Geometría euclidiana

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
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Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Cero-dimensional Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Longitud
Bidimensional Avión Área Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de Pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapecio Cometa Círculo Diámetro Circunferencia Área
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Dodecaedro Icosaedro Octaedro Pirámide Sólido platónico Esfera Tetraedro
Cuatro - / otras dimensiones Teseracto Hiperesfera
Geometrias
por nombre Aida Ariabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahma-upta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Grómov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Katyayana Khayyám Pequeño Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi Al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui Al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por periodo AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Katyayana Ariabhata Brahma-upta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám Al-Yasamin Al-Tusi Yang Hui Parameshvara Década de 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida Década de 1700 a 1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Pequeño Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter En la actualidad Atiyah Grómov
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La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al matemático griego Euclides , que describió en su libro de texto sobre geometría , Elementos . El enfoque de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas (postulados) intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones ( teoremas ) a partir de estos. Aunque muchos de los resultados de Euclides ya se habían enunciado antes, ^[1] Euclides fue el primero en organizar estas proposiciones en un sistema lógico en el que cada resultado se demuestra a partir de axiomas y teoremas demostrados previamente. ^[2]

Los Elementos comienzan con la geometría plana , que todavía se enseña en la escuela secundaria (preparatoria) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostraciones matemáticas . Continúa con la geometría sólida de tres dimensiones . Gran parte de los Elementos enuncia resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números , explicados en lenguaje geométrico. ^[1]

Durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado de las paralelas ) que los teoremas demostrados a partir de ellos se consideraban absolutamente ciertos, y por lo tanto no eran posibles otros tipos de geometría. Sin embargo, hoy en día se conocen muchas otras geometrías no euclidianas autoconsistentes , las primeras de las cuales se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí no es euclidiano, y el espacio euclidiano es una buena aproximación para él solo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitatorio ). ^[3]

La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría sintética , ya que procede de manera lógica a partir de axiomas que describen propiedades básicas de objetos geométricos, como puntos y líneas, hasta llegar a proposiciones sobre esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica , introducida casi 2000 años después por René Descartes , que utiliza coordenadas para expresar propiedades geométricas mediante fórmulas algebraicas .

Los Elementos son principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Su mejora con respecto a los tratamientos anteriores se reconoció rápidamente, con el resultado de que hubo poco interés en preservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos.

Hay 13 libros en los Elementos :

Los libros I, IV y VI tratan de la geometría plana. Se demuestran muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, "En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos ángulos rectos" (Libro I, proposición 17) y el teorema de Pitágoras "En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto" (Libro I, proposición 47).

Los libros V y VII a X tratan la teoría de números , tratándolos geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones superficiales. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales . Se demuestra que hay infinitos números primos.

Los libros XI a XIII tratan de geometría de cuerpos sólidos . Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos .

La geometría euclidiana es un sistema axiomático en el que todos los teoremas ("enunciados verdaderos") se derivan de un pequeño número de axiomas simples. Hasta la llegada de la geometría no euclidiana , estos axiomas se consideraban obviamente ciertos en el mundo físico, de modo que todos los teoremas serían igualmente ciertos. Sin embargo, el razonamiento de Euclides a partir de supuestos hasta llegar a conclusiones sigue siendo válido independientemente de la realidad física. ^[4]

Cerca del comienzo del primer libro de los Elementos , Euclides da cinco postulados (axiomas) para la geometría plana, enunciados en términos de construcciones (según la traducción de Thomas Heath): ^[5]

Sea postulado lo siguiente:

1. Trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
2. Producir (extender) una línea recta finita de forma continua en una línea recta.
3. Para describir un círculo con cualquier centro y distancia (radio).
4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. [ Postulado de las paralelas ]: Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en el lado en el que los ángulos son menores que dos rectos.

Aunque Euclides sólo afirma explícitamente la existencia de los objetos construidos, en su razonamiento también supone implícitamente que son únicos.

Los Elementos también incluyen las siguientes cinco "nociones comunes":

1. Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí ( propiedad transitiva de una relación euclidiana ).
2. Si se suman números iguales a números iguales, entonces los totales son iguales (Propiedad de la igualdad: adición).
3. Si se restan iguales de iguales, entonces las diferencias son iguales (propiedad de la igualdad mediante la resta).
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí (propiedad reflexiva).
5. El todo es mayor que la parte.

Los estudiosos modernos coinciden en que los postulados de Euclides no proporcionan la base lógica completa que Euclides necesitaba para su presentación. ^[6] Los tratamientos modernos utilizan conjuntos de axiomas más amplios y completos.

Para los antiguos, el postulado de las paralelas parecía menos obvio que los demás. Aspiraban a crear un sistema de proposiciones absolutamente ciertas y, para ellos, parecía como si el postulado de las líneas paralelas requiriera una prueba a partir de enunciados más simples. Ahora se sabe que tal prueba es imposible, ya que se pueden construir sistemas geométricos consistentes (que obedezcan a los otros axiomas) en los que el postulado de las paralelas sea verdadero y otros en los que sea falso. ^[7] El propio Euclides parece haberlo considerado como cualitativamente diferente de los demás, como lo demuestra la organización de los Elementos : sus primeras 28 proposiciones son las que se pueden demostrar sin él.

Se pueden formular muchos axiomas alternativos que sean lógicamente equivalentes al postulado de las paralelas (en el contexto de los otros axiomas). Por ejemplo, el axioma de Playfair establece:

En un plano , a través de un punto que no está en una recta dada, se puede trazar como máximo una recta que nunca corta a la recta dada.

La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede demostrar a partir de los axiomas restantes que existe al menos una línea paralela.

La geometría euclidiana es constructiva . Los postulados 1, 2, 3 y 5 afirman la existencia y unicidad de ciertas figuras geométricas, y estas afirmaciones son de naturaleza constructiva: es decir, no solo se nos dice que ciertas cosas existen, sino que también se nos dan métodos para crearlas con nada más que un compás y una regla sin marcar . ^[8] En este sentido, la geometría euclidiana es más concreta que muchos sistemas axiomáticos modernos como la teoría de conjuntos , que a menudo afirman la existencia de objetos sin decir cómo construirlos, o incluso afirman la existencia de objetos que no se pueden construir dentro de la teoría. ^[9] Estrictamente hablando, las líneas en el papel son modelos de los objetos definidos dentro del sistema formal, en lugar de instancias de esos objetos. Por ejemplo, una línea recta euclidiana no tiene ancho, pero cualquier línea real dibujada lo tendrá. Aunque casi todos los matemáticos modernos consideran que las pruebas no constructivas son tan sólidas como las constructivas, a menudo se las considera menos elegantes , intuitivas o prácticamente útiles. Las pruebas constructivas de Euclides a menudo suplantaron a las falaces pruebas no constructivas, por ejemplo, algunas pruebas pitagóricas que asumían que todos los números eran racionales y que generalmente requerían una declaración como "Encuentra la máxima medida común de ..." ^[10]

Euclides utilizó a menudo la prueba por contradicción . ^{[ cita requerida ]}

Los puntos se nombran habitualmente con letras mayúsculas del alfabeto. Otras figuras, como líneas, triángulos o círculos, se nombran enumerando una cantidad suficiente de puntos para distinguirlos sin ambigüedades de la figura en cuestión; por ejemplo, el triángulo ABC sería típicamente un triángulo con vértices en los puntos A, B y C.

Los ángulos cuya suma es un ángulo recto se denominan complementarios . Los ángulos complementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que está entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto. El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.

Los ángulos cuya suma es un ángulo llano son suplementarios . Los ángulos suplementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que está entre los dos rayos originales que forman el ángulo llano (ángulo de 180 grados). El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.

En la terminología moderna, los ángulos normalmente se medirían en grados o radianes .

Los libros de texto escolares modernos suelen definir figuras separadas llamadas líneas (infinitas), rayos (semi-infinitos) y segmentos de línea (de longitud finita). Euclides, en lugar de hablar de un rayo como un objeto que se extiende hasta el infinito en una dirección, normalmente utilizaba expresiones como "si la línea se extiende hasta una longitud suficiente", aunque ocasionalmente se refería a "líneas infinitas". Para Euclides, una "línea" podía ser recta o curva, y utilizaba el término más específico "línea recta" cuando era necesario.

• 
  El teorema del puente de asnos o pons asinorum establece que en un triángulo isósceles, α = β y γ = δ.
• 
  El teorema de la suma de los ángulos del triángulo establece que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo, en este caso los ángulos α, β y γ, siempre será igual a 180 grados.
• 
  El teorema de Pitágoras establece que la suma de las áreas de los dos cuadrados de los catetos ( a y b ) de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado de la hipotenusa ( c ).
• 
  El teorema de Tales establece que si AC es un diámetro, entonces el ángulo en B es un ángulo recto.

El pons asinorum ( puente de asnos ) establece que en los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí y, si se extienden más líneas rectas iguales, entonces los ángulos bajo la base son iguales entre sí . ^[11] Su nombre puede atribuirse a su frecuente papel como la primera prueba real en los Elementos de la inteligencia del lector y como un puente hacia las proposiciones más difíciles que siguieron. También podría llamarse así debido a la semejanza de la figura geométrica con un puente empinado que solo un burro de paso seguro podría cruzar. ^[12]

Los triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales (LSI), dos lados y el ángulo entre ellos iguales (LSA) o dos ángulos y un lado iguales (ALA) (Libro I, proposiciones 4, 8 y 26). Los triángulos con tres ángulos iguales (AAA) son semejantes, pero no necesariamente congruentes. Asimismo, los triángulos con dos lados iguales y un ángulo adyacente no son necesariamente iguales o congruentes.

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo llano (180 grados). ^[13] Esto hace que un triángulo equilátero tenga tres ángulos interiores de 60 grados. Además, hace que todo triángulo tenga al menos dos ángulos agudos y hasta un ángulo obtuso o recto .

El célebre teorema de Pitágoras (libro I, proposición 47) establece que en cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los dos catetos (los dos lados que se encuentran en un ángulo recto).

El teorema de Tales , llamado así por Tales de Mileto, establece que si A, B y C son puntos de un círculo donde la línea AC es un diámetro del círculo, entonces el ángulo ABC es un ángulo recto. Cantor supuso que Tales demostró su teorema por medio de Euclides, Libro I, Prop. 32, a la manera de Euclides, Libro III, Prop. 31. ^{[14] [15]}

En la terminología moderna, el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales, , y el volumen de un sólido al cubo, . Euclides demostró estos resultados en varios casos especiales, como el área de un círculo ^[16] y el volumen de un sólido paralelepipédico. ^[17] Euclides determinó algunas, pero no todas, las constantes de proporcionalidad relevantes. Por ejemplo, fue su sucesor Arquímedes quien demostró que una esfera tiene 2/3 del volumen del cilindro que la circunscribe. ^[18]${\displaystyle A\propto L^{2}}$${\displaystyle V\propto L^{3}}$

La geometría euclidiana tiene dos tipos fundamentales de medidas: ángulos y distancias . La escala de ángulos es absoluta y Euclides utiliza el ángulo recto como unidad básica, de modo que, por ejemplo, un ángulo de 45 grados se consideraría la mitad de un ángulo recto. La escala de distancias es relativa; se elige arbitrariamente un segmento de línea con una longitud determinada distinta de cero como unidad y las demás distancias se expresan en relación con él. La suma de distancias se representa mediante una construcción en la que un segmento de línea se copia en el extremo de otro segmento de línea para ampliar su longitud, y lo mismo ocurre con la resta.

Las medidas de área y volumen se derivan de las distancias. Por ejemplo, un rectángulo con un ancho de 3 y un largo de 4 tiene un área que representa el producto, 12. Como esta interpretación geométrica de la multiplicación estaba limitada a tres dimensiones, no había una manera directa de interpretar el producto de cuatro o más números, y Euclides evitó tales productos, aunque están implícitos, por ejemplo, en la prueba del libro IX, proposición 20.

Euclides se refiere a un par de líneas, o un par de figuras planas o sólidas, como "iguales" (ἴσος) si sus longitudes, áreas o volúmenes son iguales respectivamente, y de manera similar para los ángulos. El término más fuerte " congruente " se refiere a la idea de que una figura entera tiene el mismo tamaño y forma que otra figura. Alternativamente, dos figuras son congruentes si una se puede mover sobre la otra para que coincida exactamente con ella. (Se permite darla vuelta). Así, por ejemplo, un rectángulo de 2x6 y un rectángulo de 3x4 son iguales pero no congruentes, y la letra R es congruente con su imagen reflejada. Las figuras que serían congruentes excepto por sus diferentes tamaños se denominan similares . Los ángulos correspondientes en un par de formas similares son iguales y los lados correspondientes son proporcionales entre sí.

• Análisis de tensión : Análisis de tensión : La geometría euclidiana es fundamental para determinar la distribución de la tensión en los componentes mecánicos, lo que es esencial para garantizar la integridad estructural y la durabilidad .

• Diseño de engranajes : Engranaje : El diseño de engranajes, un elemento crucial en muchos sistemas mecánicos , se basa en gran medida en la geometría euclidiana para garantizar la forma y el enganche adecuados de los dientes para una transmisión de potencia eficiente .

• Diseño de intercambiadores de calor : intercambiadores de calor : en ingeniería térmica , se utiliza la geometría euclidiana para diseñar intercambiadores de calor , donde la configuración geométrica influye en gran medida en la eficiencia térmica . Consulte intercambiadores de calor de carcasa y tubos e intercambiadores de calor de placas para obtener más detalles.

• Diseño de lentes : Lentes : En ingeniería óptica, la geometría euclidiana es fundamental en el diseño de lentes, donde las formas geométricas precisas determinan las propiedades de enfoque . La óptica geométrica analiza el enfoque de la luz mediante lentes y espejos .

• Análisis de vibraciones : La geometría euclidiana es esencial para analizar y comprender las vibraciones en los sistemas mecánicos , ayudando en el diseño de sistemas que puedan soportar o utilizar estas vibraciones de manera efectiva.

• Diseño de alas : Diseño de alas de aeronaves : la aplicación de la geometría euclidiana en la aerodinámica es evidente en el diseño de alas de aeronaves , perfiles aerodinámicos e hidroplanos , donde la forma geométrica impacta directamente en las características de sustentación y resistencia .

• Órbitas de los satélites : Órbitas de los satélites : la geometría euclidiana ayuda a calcular y predecir las órbitas de los satélites , algo esencial para el éxito de las misiones espaciales y las operaciones satelitales . Véase también astrodinámica , mecánica celeste y órbita elíptica .

• Modelado 3D : En los sistemas CAD (diseño asistido por computadora) , la geometría euclidiana es fundamental para crear modelos 3D precisos de piezas mecánicas. Estos modelos son cruciales para visualizar y probar diseños antes de la fabricación .

• Diseño y fabricación : Gran parte de la fabricación asistida por ordenador (CAM) se basa en la geometría euclidiana. La geometría de diseño en CAD/CAM normalmente consta de formas delimitadas por planos , cilindros , conos , toros y otras formas euclidianas similares. Hoy en día, CAD/CAM es esencial en el diseño de una amplia gama de productos, desde automóviles y aviones hasta barcos y teléfonos inteligentes .

• Evolución de las prácticas de dibujo : históricamente, la geometría euclidiana avanzada, incluidos teoremas como el teorema de Pascal y el teorema de Brianchon , era fundamental para las prácticas de dibujo. Sin embargo, con la llegada de los sistemas CAD modernos, un conocimiento tan profundo de estos teoremas es menos necesario en los procesos de diseño y fabricación contemporáneos.

• Diseño de PCB : el diseño de placas de circuito impreso (PCB) utiliza geometría euclidiana para la colocación y el enrutamiento eficientes de los componentes, lo que garantiza la funcionalidad y optimiza el espacio . El diseño eficiente de los componentes electrónicos en las PCB es fundamental para minimizar la interferencia de la señal y optimizar el rendimiento del circuito .

• Diseño de antenas : Diseño de antenas : la geometría euclidiana de las antenas ayuda a diseñar antenas, donde la disposición espacial y las dimensiones afectan directamente el rendimiento de la antena y el conjunto al transmitir y recibir ondas electromagnéticas .

• Teoría de campos : flujo potencial complejo : en el estudio de los campos de flujo no viscoso y los campos electromagnéticos , la geometría euclidiana ayuda a visualizar y resolver problemas de flujo potencial . Esto es esencial para comprender las interacciones entre el campo de velocidad del fluido y el campo electromagnético en el espacio tridimensional. La relación entre ambos se caracteriza por un campo solenoidal irrotacional o un campo vectorial conservativo .

• Análisis de sistemas de control : Sistemas de control : La aplicación de la geometría euclidiana en la teoría de control ayuda en el análisis y diseño de sistemas de control , particularmente en la comprensión y optimización de la estabilidad y respuesta del sistema .

• Herramientas de cálculo : La geometría jacobiana - euclidiana es fundamental en el uso de matrices jacobianas para transformaciones y sistemas de control en los campos de la ingeniería mecánica y eléctrica , y proporciona información sobre el comportamiento y las propiedades del sistema. La jacobiana sirve como matriz de diseño linealizada en regresión estadística y ajuste de curvas ; consulte mínimos cuadrados no lineales . La jacobiana también se utiliza en matrices aleatorias , momentos , estadísticas y diagnósticos .

Debido al estatus fundamental de la geometría euclidiana en matemáticas, no es práctico dar aquí más que una muestra representativa de aplicaciones.

• 
  Un topógrafo utiliza un nivel
• 
  El empaquetamiento de esferas se aplica a una pila de naranjas .
• 
  Un espejo parabólico atrae rayos de luz paralelos hacia un foco.

Como lo sugiere la etimología de la palabra, una de las primeras razones de interés y también uno de los usos actuales más comunes de la geometría es la topografía . ^[19] Además, se ha utilizado en la mecánica clásica y en los enfoques cognitivos y computacionales de la percepción visual de objetos . Ciertos resultados prácticos de la geometría euclidiana (como la propiedad del ángulo recto del triángulo 3-4-5) se utilizaron mucho antes de que se demostraran formalmente. ^[20] Los tipos fundamentales de mediciones en la geometría euclidiana son las distancias y los ángulos, los cuales pueden ser medidos directamente por un topógrafo. Históricamente, las distancias se medían a menudo mediante cadenas, como la cadena de Gunter , y los ángulos utilizando círculos graduados y, más tarde, el teodolito .

Una aplicación de la geometría sólida euclidiana es la determinación de disposiciones de empaquetamiento , como el problema de encontrar el empaquetamiento más eficiente de esferas en n dimensiones. Este problema tiene aplicaciones en la detección y corrección de errores .

• 
  La geometría se utiliza en el arte y la arquitectura.
• 
  La torre de agua está formada por un cono, un cilindro y una semiesfera. Su volumen se puede calcular mediante geometría de sólidos.
• 
  La geometría se puede utilizar para diseñar origami.

La geometría se utiliza ampliamente en arquitectura .

La geometría se puede utilizar para diseñar origami . Algunos problemas de construcción geométricos clásicos son imposibles de resolver utilizando compás y regla , pero se pueden resolver utilizando origami . ^[21]

Arquímedes ( c.  287 a. C.  – c.  212 a. C. ), una pintoresca figura sobre la que se han registrado muchas anécdotas históricas, es recordado junto con Euclides como uno de los más grandes matemáticos antiguos. Aunque las bases de su trabajo fueron establecidas por Euclides, se cree que su trabajo, a diferencia del de Euclides, fue completamente original. ^[22] Demostró ecuaciones para los volúmenes y áreas de varias figuras en dos y tres dimensiones, y enunció la propiedad arquimediana de los números finitos.

Apolonio de Perge ( c.  240 a. C.  – c.  190 a. C. ) es conocido principalmente por su investigación de las secciones cónicas.

René Descartes (1596-1650) desarrolló la geometría analítica , un método alternativo para formalizar la geometría que se centraba en convertir la geometría en álgebra. ^[23]

En este enfoque, un punto en un plano se representa por sus coordenadas cartesianas ( x , y ), una línea se representa por su ecuación, y así sucesivamente.

En el enfoque original de Euclides, el teorema de Pitágoras se deduce de los axiomas de Euclides. En el enfoque cartesiano, los axiomas son los axiomas del álgebra, y la ecuación que expresa el teorema de Pitágoras es entonces una definición de uno de los términos de los axiomas de Euclides, que ahora se consideran teoremas.

La ecuación

${\displaystyle |PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,}$

La definición de la distancia entre dos puntos P = ( p _x , p _y ) y Q = ( q _x , q _y ) se conoce entonces como métrica euclidiana , y otras métricas definen geometrías no euclidianas .

En términos de geometría analítica, la restricción de la geometría clásica a construcciones con compás y regla significa una restricción a ecuaciones de primer y segundo orden, por ejemplo, y = 2 x + 1 (una línea), o x ² + y ² = 7 (un círculo).

También en el siglo XVII, Girard Desargues , motivado por la teoría de la perspectiva , introdujo el concepto de puntos, líneas y planos idealizados en el infinito. El resultado puede considerarse como un tipo de geometría generalizada, la geometría proyectiva , pero también puede utilizarse para producir demostraciones en la geometría euclidiana ordinaria en la que se reduce el número de casos especiales. ^[24]

Los geómetras del siglo XVIII se esforzaron por definir los límites del sistema euclidiano. Muchos intentaron en vano demostrar el quinto postulado a partir de los cuatro primeros. En 1763, se habían publicado al menos 28 demostraciones diferentes, pero todas resultaron incorrectas. ^[25]

En los años previos a este período, los geómetras también intentaron determinar qué construcciones se podían lograr en la geometría euclidiana. Por ejemplo, el problema de trisecar un ángulo con un compás y una regla es uno que ocurre naturalmente dentro de la teoría, ya que los axiomas se refieren a operaciones constructivas que se pueden llevar a cabo con esas herramientas. Sin embargo, siglos de esfuerzos no lograron encontrar una solución a este problema, hasta que Pierre Wantzel publicó una prueba en 1837 de que tal construcción era imposible. Otras construcciones que se demostraron imposibles incluyen duplicar el cubo y cuadrar el círculo . En el caso de duplicar el cubo, la imposibilidad de la construcción se origina en el hecho de que el método del compás y la regla involucra ecuaciones cuyo orden es una potencia integral de dos, ^[26] mientras que duplicar un cubo requiere la solución de una ecuación de tercer orden.

Euler discutió una generalización de la geometría euclidiana llamada geometría afín , que conserva el quinto postulado sin modificar mientras que debilita los postulados tres y cuatro de una manera que elimina las nociones de ángulo (por lo que los triángulos rectángulos dejan de tener sentido) y de igualdad de longitud de segmentos de línea en general (por lo que los círculos dejan de tener sentido) mientras que conserva las nociones de paralelismo como una relación de equivalencia entre líneas, y la igualdad de longitud de segmentos de línea paralelos (por lo que los segmentos de línea continúan teniendo un punto medio).

A principios del siglo XIX, Carnot y Möbius desarrollaron sistemáticamente el uso de ángulos y segmentos de línea con signo como una forma de simplificar y unificar resultados. ^[27]

En la década de 1840, William Rowan Hamilton desarrolló los cuaterniones y John T. Graves y Arthur Cayley los octoniones . Se trata de álgebras normadas que extienden los números complejos . Más tarde se entendió que los cuaterniones también son un sistema geométrico euclidiano con cuatro coordenadas cartesianas reales. ^[28] Cayley utilizó cuaterniones para estudiar rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones . ^[29]

A mediados de siglo, Ludwig Schläfli desarrolló el concepto general de espacio euclidiano , extendiendo la geometría euclidiana a dimensiones superiores . Definió los poliesquemas , posteriormente llamados politopos , que son los análogos de dimensiones superiores de los polígonos y poliedros . Desarrolló su teoría y descubrió todos los politopos regulares, es decir, los análogos en -dimensionales de los polígonos regulares y los sólidos platónicos . Encontró que hay seis politopos convexos regulares en dimensión cuatro , y tres en todas las dimensiones superiores.${\displaystyle n}$

Politopos cuatripartitos convexos regulares
Grupo de simetría	Un 4	B4​		F4​	H4​
Nombre	5 celdas Hipertetraedro de 5 puntas	16 celdas Hiper - octaedro de 8 puntas	8 celdas Hipercubo de 16 puntos	24 celdas 24 puntos	600 celdas Hipericosaedro de 120 puntos	120 celdas Hiperdodecaedro de 600 puntos
Símbolo de Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Espejos Coxeter
Diédricos especulares	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Gráfico
Vértices	5 tetraédricos	8 octaédrico	16 tetraédrico	24 cúbicos	120 icosaédricos	600 tetraédricos
Bordes	10 triangular	24 cuadrados	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Caras	10 triángulos	32 triángulos	24 cuadrados	96 triángulos	1200 triángulos	720 pentágonos
Células	5 tetraedros	16 tetraedros	8 cubos	24 octaedros	600 tetraedros	120 dodecaedros
Toros	1 5-tetraedro	2 8-tetraedro	2 4 cubos	4 6-octaedro	20 30-tetraedro	12 10-dodecaedro
Inscrito	120 en 120 celdas	675 en 120 celdas	2 de 16 celdas	3 de 8 celdas	25 24 celdas	10 600 celdas
Grandes polígonos		2 cuadrados x 3	4 rectángulos x 4	4 hexágonos x 4	12 decágonos x 6	100 hexágonos irregulares x 4
Polígonos de Petrie	1 pentágono x 2	1 octágono x 3	2 octágonos x 4	2 dodecágonos x 4	4 30-ágonos x 6	20 30-ágonos x 4
Radio largo	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
Longitud del borde	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
Radio corto	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
Área	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
Volumen	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-Contenido	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

Schläfli realizó esta obra en relativa oscuridad y fue publicada íntegramente sólo póstumamente en 1901. Tuvo poca influencia hasta que fue redescubierta y completamente documentada en 1948 por HSM Coxeter .

En 1878, William Kingdon Clifford introdujo lo que hoy se denomina álgebra geométrica , unificando los cuaterniones de Hamilton con el álgebra de Hermann Grassmann y revelando la naturaleza geométrica de estos sistemas, especialmente en cuatro dimensiones. Las operaciones del álgebra geométrica tienen el efecto de reflejar, rotar, trasladar y mapear los objetos geométricos que se están modelando a nuevas posiciones. El toro de Clifford en la superficie de la 3-esfera es la incrustación plana más simple y simétrica del producto cartesiano de dos círculos (en el mismo sentido en que la superficie de un cilindro es "plana").

El desarrollo más influyente del siglo en la geometría ocurrió cuando, alrededor de 1830, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaron por separado un trabajo sobre geometría no euclidiana , en el que el postulado de las paralelas no es válido. ^[30] Dado que la geometría no euclidiana es demostrablemente relativamente consistente con la geometría euclidiana, el postulado de las paralelas no se puede demostrar a partir de los otros postulados.

En el siglo XIX, también se comprendió que los diez axiomas y nociones comunes de Euclides no bastaban para demostrar todos los teoremas enunciados en los Elementos . Por ejemplo, Euclides supuso implícitamente que cualquier línea contiene al menos dos puntos, pero esta suposición no puede demostrarse a partir de los otros axiomas y, por lo tanto, debe ser un axioma en sí misma. La primera prueba geométrica de los Elementos, que se muestra en la figura anterior, es que cualquier segmento de línea es parte de un triángulo; Euclides la construye de la manera habitual, dibujando círculos alrededor de ambos puntos finales y tomando su intersección como el tercer vértice. Sus axiomas, sin embargo, no garantizan que los círculos se intersequen realmente, porque no afirman la propiedad geométrica de continuidad, que en términos cartesianos es equivalente a la propiedad de completitud de los números reales. A partir de Moritz Pasch en 1882, se han propuesto muchos sistemas axiomáticos mejorados para la geometría, siendo los más conocidos los de Hilbert , ^[31] George Birkhoff , ^[32] y Tarski . ^[33]

La teoría de la relatividad especial de Einstein implica un espacio-tiempo de cuatro dimensiones , el espacio de Minkowski , que no es euclidiano . Esto demuestra que las geometrías no euclidianas, que se habían introducido unos años antes para demostrar que el postulado de las paralelas no se puede demostrar, también son útiles para describir el mundo físico.

Sin embargo, la "parte espacial" tridimensional del espacio de Minkowski sigue siendo el espacio de la geometría euclidiana. Este no es el caso de la relatividad general , para la cual la geometría de la parte espacial del espacio-tiempo no es la geometría euclidiana. ^[34] Por ejemplo, si se construye un triángulo a partir de tres rayos de luz, entonces en general los ángulos interiores no suman 180 grados debido a la gravedad. Un campo gravitatorio relativamente débil, como el de la Tierra o el Sol, se representa mediante una métrica que es aproximadamente, pero no exactamente, euclidiana. Hasta el siglo XX, no existía tecnología capaz de detectar estas desviaciones en los rayos de luz con respecto a la geometría euclidiana, pero Einstein predijo que tales desviaciones existirían. Posteriormente se verificaron mediante observaciones como la ligera curvatura de la luz de las estrellas por el Sol durante un eclipse solar en 1919, y tales consideraciones son ahora una parte integral del software que ejecuta el sistema GPS . ^[35]

Euclides creía que sus axiomas eran afirmaciones evidentes sobre la realidad física. Las pruebas de Euclides dependen de suposiciones que quizás no sean obvias en los axiomas fundamentales de Euclides, ^[36] en particular que ciertos movimientos de las figuras no cambian sus propiedades geométricas, como las longitudes de los lados y los ángulos interiores, los llamados movimientos euclidianos , que incluyen traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras. ^[37] Tomado como una descripción física del espacio, el postulado 2 (extensión de una línea) afirma que el espacio no tiene agujeros ni límites; el postulado 4 (igualdad de ángulos rectos) dice que el espacio es isótropo y las figuras pueden moverse a cualquier ubicación manteniendo la congruencia ; y el postulado 5 (el postulado de las paralelas ) que el espacio es plano (no tiene curvatura intrínseca ). ^[38]

Como se ha comentado anteriormente, la teoría de la relatividad de Albert Einstein modifica significativamente esta visión.

El carácter ambiguo de los axiomas tal como fueron formulados originalmente por Euclides hace posible que diferentes comentaristas discrepen sobre algunas de sus otras implicaciones para la estructura del espacio, como si es o no infinito ^[39] (ver más abajo) y cuál es su topología . Las reformulaciones modernas y más rigurosas del sistema ^[40] normalmente apuntan a una separación más clara de estas cuestiones. Interpretando los axiomas de Euclides en el espíritu de este enfoque más moderno, los axiomas 1-4 son consistentes con el espacio infinito o finito (como en la geometría elíptica ), y los cinco axiomas son consistentes con una variedad de topologías (por ejemplo, un plano, un cilindro o un toro para la geometría euclidiana bidimensional).

Euclides a veces distinguía explícitamente entre "líneas finitas" (por ejemplo, Postulado 2) y " líneas infinitas " (libro I, proposición 12). Sin embargo, normalmente no hacía tales distinciones a menos que fueran necesarias. Los postulados no se refieren explícitamente a líneas infinitas, aunque, por ejemplo, algunos comentaristas interpretan el postulado 3, existencia de un círculo con cualquier radio, como implicando que el espacio es infinito. ^[39]

La noción de cantidades infinitesimales ya había sido discutida extensamente por la Escuela Eleática , pero nadie había sido capaz de darles una base lógica firme, y se dieron paradojas como la de Zenón que no se habían resuelto de manera satisfactoria para todos. Euclides utilizó el método de exhausción en lugar de los infinitesimales. ^[41]

Los comentaristas antiguos posteriores, como Proclo (410-485 d. C.), trataron muchas cuestiones sobre el infinito como cuestiones que exigían prueba y, por ejemplo, Proclo afirmó probar la divisibilidad infinita de una línea, basándose en una prueba por contradicción en la que consideró los casos de números pares e impares de puntos que la constituyen. ^[42]

A principios del siglo XX, Otto Stolz , Paul du Bois-Reymond , Giuseppe Veronese y otros produjeron trabajos controvertidos sobre modelos no arquimedianos de geometría euclidiana, en los que la distancia entre dos puntos puede ser infinita o infinitesimal, en el sentido de Newton - Leibniz . ^[43] Cincuenta años después, Abraham Robinson proporcionó una base lógica rigurosa para el trabajo de Veronese. ^[44]

Los geómetras antiguos pueden haber considerado que el postulado de las paralelas –que dos líneas paralelas nunca se cruzan– era menos cierto que los otros porque hace una afirmación acerca de regiones infinitamente remotas del espacio y, por lo tanto, no puede verificarse físicamente. ^[45]

La formulación moderna de la prueba por inducción no se desarrolló hasta el siglo XVII, pero algunos comentaristas posteriores la consideran implícita en algunas de las pruebas de Euclides, por ejemplo, la prueba de la infinitud de los números primos. ^[46]

Las supuestas paradojas que implicaban series infinitas, como la paradoja de Zenón , fueron anteriores a Euclides. Euclides evitó este tipo de discusiones, dando, por ejemplo, la expresión para las sumas parciales de las series geométricas en IX.35 sin comentar la posibilidad de dejar que el número de términos se vuelva infinito.

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Euclides utilizó frecuentemente el método de prueba por contradicción , y por tanto la presentación tradicional de la geometría euclidiana asume la lógica clásica , en la que toda proposición es verdadera o falsa, es decir, para cualquier proposición P, la proposición "P o no P" es automáticamente verdadera.

Colocar la geometría euclidiana sobre una base axiomática sólida fue una preocupación de los matemáticos durante siglos. ^[47] El papel de las nociones primitivas , o conceptos indefinidos, fue claramente planteado por Alessandro Padoa , de la delegación de Peano , en la conferencia de París de 1900: ^{[47] [48]}

...cuando empezamos a formular la teoría, podemos imaginar que los símbolos indefinidos están completamente desprovistos de significado y que las proposiciones no probadas son simplemente condiciones impuestas a los símbolos indefinidos.

Entonces, el sistema de ideas que hemos elegido inicialmente es simplemente una interpretación de los símbolos indefinidos; pero... esta interpretación puede ser ignorada por el lector, quien es libre de reemplazarla en su mente por otra interpretación ... que satisfaga las condiciones...

Las cuestiones lógicas se vuelven así completamente independientes de las cuestiones empíricas o psicológicas ...

El sistema de símbolos indefinidos puede entonces considerarse como la abstracción obtenida de las teorías especializadas que resultan cuando... el sistema de símbolos indefinidos es reemplazado sucesivamente por cada una de las interpretaciones...

—  Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, con una introducción lógica a una teoría deductiva quelconque

Es decir, las matemáticas son conocimientos independientes del contexto dentro de un marco jerárquico. Como dijo Bertrand Russell : ^[49]

Si nuestra hipótesis se refiere a algo y no a una o más cosas en particular, entonces nuestras deducciones constituyen las matemáticas. Por lo tanto, las matemáticas pueden definirse como la disciplina en la que nunca sabemos de qué estamos hablando ni si lo que decimos es cierto.

—  Bertrand Russell, Las matemáticas y los metafísicos

Estos enfoques fundacionales oscilan entre el fundacionalismo y el formalismo .

La geometría es la ciencia del razonamiento correcto sobre figuras incorrectas.

—  George Pólya , Cómo resolverlo , pág. 208

• Los axiomas de Euclides: En su disertación en el Trinity College de Cambridge, Bertrand Russell resumió el papel cambiante de la geometría de Euclides en las mentes de los filósofos hasta ese momento. ^[50] Se trataba de un conflicto entre el conocimiento cierto, independiente del experimento, y el empirismo, que requería aportes experimentales. Esta cuestión se hizo evidente cuando se descubrió que el postulado de las paralelas no era necesariamente válido y su aplicabilidad era una cuestión empírica, que decidía si la geometría aplicable era euclidiana o no euclidiana .
• Axiomas de Hilbert : Los axiomas de Hilbert tenían como objetivo identificar un conjunto simple y completo de axiomas independientes a partir de los cuales se pudieran deducir los teoremas geométricos más importantes. Los objetivos principales eran hacer rigurosa la geometría euclidiana (evitando suposiciones ocultas) y aclarar las ramificaciones del postulado de las paralelas.
• Axiomas de Birkhoff : Birkhoff propuso cuatro postulados para la geometría euclidiana que pueden confirmarse experimentalmente con una escala y un transportador. Este sistema se basa en gran medida en las propiedades de los números reales . ^{[51] [52] [53]} Las nociones de ángulo y distancia se convierten en conceptos primitivos. ^[54]
• Axiomas de Tarski : Alfred Tarski (1902-1983) y sus estudiantes definieron la geometría euclidiana elemental como la geometría que puede expresarse en lógica de primer orden y no depende de la teoría de conjuntos para su base lógica, ^[55] en contraste con los axiomas de Hilbert, que involucran conjuntos de puntos. ^[56] Tarski demostró que su formulación axiomática de la geometría euclidiana elemental es consistente y completa en cierto sentido : hay un algoritmo que, para cada proposición, puede demostrarse como verdadero o falso. ^[33] (Esto no viola el teorema de Gödel , porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad suficiente de aritmética para que se aplique el teorema. ^[57] ) Esto es equivalente a la decidibilidad de los campos reales cerrados , de los cuales la geometría euclidiana elemental es un modelo.

• Geometría absoluta
• Geometría analítica
• Los axiomas de Birkhoff
• Sistema de coordenadas cartesianas
• Los axiomas de Hilbert
• Geometría de incidencia
• Lista de software de geometría interactiva
• Espacio métrico
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• Teorema de la bisectriz del ángulo
• Teorema de la mariposa
• Teorema de Ceva
• Fórmula de Heron
• Teorema de Menelao
• Círculo de nueve puntos
• Teorema de Pitágoras

• Ball, WW Rouse (1960). Breve relato de la historia de las matemáticas (4.ª ed. [Reimpresión. Publicación original: Londres: Macmillan & Co., 1908] ed.). Nueva York: Dover Publications. págs. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
• Coxeter, HSM (1961). Introducción a la geometría . Nueva York: Wiley.
• Eves, Howard (1963). Un estudio de geometría (volumen uno) . Allyn y Bacon.
• Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Dover Publications.En 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2 , vol. 2 ISBN 0-486-60089-0 , vol. 3 ISBN 0-486-60090-4 . La traducción autorizada de Heath de los Elementos de Euclides, más su extensa investigación histórica y comentarios detallados a lo largo del texto.   
• Misner, Charles W. ; Thorne, Kip S. ; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . WH Freeman.
• Mlodinow (2001). La ventana de Euclides . The Free Press. ISBN 9780684865232.
• Nagel, E.; Newman, JR (1958). La prueba de Gödel. Prensa de la Universidad de Nueva York.
• Tarski, Alfred (1951). Un método de decisión para álgebra elemental y geometría . Univ. of California Press.
• Stillwell, John (enero de 2001). "La historia de la célula 120" (PDF) . Avisos de la AMS . 48 (1): 17–25.
• Pérez-Gracia, Alba; Thomas, Federico (2017). "Sobre la factorización de Cayley de rotaciones 4D y aplicaciones" (PDF) . Adv. Appl. Clifford Algebras . 27 : 523–538. doi :10.1007/s00006-016-0683-9. hdl : 2117/113067 . S2CID  12350382.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Geometría euclidiana .

• "Geometría euclidiana", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Trigonometría plana", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kiran Kedlaya, Geometry Unbound Archivado el 26 de octubre de 2011 en Wayback Machine. (un tratamiento que utiliza geometría analítica; formato PDF, licencia GFDL)