Ortogonalidad hiperbólica

En geometría , la relación de ortogonalidad hiperbólica entre dos líneas separadas por las asíntotas de una hipérbola es un concepto utilizado en la relatividad especial para definir eventos simultáneos. Dos eventos serán simultáneos cuando se encuentren en una línea hiperbólicamente ortogonal a una línea de tiempo particular. Esta dependencia de una determinada línea de tiempo está determinada por la velocidad y es la base de la relatividad de la simultaneidad .

Dos rectas son ortogonales hiperbólicamente cuando son reflexiones entre sí sobre la asíntota de una hipérbola dada . En el plano se utilizan con frecuencia dos hipérbolas particulares:

La relación de ortogonalidad hiperbólica se aplica en realidad a clases de líneas paralelas en el plano, donde cualquier línea particular puede representar la clase. Por lo tanto, para una hipérbola y asíntota A dadas , un par de líneas ( a , b ) son ortogonales hiperbólicamente si hay un par ( c , d ) tal que , y c es la reflexión de d a través de A.${\displaystyle a\rVert c,\ b\rVert d}$

De manera similar a la perpendicularidad del radio de un círculo a la tangente , un radio a una hipérbola es hiperbólicamente ortogonal a una tangente a la hipérbola. ^{[1] [2]}

Se utiliza una forma bilineal para describir la ortogonalidad en geometría analítica, con dos elementos ortogonales cuando su forma bilineal se anula. En el plano de los números complejos , la forma bilineal es , mientras que en el plano de los números hiperbólicos la forma bilineal es${\displaystyle z_{1}=u+iv,\quad z_{2}=x+iy}$${\displaystyle xu+yv}$ ${\displaystyle w_{1}=u+jv,\quad w_{2}=x+jy,}$${\displaystyle xu-yv.}$

Se dice que los vectores z ₁ y z ₂ en el plano de números complejos, y w ₁ y w ₂ en el plano de números hiperbólicos son respectivamente ortogonales euclidianos u ortogonales hiperbólicos si sus respectivos productos internos [formas bilineales] son ​​cero. ^[3]

La forma bilineal puede calcularse como la parte real del producto complejo de un número por el conjugado del otro.

${\displaystyle z_{1}z_{2}^{*}+z_{1}^{*}z_{2}=0}$implica perpendicularidad en el plano complejo, mientras que

${\displaystyle w_{1}w_{2}^{*}+w_{1}^{*}w_{2}=0}$implica que las w son ortogonales hiperbólicas.

La noción de ortogonalidad hiperbólica surgió en geometría analítica al considerar los diámetros conjugados de elipses e hipérbolas. ^[4] Si g y g ′ representan las pendientes de los diámetros conjugados, entonces en el caso de una elipse y en el caso de una hipérbola. Cuando a = b la elipse es un círculo y los diámetros conjugados son perpendiculares mientras que la hipérbola es rectangular y los diámetros conjugados son hiperbólico-ortogonales.${\displaystyle gg'=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$${\displaystyle gg'={\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$

En la terminología de la geometría proyectiva , la operación de tomar la línea ortogonal hiperbólica es una involución . Supóngase que la pendiente de una línea vertical se denota ∞ de modo que todas las líneas tienen una pendiente en la línea real extendida proyectivamente . Entonces, cualquiera que sea la hipérbola (A) o (B) que se use, la operación es un ejemplo de una involución hiperbólica donde la asíntota es invariante. Las líneas hiperbólicamente ortogonales se encuentran en diferentes sectores del plano, determinados por las asíntotas de la hipérbola, por lo tanto, la relación de ortogonalidad hiperbólica es una relación heterogénea en conjuntos de líneas en el plano.

Desde la fundación del estudio del espacio-tiempo por Hermann Minkowski en 1908, el concepto de puntos en un plano espacio-temporal que son hiperbólicamente ortogonales a una línea de tiempo (tangentes a una línea del mundo ) se ha utilizado para definir la simultaneidad de eventos en relación con la línea de tiempo, o la relatividad de la simultaneidad . En el desarrollo de Minkowski se utiliza la hipérbola del tipo (B) anterior. ^[5] Dos vectores ( x ₁ , y ₁ , z ₁ , t ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ , z ₂ , t ₂ ) son normales (es decir, ortogonales hiperbólicamente) cuando

${\displaystyle c^{2}\ t_{1}\ t_{2}-x_{1}\ x_{2}-y_{1}\ y_{2}-z_{1}\ z_{2}=0.}$

Cuando c = 1 y las y y z son cero, x ₁ ≠ 0, t ₂ ≠ 0, entonces .${\displaystyle {\frac {c\ t_{1}}{x_{1}}}={\frac {x_{2}}{c\ t_{2}}}}$

Dada una hipérbola con asíntota A , su reflexión en A produce la hipérbola conjugada . Cualquier diámetro de la hipérbola original se refleja en un diámetro conjugado . Las direcciones indicadas por los diámetros conjugados se toman para los ejes de espacio y tiempo en relatividad. Como escribió ET Whittaker en 1910, "[la] hipérbola no se altera cuando cualquier par de diámetros conjugados se toman como nuevos ejes, y se toma una nueva unidad de longitud proporcional a la longitud de cualquiera de estos diámetros". ^[6] Sobre este principio de relatividad , escribió luego la transformación de Lorentz en la forma moderna utilizando la rapidez .

Edwin Bidwell Wilson y Gilbert N. Lewis desarrollaron el concepto dentro de la geometría sintética en 1912. Señalaron que "en nuestro plano ningún par de líneas perpendiculares [hiperbólicas-ortogonales] es más adecuado para servir como ejes de coordenadas que cualquier otro par" ^[1].

• GD Birkhoff (1923) Relatividad y física moderna , páginas 62,3, Harvard University Press .
• Francesco Catoni, Dino Boccaletti y Roberto Cannata (2008) Matemáticas del espacio Minkowski , Birkhäuser Verlag , Basilea. Consulte la página 38, Pseudoortogonalidad.
• Robert Goldblatt (1987) Ortogonalidad y geometría del espacio-tiempo , capítulo 1: Un viaje en el tren de Einstein, Universitext Springer-Verlag ISBN 0-387-96519-X MR 0888161 
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 58. ISBN 0-7167-0344-0.