Espectro de anillo altamente estructurado

En matemáticas, un espectro de anillos altamente estructurado o -ring es un objeto de la teoría de homotopía que codifica un refinamiento de una estructura multiplicativa en una teoría de cohomología . Una versión conmutativa de un -ring se llama -ring. Si bien originalmente estaban motivados por cuestiones de topología geométrica y teoría de haces , hoy en día se usan con mayor frecuencia en la teoría de homotopía estable .${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle E_{\infty}}$

Los espectros de anillos altamente estructurados tienen mejores propiedades formales que las teorías de cohomología multiplicativa , un punto utilizado, por ejemplo, en la construcción de formas modulares topológicas , y que ha permitido también nuevas construcciones de objetos más clásicos como la teoría K de Morava . Además de sus propiedades formales, las -estructuras también son importantes en los cálculos, ya que permiten operaciones en la teoría de cohomología subyacente, análogas a (y generalizando) las conocidas operaciones de Steenrod en la cohomología ordinaria. Como no todas las teorías de cohomología permiten tales operaciones, no todas las estructuras multiplicativas pueden refinarse a una -estructura e incluso en los casos en que esto es posible, puede ser una tarea formidable probarlo.${\displaystyle E_{\infty}}$${\displaystyle E_{\infty}}$

La idea general de los espectros de anillos altamente estructurados es la siguiente: si la multiplicación en una teoría de cohomología (análoga a la multiplicación en cohomología singular, que induce el producto de copa ) cumple la asociatividad (y la conmutatividad) solo hasta la homotopía, esto es demasiado laxo para muchas construcciones (por ejemplo, para límites y colímites en el sentido de la teoría de categorías). Por otro lado, requerir asociatividad (o conmutatividad) estricta de una manera ingenua es demasiado restrictivo para muchos de los ejemplos deseados. Una idea básica es que las relaciones solo necesitan cumplir hasta la homotopía, pero estas homotopías deberían cumplir nuevamente algunas relaciones de homotopía, cuyas homotopías nuevamente cumplen algunas condiciones de homotopía adicionales; y así sucesivamente. El enfoque clásico organiza esta estructura a través de operadas , mientras que el enfoque reciente de Jacob Lurie la trata utilizando -operadas en -categorías. Los enfoques más utilizados hoy en día emplean el lenguaje de categorías modelo . ^{[ cita requerida ]}${\estilo de visualización\infty}$${\estilo de visualización\infty}$

Todos estos enfoques dependen de la construcción cuidadosa de una categoría subyacente de espectros .

La teoría de operadas está motivada por el estudio de los espacios de bucles . Un espacio de bucles ΩX tiene una multiplicación

${\displaystyle \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}$

por composición de bucles. Aquí los dos bucles se aceleran por un factor de 2 y el primero toma el intervalo [0,1/2] y el segundo [1/2,1]. Este producto no es asociativo ya que los escalamientos no son compatibles, pero es asociativo hasta la homotopía y las homotopías son coherentes hasta homotopías superiores y así sucesivamente. Esta situación se puede precisar diciendo que ΩX es un álgebra sobre el pequeño intervalo operado . Este es un ejemplo de un -operado, es decir, un operado de espacios topológicos que es homotópicamente equivalente al operado asociativo pero que tiene la "libertad" apropiada para permitir que las cosas solo se mantengan hasta la homotopía (sucinto: cualquier reemplazo cofibrante del operado asociativo). Un espectro de -ring ahora se puede imaginar como un álgebra sobre un -operado en una categoría adecuada de espectros y condiciones de compatibilidad adecuadas (véase May, 1977).${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle A_{\infty}}$

Para la definición de espectros de anillos - funciona esencialmente el mismo enfoque, donde se reemplaza el -operado por un -operado, es decir, un operado de espacios topológicos contráctiles con condiciones de "libertad" análogas. Un ejemplo de tal operado puede ser motivado nuevamente por el estudio de espacios de bucles. El producto del espacio de bucles dobles ya es conmutativo hasta la homotopía, pero esta homotopía no cumple condiciones superiores. Para obtener la coherencia completa de homotopías superiores uno debe asumir que el espacio es (equivalente a) un espacio de bucles de n -fold para todo  n . Esto conduce al operado en -cubo de cubos de dimensión infinita en un espacio de dimensión infinita, que es un ejemplo de un -operado.${\displaystyle E_{\infty}}$${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle E_{\infty}}$$Estilo de visualización: Omega ^{2}X$${\estilo de visualización\infty}$${\displaystyle E_{\infty}}$

El enfoque anterior fue iniciado por J. Peter May . Junto con Elmendorf, Kriz y Mandell, desarrolló en los años 90 una variante de su antigua definición de espectros, los llamados S-módulos (ver Elmendorf et al., 2007). Los S-módulos poseen una estructura de modelo , cuya categoría de homotopía es la categoría de homotopía estable . En los S-módulos, la categoría de módulos sobre un -operado y la categoría de monoides son equivalentes de Quillen y, del mismo modo, la categoría de módulos sobre un -operado y la categoría de monoides conmutativos. Por lo tanto, es posible definir espectros de -anillos y espectros de -anillos como monoides (conmutativos) en la categoría de S-módulos, las llamadas S-álgebras (conmutativas) . Dado que los monoides (conmutativos) son más fáciles de tratar que las álgebras sobre operados complicados, este nuevo enfoque es para muchos propósitos más conveniente. Sin embargo, debe notarse que la construcción real de la categoría de S-módulos es técnicamente bastante complicada.${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle E_{\infty}}$${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle E_{\infty}}$

Otro enfoque para el objetivo de ver los espectros de anillos altamente estructurados como monoides en una categoría adecuada de espectros son las categorías de espectros de diagrama. Probablemente la más famosa de ellas sea la categoría de espectros simétricos, iniciada por Jeff Smith. Su idea básica es la siguiente:

En el sentido más ingenuo, un espectro es una secuencia de espacios (apuntados) junto con mapas , donde ΣX denota la suspensión . Otro punto de vista es el siguiente: se considera la categoría de secuencias de espacios junto con la estructura monoidal dada por un producto de choque . Entonces la secuencia de esferas tiene la estructura de un monoide y los espectros son simplemente módulos sobre este monoide. Si este monoide fuera conmutativo, entonces surgiría una estructura monoidal sobre la categoría de módulos sobre él (como en álgebra los módulos sobre un anillo conmutativo tienen un producto tensorial). Pero la estructura monoide de la secuencia de esferas no es conmutativa debido a diferentes ordenaciones de las coordenadas.${\displaystyle (X_{0},X_{1},\puntos )}$${\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}$${\displaystyle (S^{0},S^{1},\puntos )}$

La idea ahora es que uno puede construir los cambios de coordenadas en la definición de una secuencia: una secuencia simétrica es una secuencia de espacios junto con una acción del n - ésimo grupo simétrico sobre . Si uno equipa esto con un producto monoidal adecuado, uno obtiene que la secuencia de esferas es un monoide conmutativo . Ahora los espectros simétricos son módulos sobre la secuencia de esferas, es decir, una secuencia de espacios junto con una acción del n - ésimo grupo simétrico sobre y mapas que satisfacen condiciones de equivariancia adecuadas. La categoría de espectros simétricos tiene un producto monoidal denotado por . Un espectro de anillo altamente estructurado (conmutativo) ahora se define como un monoide (conmutativo) en espectros simétricos, llamado espectro de anillo simétrico (conmutativo) . Esto se reduce a dar mapas${\displaystyle (X_{0},X_{1},\puntos )}$$Estilo de visualización X_{n}}$${\displaystyle (X_{0},X_{1},\puntos )}$$Estilo de visualización X_{n}}$${\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}$${\displaystyle \cuña}$

${\displaystyle X_{n}\cuña X_{m}\a X_{n+m},}$

que satisfacen condiciones adecuadas de equivariancia, unitaria y asociatividad (y conmutatividad) (véase Schwede 2007).

Existen varias estructuras modelo sobre espectros simétricos que tienen como homotopía la categoría de homotopía estable. También aquí es cierto que la categoría de módulos sobre un -operado y la categoría de monoides son equivalentes de Quillen , y lo mismo ocurre con la categoría de módulos sobre un -operado y la categoría de monoides conmutativos.${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle E_{\infty}}$

Una variante de los espectros simétricos son los espectros ortogonales , en los que se sustituye el grupo simétrico por el grupo ortogonal (véase Mandell et al., 2001). Tienen la ventaja de que los grupos de homotopía definidos ingenuamente coinciden con los de la categoría de homotopía estable, lo que no es el caso de los espectros simétricos. (Es decir, el espectro de esferas ahora es cofibrante). Por otro lado, los espectros simétricos tienen la ventaja de que también se pueden definir para conjuntos simpliciales . Los espectros simétricos y ortogonales son posiblemente las formas más simples de construir una categoría monoidal simétrica sensata de espectros.

Las categorías de infinito son una variante de las categorías clásicas donde la composición de morfismos no está definida de forma única, sino solo hasta la elección contráctil. En general, no tiene sentido decir que un diagrama conmuta estrictamente en una categoría de infinito, sino solo que conmuta hasta la homotopía coherente. Se puede definir una categoría de infinito de espectros (como lo hizo Lurie ). También se pueden definir versiones de infinito de monoides (conmutativos) y luego definir espectros de -anillos como monoides en espectros y espectros de -anillos como monoides conmutativos en espectros. Esto se desarrolla en el libro de Lurie Higher Algebra .${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle E_{\infty}}$

Las categorías de los S-módulos, espectros simétricos y ortogonales y sus categorías de monoides (conmutativos) admiten comparaciones a través de equivalencias de Quillen debido al trabajo de varios matemáticos (incluido Schwede). A pesar de esto, la categoría modelo de los S-módulos y la categoría modelo de los espectros simétricos tienen un comportamiento bastante diferente: en los S-módulos cada objeto es fibrante (lo que no es cierto en los espectros simétricos), mientras que en los espectros simétricos el espectro esférico es cofibrante (lo que no es cierto en los S-módulos). Por un teorema de Lewis, no es posible construir una categoría de espectros que tenga todas las propiedades deseadas. Una comparación del enfoque de la categoría infinita para los espectros con el enfoque de la categoría modelo más clásica de los espectros simétricos se puede encontrar en Lurie's Higher Algebra 4.4.4.9. ^{[ dudoso – discutir ]}

Es más fácil escribir ejemplos concretos de espectros de anillos en espectros simétricos/ortogonales. El ejemplo más fundamental es el espectro de esferas con la función de multiplicación (canónica) . Tampoco es difícil escribir funciones de multiplicación para espectros de Eilenberg-MacLane (que representan la cohomología ordinaria ) y ciertos espectros de Thom (que representan teorías de bordismo ). La teoría K topológica (real o compleja) también es un ejemplo, pero es más difícil de obtener: en espectros simétricos se utiliza una interpretación de la teoría K mediante el álgebra C* , en el enfoque operado se utiliza una máquina de teoría de espacio de bucle infinito multiplicativo .${\displaystyle E_{\infty}}$${\displaystyle S^{n}\cuña S^{m}\a S^{n+m}}$

Un enfoque más reciente para encontrar refinamientos de las teorías de cohomología multiplicativa es la teoría de obstrucción de Goerss-Hopkins. Logró encontrar estructuras de anillo en los espectros de Lubin-Tate y en los espectros elípticos . Mediante un método similar (pero más antiguo), también se pudo demostrar que la K-teoría de Morava y también otras variantes de la cohomología de Brown-Peterson poseen una estructura de anillo (véase, por ejemplo, Baker y Jeanneret, 2002). Basterra y Mandell han demostrado que la cohomología de Brown-Peterson tiene incluso una estructura de anillo, donde una estructura se define reemplazando el operado de cubos de dimensión infinita en un espacio de dimensión infinita por cubos de 4 dimensiones en un espacio de 4 dimensiones en la definición de espectros de anillo. Por otro lado, Tyler Lawson ha demostrado que la cohomología de Brown-Peterson no tiene una estructura.${\displaystyle E_{\infty}}$${\displaystyle E_{\infty}}$${\displaystyle A_{\infty}}$$Estilo de visualización E_{4}$$Estilo de visualización E_{4}$${\displaystyle E_{\infty}}$${\displaystyle E_{\infty}}$

Los espectros de anillos altamente estructurados permiten muchas construcciones.

• Forman una categoría modelo y, por lo tanto, existen límites (de homotopía) y colímites.
• Los módulos sobre un espectro de anillo altamente estructurado forman una categoría de modelo estable . En particular, su categoría de homotopía está triangulada . Si el espectro de anillo tiene una estructura , la categoría de módulos tiene un producto de choque monoidal ; si es al menos , entonces tiene un producto (de choque) monoidal simétrico.$Estilo de visualización E_{2}$$Estilo de visualización E_{4}$
• Se pueden formar espectros de anillos de grupo.
• Se puede definir la teoría K algebraica , la homología de Hochschild topológica , etc., de un espectro de anillo altamente estructurado.
• Se puede definir el espacio de unidades, lo cual es crucial para algunas cuestiones de orientabilidad de los paquetes.

• Espectro de anillo conmutativo
• En-ring

• Elmendorf, AD; Kriz, I.; Mandell, MA; May, JP (2007). Anillos, módulos y álgebras en la teoría de homotopía estable . AMS. ISBN 978-0-8218-4303-1.
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