Geometría afín

Geometría
Projecting a sphere to a plane
Outline History (Timeline)
Branches Euclidean Non-Euclidean Elliptic Spherical Hyperbolic Non-Archimedean geometry Projective Affine Synthetic Analytic Algebraic Arithmetic Diophantine Differential Riemannian Symplectic Discrete differential Complex Finite Discrete/Combinatorial Digital Convex Computational Fractal Incidence Noncommutative geometry Noncommutative algebraic geometry
Concepts Features Dimension Straightedge and compass constructions Angle Curve Diagonal Orthogonality (Perpendicular) Parallel Vertex Congruence Similarity Symmetry
Zero-dimensional Point
One-dimensional Line segment ray Length
Two-dimensional Plane Area Polygon Triangle Altitude Hypotenuse Pythagorean theorem Parallelogram Square Rectangle Rhombus Rhomboid Quadrilateral Trapezoid Kite Circle Diameter Circumference Area
Three-dimensional Volume Cube cuboid Cylinder Dodecahedron Icosahedron Octahedron Pyramid Platonic Solid Sphere Tetrahedron
Four- / other-dimensional Tesseract Hypersphere
Geometers
by name Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang List of geometers
by period BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Present day Atiyah Gromov
v t e

En matemáticas , la geometría afín es lo que queda de la geometría euclidiana al ignorar (los matemáticos suelen decir "olvidar" ^{[1] [2]} ) las nociones métricas de distancia y ángulo .

Como la noción de líneas paralelas es una de las principales propiedades que es independiente de cualquier métrica, la geometría afín se considera a menudo como el estudio de las líneas paralelas. Por lo tanto, el axioma de Playfair (Dada una línea L y un punto P que no está en L , hay exactamente una línea paralela a L que pasa por P ) es fundamental en la geometría afín. Las comparaciones de figuras en geometría afín se realizan con transformaciones afines , que son aplicaciones que preservan la alineación de los puntos y el paralelismo de las líneas.

La geometría afín se puede desarrollar de dos maneras que son esencialmente equivalentes. ^[3]

En geometría sintética , un espacio afín es un conjunto de puntos al que está asociado un conjunto de líneas, que satisfacen algunos axiomas (como el axioma de Playfair).

La geometría afín también puede desarrollarse a partir del álgebra lineal . En este contexto, un espacio afín es un conjunto de puntos dotados de un conjunto de transformaciones (es decir, aplicaciones biyectivas ), las traslaciones , que forman un espacio vectorial (sobre un cuerpo dado , comúnmente los números reales ), y tal que para cualquier par ordenado de puntos existe una única traslación que envía el primer punto al segundo; la composición de dos traslaciones es su suma en el espacio vectorial de las traslaciones.

En términos más concretos, esto equivale a tener una operación que asocia a cualquier par ordenado de puntos un vector y otra operación que permite la traslación de un punto por un vector para dar otro punto; estas operaciones son necesarias para satisfacer una serie de axiomas (en particular, que dos traslaciones sucesivas tienen el efecto de traslación por el vector suma). Al elegir cualquier punto como " origen ", los puntos están en correspondencia uno a uno con los vectores, pero no hay una elección preferida para el origen; por lo tanto, un espacio afín puede verse como obtenido a partir de su espacio vectorial asociado "olvidando" el origen (vector cero).

La idea de olvidar la métrica se puede aplicar en la teoría de variedades , como se desarrolla en el artículo sobre la conexión afín .

En 1748, Leonhard Euler introdujo el término afín ^{[4] [5]} (del latín affinis  'relativo') en su libro Introductio in analysin infinitorum (volumen 2, capítulo XVIII). En 1827, August Möbius escribió sobre geometría afín en su Der barycentrische Calcul (capítulo 3).

Después del programa de Erlangen de Felix Klein , la geometría afín fue reconocida como una generalización de la geometría euclidiana . ^[6]

En 1918, Hermann Weyl hizo referencia a la geometría afín en su texto Espacio, tiempo y materia . Utilizó la geometría afín para introducir la suma y la resta de vectores ^[7] en las primeras etapas de su desarrollo de la física matemática . Más tarde, ET Whittaker escribió: ^[8]

La geometría de Weyl es interesante históricamente por haber sido la primera de las geometrías afines que se desarrolló en detalle: se basa en un tipo especial de transporte paralelo [...utilizando] líneas de universo de señales luminosas en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Un elemento corto de una de estas líneas de universo puede llamarse un vector nulo ; entonces el transporte paralelo en cuestión es tal que lleva cualquier vector nulo en un punto a la posición de un vector nulo en un punto vecino.

Se han propuesto varios enfoques axiomáticos para la geometría afín:

Como la geometría afín se ocupa de líneas paralelas, se ha tomado como premisa una de las propiedades de las paralelas señaladas por Pappus de Alejandría : ^{[9] [10]}

• Supóngase que A, B, C están en una línea y A', B', C' en otra. Si las líneas AB' y A'B son paralelas y las líneas BC' y B'C son paralelas, entonces las líneas CA' y C'A son paralelas. (Esta es la versión afín del teorema del hexágono de Pappus ).

El sistema de axiomas completo propuesto tiene como nociones primitivas punto , línea y línea que contiene punto :

• Dos puntos están contenidos en una sola línea.
• Para cualquier recta L y cualquier punto P , que no esté en L , existe una sola recta que contiene a P y no contiene ningún punto de L . Se dice que esta recta es paralela a L .
• Cada línea contiene al menos dos puntos.
• Hay al menos tres puntos que no pertenecen a una línea.

Según HSM Coxeter :

El interés de estos cinco axiomas se ve reforzado por el hecho de que pueden desarrollarse en un vasto cuerpo de proposiciones, válidas no sólo para la geometría euclidiana , sino también para la geometría de tiempo y espacio de Minkowski (en el caso simple de 1 + 1 dimensiones, mientras que la teoría especial de la relatividad necesita 1 + 3). La extensión a la geometría euclidiana o a la de Minkowski se logra añadiendo varios axiomas adicionales de ortogonalidad, etc. ^[11]

Los distintos tipos de geometría afín corresponden a la interpretación que se da a la rotación . La geometría euclidiana corresponde a la idea ordinaria de rotación , mientras que la geometría de Minkowski corresponde a la rotación hiperbólica . Respecto a las rectas perpendiculares , éstas permanecen perpendiculares cuando el plano se somete a rotación ordinaria. En la geometría de Minkowski, las rectas que son hiperbólicas-ortogonales permanecen en esa relación cuando el plano se somete a rotación hiperbólica.

Se puede construir un tratamiento axiomático de la geometría afín plana a partir de los axiomas de la geometría ordenada mediante la adición de dos axiomas adicionales: ^[12]

1. ( Axioma afín del paralelismo ) Dado un punto A y una recta r que no pasa por A , hay como máximo una recta que pasa por A que no corta a r .
2. ( Desargues ) Dados siete puntos distintos A, A', B, B', C, C', O , tales que AA', BB', CC' son líneas distintas que pasan por O , y AB es paralela a A'B' , y BC es paralela a B'C' , entonces AC es paralela a A'C' .

El concepto afín de paralelismo forma una relación de equivalencia en las líneas. Dado que los axiomas de la geometría ordenada tal como se presentan aquí incluyen propiedades que implican la estructura de los números reales, esas propiedades se trasladan aquí de modo que se trata de una axiomatización de la geometría afín sobre el campo de los números reales.

El primer plano no desarguesiano fue descrito por David Hilbert en su libro Fundamentos de geometría . ^[13] El plano de Moulton es una ilustración estándar. Para proporcionar un contexto para dicha geometría, así como para aquellas en las que el teorema de Desargues es válido, Marshall Hall desarrolló el concepto de anillo ternario .

En este enfoque, los planos afines se construyen a partir de pares ordenados tomados de un anillo ternario. Se dice que un plano tiene la "propiedad de Desargues afín menor" cuando dos triángulos en perspectiva paralela, que tienen dos lados paralelos, también deben tener los terceros lados paralelos. Si esta propiedad se cumple en el plano afín definido por un anillo ternario, entonces existe una relación de equivalencia entre "vectores" definidos por pares de puntos del plano. ^[14] Además, los vectores forman un grupo abeliano bajo adición ; el anillo ternario es lineal y satisface la distributividad recta :

${\displaystyle (a+b)c=ac+bc.}$

Geométricamente, las transformaciones afines (afinidades) preservan la colinealidad : transforman líneas paralelas en líneas paralelas y preservan las relaciones de distancias a lo largo de las líneas paralelas.

Identificamos como teoremas afines cualquier resultado geométrico que sea invariante bajo el grupo afín (en el programa Erlangen de Felix Klein este es su grupo subyacente de transformaciones de simetría para geometría afín). Consideremos en un espacio vectorial V , el grupo lineal general GL( V ) . No es todo el grupo afín porque debemos permitir también traslaciones por vectores v en V . (Tal traslación asigna cualquier w en V a w + v .) El grupo afín es generado por el grupo lineal general y las traslaciones y es de hecho su producto semidirecto (Aquí pensamos en V como un grupo bajo su operación de adición, y usamos la representación definitoria de GL( V ) en V para definir el producto semidirecto.) ${\displaystyle V\rtimes \mathrm {GL} (V).}$

Por ejemplo, el teorema de la geometría plana de triángulos sobre la concurrencia de las líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto (en el baricentro o centroide ) depende de las nociones de punto medio y baricentro como invariantes afines. Otros ejemplos incluyen los teoremas de Ceva y Menelao .

Los invariantes afines también pueden ayudar en los cálculos. Por ejemplo, las líneas que dividen el área de un triángulo en dos mitades iguales forman una envoltura dentro del triángulo. La relación entre el área de la envoltura y el área del triángulo es invariante afín, por lo que solo es necesario calcularla a partir de un caso simple, como un triángulo rectángulo isósceles unitario, para obtener , por ejemplo, 0,019860... o menos del 2 %, para todos los triángulos.${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$

Fórmulas conocidas como la mitad de la base por la altura para el área de un triángulo o un tercio de la base por la altura para el volumen de una pirámide son igualmente invariantes afines. Si bien la última es menos obvia que la primera para el caso general, se ve fácilmente para la sexta parte del cubo unitario formado por una cara (área 1) y el punto medio del cubo (altura 1/2). Por lo tanto, es válida para todas las pirámides, incluso las inclinadas cuyo vértice no está directamente sobre el centro de la base, y aquellas cuya base es un paralelogramo en lugar de un cuadrado. La fórmula se generaliza aún más para las pirámides cuya base se puede diseccionar en paralelogramos, incluidos los conos, al permitir una cantidad infinita de paralelogramos (con la debida atención a la convergencia). El mismo enfoque muestra que una pirámide de cuatro dimensiones tiene un hipervolumen de 4D una cuarta parte del volumen 3D de su base paralelepípeda por la altura , y así sucesivamente para dimensiones superiores.

En cinemática se utilizan dos tipos de transformación afín , tanto clásica como moderna. La velocidad v se describe utilizando longitud y dirección, donde se presume que la longitud no tiene límites. Esta variedad de cinemática, denominada galileana o newtoniana, utiliza coordenadas de espacio y tiempo absolutos . La proyección de corte de un plano con un eje para cada uno representa el cambio de coordenadas para un observador que se mueve con velocidad v en un marco de referencia en reposo . ^[15]

La velocidad finita de la luz , observada por primera vez por el retraso en la aparición de las lunas de Júpiter , requiere una cinemática moderna. El método implica rapidez en lugar de velocidad, y sustituye el mapeo de compresión por el mapeo de cizallamiento utilizado anteriormente. Esta geometría afín se desarrolló sintéticamente en 1912. ^{[16] [17]} para expresar la teoría especial de la relatividad . En 1984, "el plano afín asociado al espacio vectorial lorentziano L ² " fue descrito por Graciela Birman y Katsumi Nomizu en un artículo titulado "Trigonometría en la geometría lorentziana". ^[18]

La geometría afín puede ser vista como la geometría de un espacio afín de una dimensión dada n , coordinado sobre un cuerpo K . También existe (en dos dimensiones) una generalización combinatoria del espacio afín coordinado, como se desarrolla en la geometría finita sintética . En geometría proyectiva, espacio afín significa el complemento de un hiperplano en el infinito en un espacio proyectivo . El espacio afín también puede ser visto como un espacio vectorial cuyas operaciones están limitadas a aquellas combinaciones lineales cuyos coeficientes suman uno, por ejemplo 2 x − y , x − y + z , ( x + y + z )/3 , i x + (1 − i ) y , etc.

Sintéticamente, los planos afines son geometrías afines bidimensionales definidas en términos de las relaciones entre puntos y líneas (o a veces, en dimensiones superiores, hiperplanos ). Al definir las geometrías afines (y proyectivas) como configuraciones de puntos y líneas (o hiperplanos) en lugar de usar coordenadas, se obtienen ejemplos sin campos de coordenadas. Una propiedad importante es que todos estos ejemplos tienen dimensión 2. Los ejemplos finitos en dimensión 2 ( planos afines finitos ) han sido valiosos en el estudio de configuraciones en espacios afines infinitos, en teoría de grupos y en combinatoria .

A pesar de ser menos generales que el enfoque configuracional, los otros enfoques analizados han tenido mucho éxito a la hora de iluminar las partes de la geometría que están relacionadas con la simetría .

En la geometría tradicional , la geometría afín se considera un estudio entre la geometría euclidiana y la geometría proyectiva . Por un lado, la geometría afín es la geometría euclidiana sin la congruencia ; por otro lado, la geometría afín puede obtenerse a partir de la geometría proyectiva mediante la designación de una línea o plano particular para representar los puntos en el infinito . ^[19] En la geometría afín, no hay estructura métrica , pero se cumple el postulado de las paralelas . La geometría afín proporciona la base para la estructura euclidiana cuando se definen líneas perpendiculares , o la base para la geometría de Minkowski a través de la noción de ortogonalidad hiperbólica . ^[20] En este punto de vista, una transformación afín es una transformación proyectiva que no permuta puntos finitos con puntos en el infinito, y la geometría de transformación afín es el estudio de las propiedades geométricas a través de la acción del grupo de transformaciones afines.

• Geometría no euclidiana

• Emil Artin (1957) Álgebra geométrica, capítulo 2: "Geometría afín y proyectiva", vía Internet Archive
• VG Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Ideas y métodos de geometría afín y proyectiva (en ruso ), Ministerio de Educación, Moscú.
• MK Bennett (1995) Geometría afín y proyectiva , John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8 . 
• HSM Coxeter (1955) "El plano afín", Scripta Mathematica 21:5–14, una conferencia pronunciada ante el Foro de la Sociedad de Amigos de Scripta Mathematica el lunes 26 de abril de 1954.
• Felix Klein (1939) Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , traducido por ER Hedrick y CA Noble, págs. 70–86, Macmillan Company .
• Bruce E. Meserve (1955) Conceptos fundamentales de geometría , Capítulo 5 Geometría afín, págs. 150–84, Addison-Wesley .
• Peter Scherk y Rolf Lingenberg (1975) Rudimentos de geometría afín plana , Exposiciones matemáticas n.° 20, University of Toronto Press .
• Wanda Szmielew (1984) De la geometría afín a la euclidiana: un enfoque axiomático , D. Reidel , ISBN 90-277-1243-3 . 
• Oswald Veblen (1918) Geometría proyectiva , volumen 2, capítulo 3: Grupo afín en el plano, págs. 70 a 118, Ginn & Company.

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• Geometrías proyectivas y afines de Peter Cameron de la Universidad de Londres .
• Jean H. Gallier (2001). Métodos geométricos y aplicaciones para la ciencia informática y la ingeniería , Capítulo 2: "Conceptos básicos de geometría afín" (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics #38, capítulo en línea de la Universidad de Pensilvania .