Vértice (geometría)

En geometría , un vértice ( pl.: vértices o vértices ) es un punto en el que dos o más curvas , líneas o aristas se encuentran o se intersecan . Como consecuencia de esta definición, el punto en el que dos líneas se encuentran para formar un ángulo y las esquinas de polígonos y poliedros son vértices. ^{[1] [2] [3]}

El vértice de un ángulo es el punto donde dos rayos comienzan o se encuentran, donde dos segmentos de línea se unen o se encuentran, donde dos líneas se intersecan (se cruzan), o cualquier combinación apropiada de rayos, segmentos y líneas que resulten en dos "lados" rectos que se encuentran en un lugar. ^{[3] [4]}

Un vértice es un punto de esquina de un polígono , poliedro u otro politopo de mayor dimensión , formado por la intersección de los bordes , caras o facetas del objeto. ^[4]

En un polígono, un vértice se llama " convexo " si el ángulo interno del polígono (es decir, el ángulo formado por los dos bordes en el vértice con el polígono dentro del ángulo) es menor que π radianes (180°, dos ángulos rectos ); de lo contrario, se llama "cóncavo" o "reflejo". ^[5] De manera más general, un vértice de un poliedro o politopo es convexo, si la intersección del poliedro o politopo con una esfera suficientemente pequeña centrada en el vértice es convexa, y es cóncava en caso contrario.

Los vértices de un politopo están relacionados con los vértices de los grafos , en que el 1-esqueleto de un politopo es un grafo, cuyos vértices corresponden a los vértices del politopo, ^[6] y en que un grafo puede verse como un complejo simplicial unidimensional cuyos vértices son los vértices del grafo.

Sin embargo, en la teoría de grafos , los vértices pueden tener menos de dos aristas incidentes, lo que normalmente no está permitido para los vértices geométricos. También existe una conexión entre los vértices geométricos y los vértices de una curva , sus puntos de curvatura extrema: en cierto sentido, los vértices de un polígono son puntos de curvatura infinita, y si un polígono se aproxima mediante una curva suave, habrá un punto de curvatura extrema cerca de cada vértice del polígono. ^[7]

Un vértice de un mosaico plano o teselación es un punto donde se encuentran tres o más mosaicos; ^[8] generalmente, pero no siempre, los mosaicos de un teselado son polígonos y los vértices del teselado también son vértices de sus mosaicos. De manera más general, un teselado puede verse como una especie de complejo de celdas topológicas , al igual que las caras de un poliedro o politopo; los vértices de otros tipos de complejos, como los complejos simpliciales, son sus caras de dimensión cero.

Un vértice poligonal x _i de un polígono simple P es un vértice poligonal principal si la diagonal [ x _{(i − 1)} , x _{(i + 1)} ] interseca el límite de P solo en x _{(i − 1)} y x _{(i + 1)} . Hay dos tipos de vértices principales: orejas y bocas . ^[9]

Un vértice principal x _i de un polígono simple P se llama oreja si la diagonal [ x _{(i − 1)} , x _{(i + 1)} ] que une x _i se encuentra completamente en P . (ver también polígono convexo ) Según el teorema de las dos orejas , todo polígono simple tiene al menos dos orejas. ^[10]

Un vértice principal x _i de un polígono simple P se llama boca si la diagonal [ x _{(i − 1)} , x _{(i + 1)} ] se encuentra fuera del límite de P .

La superficie de cualquier poliedro convexo tiene característica de Euler.

${\displaystyle V-E+F=2,}$

donde V es el número de vértices, E es el número de aristas y F es el número de caras . Esta ecuación se conoce como fórmula del poliedro de Euler . Por lo tanto, el número de vértices es 2 más que el exceso del número de aristas sobre el número de caras. Por ejemplo, como un cubo tiene 12 aristas y 6 caras, la fórmula implica que tiene ocho vértices.

En gráficos de computadora , los objetos a menudo se representan como poliedros triangulados en los que los vértices del objeto están asociados no solo con tres coordenadas espaciales sino también con otra información gráfica necesaria para representar el objeto correctamente, como colores, propiedades de reflectancia , texturas y normal de la superficie . ^[11] Estas propiedades se utilizan en la representación mediante un sombreador de vértices , parte de la tubería de vértices .

• Disposición de vértices
• Figura de vértice

• Weisstein, Eric W. "Vértice de polígono". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Vértice del poliedro". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Vértice principal". MundoMatemático .