De las diversas teorías, es quizás una de las más simples de entender, al estar construida sobre construcciones bastante concretas (véase también la teoría relacionada homología simplicial ).${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{n}(X).}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

En resumen, la homología singular se construye tomando aplicaciones del símplex estándar${\displaystyle n}$ a un espacio topológico y componiéndolas en sumas formales , llamadas cadenas singulares . La operación de contorno (asignar cada símplex -dimensional a su contorno -dimensional ) induce el complejo de cadena singular . La homología singular es entonces la homología del complejo de cadena. Los grupos de homología resultantes son los mismos para todos los espacios equivalentes de homotopía , que es la razón de su estudio. Estas construcciones se pueden aplicar a todos los espacios topológicos, y por lo tanto la homología singular se puede expresar como un funtor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos abelianos graduados .${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

Un n -símplex singular en un espacio topológico X es una función continua (también llamada mapa) del n - símplex estándar a X , escrito Este mapa no necesita ser inyectivo , y puede haber símplex singulares no equivalentes con la misma imagen en X .${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\to X.}$

El límite de denotado como se define como la suma formal de los ( n  − 1)-símplices singulares representados por la restricción de a las caras del n -símplice estándar, con un signo alterno para tener en cuenta la orientación. (Una suma formal es un elemento del grupo abeliano libre sobre los símplices. La base para el grupo es el conjunto infinito de todos los símplices singulares posibles. La operación de grupo es "suma" y la suma del símplice a con el símplice b se designa simplemente a  +  b , pero a  +  a  = 2 a y así sucesivamente. Todo símplice a tiene un − a negativo ). Por lo tanto, si designamos por sus vértices${\displaystyle \sigma ,}$${\displaystyle \partial _{n}\sigma ,}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle [p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=[\sigma (e_{0}),\sigma (e_{1}),\ldots ,\sigma (e_{n})]}$

correspondiente a los vértices del n -símplex estándar (que por supuesto no especifica completamente el símplex singular producido por ), entonces${\displaystyle e_{k}}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \partial _{n}\sigma =\partial _{n}[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma \mid _{e_{0},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}}}$

es una suma formal de las caras de la imagen simplex designada de una manera específica. ^[1] (Es decir, una cara particular tiene que ser la restricción de a una cara de la cual depende del orden en que se enumeran sus vértices). Así, por ejemplo, el límite de (una curva que va de a ) es la suma formal (o "diferencia formal") .${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \sigma =[p_{0},p_{1}]}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle [p_{1}]-[p_{0}]}$

La construcción habitual de la homología singular se realiza definiendo sumas formales de símplices, que pueden entenderse como elementos de un grupo abeliano libre , y luego demostrando que podemos definir un cierto grupo, el grupo de homología del espacio topológico, que involucra al operador de frontera.

Consideremos primero el conjunto de todos los n -símplices singulares posibles en un espacio topológico X . Este conjunto puede usarse como base de un grupo abeliano libre , de modo que cada n -símplice singular sea un generador del grupo. Este conjunto de generadores es, por supuesto, generalmente infinito, con frecuencia incontable , ya que hay muchas formas de mapear un símplice en un espacio topológico típico. El grupo abeliano libre generado por esta base se denota comúnmente como . Los elementos de se llaman n -cadenas singulares ; son sumas formales de símplices singulares con coeficientes enteros.${\displaystyle \sigma _{n}(X)}$${\displaystyle C_{n}(X)}$${\displaystyle C_{n}(X)}$

El límite se extiende fácilmente para actuar sobre cadenas n singulares . La extensión, llamada operador de límite , se escribe como${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

es un homomorfismo de grupos. El operador de frontera, junto con , forma un complejo en cadena de grupos abelianos, llamado complejo singular . A menudo se denota como o más simplemente .${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$

El núcleo del operador de frontera es , y se denomina grupo de n -ciclos singulares . La imagen del operador de frontera es , y se denomina grupo de n -fronteras singulares .${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$${\displaystyle B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1})}$

También se puede demostrar que , lo que implica . El -ésimo grupo de homología de se define entonces como el grupo factorial${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$${\displaystyle B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).}$

Los elementos de se denominan clases de homología . ^[2]${\displaystyle H_{n}(X)}$

Si X e Y son dos espacios topológicos con el mismo tipo de homotopía (es decir, son homotópicamente equivalentes ), entonces

${\displaystyle H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)\,}$

para todos los n ≥ 0. Esto significa que los grupos de homología son invariantes de homotopía y, por lo tanto, invariantes topológicos .

En particular, si X es un espacio contráctil conexo , entonces todos sus grupos de homología son 0, excepto .${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$

Una prueba de la invariancia de homotopía de grupos de homología singulares se puede esbozar de la siguiente manera. Una función continua f : X → Y induce un homomorfismo

${\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).}$

Se puede verificar inmediatamente que

${\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,}$

es decir f _# es un mapa de cadena , que desciende a homomorfismos en homología

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).}$

Ahora demostramos que si f y g son homotópicamente equivalentes, entonces f _* = g _* . De esto se deduce que si f es una equivalencia de homotopía, entonces f _* es un isomorfismo.

Sea F  : X × [0, 1] → Y una homotopía que lleva f a g . En el nivel de cadenas, defina un homomorfismo

${\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)}$

que, geométricamente hablando, toma un elemento base σ: Δ ⁿ → X de C _n ( X ) al "prisma" P (σ): Δ ⁿ × I → Y . El límite de P (σ) se puede expresar como

${\displaystyle \partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )-P(\partial \sigma ).}$

Entonces, si α en C _n ( X ) es un n -ciclo, entonces f _# ( α ) y g _# ( α ) difieren en un límite:

${\displaystyle f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),}$

Es decir, son homólogos. Esto prueba la afirmación. ^[3]

La siguiente tabla muestra los k-ésimos grupos de homología de espacios proyectivos reales n-dimensionales RP ⁿ , espacios proyectivos complejos, CP ⁿ , un punto, esferas S ⁿ ( ) y un 3-toro T ³ con coeficientes enteros.${\displaystyle H_{k}(X)}$${\displaystyle n\geq 1}$

Espacio	Tipo de homotopía
RP n [4]	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0 y k = n impar
	${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$	k impar, 0 < k < n
	0	de lo contrario
CP n [5]	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0,2,4,...,2n
	0	de lo contrario
punto [6]	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0
	0	de lo contrario
S n	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0,n
	0	de lo contrario
T3 [7 ]	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0,3
	${\displaystyle \mathbf {Z} }$3	k = 1,2
	0	de lo contrario

La construcción anterior se puede definir para cualquier espacio topológico y se conserva mediante la acción de las funciones continuas. Esta generalidad implica que la teoría de homología singular se puede reformular en el lenguaje de la teoría de categorías . En particular, el grupo de homología se puede entender como un funtor de la categoría de espacios topológicos Top a la categoría de grupos abelianos Ab .

Consideremos primero que es una función de espacios topológicos a grupos abelianos libres. Esto sugiere que podría tomarse como un funtor, siempre que se pueda entender su acción sobre los morfismos de Top . Ahora bien, los morfismos de Top son funciones continuas, por lo que si es una función continua de espacios topológicos, puede extenderse a un homomorfismo de grupos${\displaystyle X\mapsto C_{n}(X)}$${\displaystyle C_{n}(X)}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f_{*}:C_{n}(X)\to C_{n}(Y)\,}$

por definir

${\displaystyle f_{*}\left(\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}a_{i}(f\circ \sigma _{i})}$

donde es un símplex singular, y es una cadena n singular , es decir, un elemento de . Esto demuestra que es un funtor${\displaystyle \sigma _{i}:\Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\,}$${\displaystyle C_{n}(X)}$${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle C_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos abelianos .

El operador de límite conmuta con mapas continuos, de modo que . Esto permite que todo el complejo de cadena se trate como un funtor. En particular, esto muestra que el mapa es un funtor${\displaystyle \partial _{n}f_{*}=f_{*}\partial _{n}}$${\displaystyle X\mapsto H_{n}(X)}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

De la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos abelianos. Por el axioma de homotopía, se tiene que también hay un funtor, llamado funtor de homología, que actúa sobre hTop , la categoría de homotopía del cociente :${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Ab} .}$

Esto distingue a la homología singular de otras teorías de homología, en las que sigue siendo un funtor, pero no está necesariamente definido en todos los Top . En cierto sentido, la homología singular es la teoría de homología "más grande", en el sentido de que cada teoría de homología en una subcategoría de Top concuerda con la homología singular en esa subcategoría. Por otro lado, la homología singular no tiene las propiedades categóricas más limpias; tal limpieza motiva el desarrollo de otras teorías de homología como la homología celular .${\displaystyle H_{n}}$

De manera más general, el funtor de homología se define axiomáticamente como un funtor en una categoría abeliana o, alternativamente, como un funtor en complejos de cadena , que satisface axiomas que requieren un morfismo de contorno que convierte secuencias exactas cortas en secuencias exactas largas . En el caso de homología singular, el funtor de homología se puede factorizar en dos partes, una parte topológica y una parte algebraica. La parte topológica está dada por

${\displaystyle C_{\bullet }:\mathbf {Top} \to \mathbf {Comp} }$

que asigna espacios topológicos como y funciones continuas como . Aquí, entonces, se entiende que es el funtor de cadena singular, que asigna espacios topológicos a la categoría de complejos de cadena Comp (o Kom ). La categoría de complejos de cadena tiene complejos de cadena como sus objetos , y mapas de cadena como sus morfismos .${\displaystyle X\mapsto (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$${\displaystyle f\mapsto f_{*}}$${\displaystyle C_{\bullet }}$

La segunda parte algebraica es el functor de homología.

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Comp} \to \mathbf {Ab} }$

¿Qué mapas?

${\displaystyle C_{\bullet }\mapsto H_{n}(C_{\bullet })=Z_{n}(C_{\bullet })/B_{n}(C_{\bullet })}$

y convierte los mapas de cadena en mapas de grupos abelianos. Es este funtor de homología el que puede definirse axiomáticamente, de modo que se sostiene por sí mismo como un funtor en la categoría de complejos de cadena.

Los mapas de homotopía vuelven a aparecer al definir mapas de cadenas homotópicamente equivalentes. Así, se puede definir la categoría de cociente hComp o K , la categoría de homotopía de los complejos de cadena .

Dado cualquier anillo unitario R , el conjunto de n -simples singulares en un espacio topológico puede tomarse como los generadores de un R -módulo libre . Es decir, en lugar de realizar las construcciones anteriores a partir del punto de partida de los grupos abelianos libres, se utilizan R -módulos libres en su lugar. Todas las construcciones se llevan a cabo con poco o ningún cambio. El resultado de esto es

${\displaystyle H_{n}(X;R)\ }$

que ahora es un módulo R. Por supuesto, normalmente no es un módulo libre. El grupo de homología habitual se recupera al observar que

${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )=H_{n}(X)}$

cuando se toma el anillo como el anillo de los números enteros. La notación H _n ( X ; R ) no debe confundirse con la notación casi idéntica H _n ( X , A ), que denota la homología relativa (abajo).

El teorema del coeficiente universal proporciona un mecanismo para calcular la homología con coeficientes R en términos de homología con coeficientes enteros habituales utilizando la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R\to H_{n}(X;R)\to \mathrm {Tor} _{1}(H_{n-1}(X;\mathbb {Z} ),R)\to 0.}$

donde Tor es el funtor Tor . ^[8] Cabe destacar que, si R no tiene torsión, entonces para cualquier G , por lo que la secuencia exacta corta anterior se reduce a un isomorfismo entre y${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}(G,R)=0}$${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R}$${\displaystyle H_{n}(X;R).}$

Para un subespacio , se entiende que la homología relativa H _n ( X , A ) es la homología del cociente de los complejos de cadena, es decir,${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle H_{n}(X,A)=H_{n}(C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A))}$

donde el cociente de complejos de cadena viene dado por la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0.}$^[9]

La homología reducida de un espacio X , anotada como, es una modificación menor de la homología habitual que simplifica las expresiones de algunas relaciones y cumple la intuición de que todos los grupos de homología de un punto deben ser cero.${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)}$

Para la homología habitual definida en un complejo de cadena:

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

Para definir la homología reducida, aumentamos el complejo de cadena con un entre y cero adicional:${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

donde . Esto se puede justificar interpretando el conjunto vacío como "(-1)-símplex", lo que significa que . ${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$${\displaystyle C_{-1}\simeq \mathbb {Z} }$

Los grupos de homología reducidos ahora se definen para n positivo y . ^[10]${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$

Para n > 0, , mientras que para n = 0,${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} .}$

Al dualizar el complejo de cadena de homología (es decir, aplicando el funtor Hom(-, R ), siendo R un anillo cualquiera), obtenemos un complejo de cocadena con mapa de colímites . Los grupos de cohomología de X se definen como los grupos de homología de este complejo; en un chiste, "la cohomología es la homología del co [el complejo dual]".${\displaystyle \delta }$

Los grupos de cohomología tienen una estructura algebraica más rica, o al menos más familiar, que los grupos de homología. En primer lugar, forman un álgebra diferencial graduada como sigue:

• el conjunto graduado de grupos forma un módulo R graduado ;
• A esto se le puede dar la estructura de un R - álgebra graduada utilizando el producto de copa ;
• El homomorfismo de Bockstein β da un diferencial.

Hay operaciones de cohomología adicionales , y el álgebra de cohomología tiene una estructura de adición mod p (como antes, la cohomología mod p es la cohomología del complejo de cocadena mod p , no la reducción mod p de la cohomología), en particular la estructura del álgebra de Steenrod .

Dado que el número de teorías de homología se ha vuelto grande (ver Categoría:Teoría de homología ), los términos homología de Betti y cohomología de Betti se aplican a veces (particularmente por autores que escriben sobre geometría algebraica ) a la teoría singular, como la que da lugar a los números de Betti de los espacios más familiares, como los complejos simpliciales y las variedades cerradas .

Si se define una teoría de homología axiomáticamente (a través de los axiomas de Eilenberg-Steenrod ) y luego se relaja uno de los axiomas (el axioma de dimensión ), se obtiene una teoría generalizada, llamada teoría de homología extraordinaria . Estas surgieron originalmente en forma de teorías de cohomología extraordinarias , a saber, la teoría K y la teoría del cobordismo . En este contexto, la homología singular se conoce como homología ordinaria.

• Categoría derivada
• Teorema de escisión
• Teorema de Hurewicz
• Homología simplicial
• Homología celular

• Allen Hatcher, Topología algebraica. Cambridge University Press, ISBN  0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0 
• JP May, Un curso conciso sobre topología algebraica , Chicago University Press ISBN 0-226-51183-9 
• Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1