Geometría de Riemann

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
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Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Cero-dimensional Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Longitud
Bidimensional Avión Área Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de Pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapecio Cometa Círculo Diámetro Circunferencia Área
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Dodecaedro Icosaedro Octaedro Pirámide Sólido platónico Esfera Tetraedro
Cuatro - / otras dimensiones Teseracto Hiperesfera
Geometrias
por nombre Aida Ariabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahma-upta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Grómov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Katyayana Khayyám Pequeño Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi Al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui Al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por periodo AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Katyayana Ariabhata Brahma-upta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám Al-Yasamin Al-Tusi Yang Hui Parameshvara Década de 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida Década de 1700 a 1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Pequeño Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter En la actualidad Atiyah Grómov
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La geometría de Riemann es la rama de la geometría diferencial que estudia las variedades de Riemann , definidas como variedades suaves con una métrica de Riemann (un producto interno en el espacio tangente en cada punto que varía suavemente de un punto a otro). Esto da, en particular, nociones locales de ángulo , longitud de curvas , área superficial y volumen . A partir de ellas, se pueden derivar algunas otras cantidades globales integrando contribuciones locales.

La geometría de Riemann se originó con la visión de Bernhard Riemann expresada en su conferencia inaugural " Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría"). ^[1] Es una generalización muy amplia y abstracta de la geometría diferencial de superficies en R ³ . El desarrollo de la geometría de Riemann resultó en la síntesis de diversos resultados concernientes a la geometría de superficies y el comportamiento de las geodésicas sobre ellas, con técnicas que pueden aplicarse al estudio de variedades diferenciables de dimensiones superiores. Permitió la formulación de la teoría general de la relatividad de Einstein , tuvo un profundo impacto en la teoría de grupos y la teoría de la representación , así como en el análisis , y estimuló el desarrollo de la topología algebraica y diferencial .

La geometría de Riemann fue propuesta por primera vez en términos generales por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Se ocupa de una amplia gama de geometrías cuyas propiedades métricas varían de un punto a otro, incluidos los tipos estándar de geometría no euclidiana .

Toda variedad lisa admite una métrica de Riemann , que a menudo ayuda a resolver problemas de topología diferencial . También sirve como nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-riemannianas , que (en cuatro dimensiones) son los objetos principales de la teoría de la relatividad general . Otras generalizaciones de la geometría de Riemann incluyen la geometría de Finsler .

Existe una estrecha analogía entre la geometría diferencial y la estructura matemática de los defectos en los cristales regulares. Las dislocaciones y las disclinaciones producen torsiones y curvaturas. ^{[2] [3]}

Los siguientes artículos proporcionan material introductorio útil:

• Tensor métrico
• Variedad de Riemann
• Conexión Levi-Civita
• Curvatura
• Tensor de curvatura de Riemann
• Lista de temas de geometría diferencial
• Glosario de geometría riemanniana y métrica

Lo que sigue es una lista incompleta de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se hace en función de su importancia y elegancia de formulación. La mayoría de los resultados se pueden encontrar en la monografía clásica de Jeff Cheeger y D. Ebin (véase más abajo).

Las formulaciones dadas están lejos de ser muy exactas o las más generales. Esta lista está orientada a quienes ya conocen las definiciones básicas y desean saber de qué se tratan dichas definiciones.

1. Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la curvatura de Gauss en una variedad de Riemann compacta de dos dimensiones es igual a 2πχ( M ) donde χ( M ) denota la característica de Euler de M . Este teorema tiene una generalización a cualquier variedad de Riemann compacta de dimensión par, véase teorema de Gauss-Bonnet generalizado .
2. Teoremas de incrustación de Nash . Afirman que toda variedad de Riemann puede incrustarse isométricamente en un espacio euclidiano R ⁿ .

En todos los teoremas siguientes asumimos algún comportamiento local del espacio (generalmente formulado utilizando el supuesto de curvatura) para derivar alguna información sobre la estructura global del espacio, incluyendo alguna información sobre el tipo topológico de la variedad o sobre el comportamiento de puntos a distancias "suficientemente grandes".

1. Teorema de la esfera . Si M es una variedad riemanniana n -dimensional compacta, simplemente conexa, con una curvatura seccional estrictamente comprimida entre 1/4 y 1, entonces M es difeomorfa respecto de una esfera.
2. Teorema de finitud de Cheeger. Dadas las constantes C , D y V , solo hay un número finito (salvo difeomorfismo) de variedades riemannianas compactas n -dimensionales con curvatura seccional | K | ≤ C , diámetro ≤ D y volumen ≥ V .
3. Variedades casi planas de Gromov . Existe una ε _n > 0 tal que si una variedad riemanniana n -dimensional tiene una métrica con curvatura seccional | K | ≤ ε _n y diámetro ≤ 1 entonces su recubrimiento finito es difeomórfico respecto de una variedad nula .

1. Teorema del alma de Cheeger-Gromoll . Si M es una variedad de Riemann de dimensión n , no compacta, completa y no negativamente curvada , entonces M contiene una subvariedad compacta y totalmente geodésica S tal que M es difeomorfa con respecto al fibrado normal de S ( S se denomina alma de M ). En particular, si M tiene una curvatura estrictamente positiva en todas partes, entonces es difeomorfa con respecto a R ⁿ . G. Perelman en 1994 dio una prueba sorprendentemente elegante/corta de la conjetura del alma: M es difeomorfa con respecto a R ⁿ si tiene una curvatura positiva en un solo punto.
2. Teorema del número de Betti de Gromov. Existe una constante C = C ( n ) tal que si M es una variedad riemanniana compacta, conexa y de dimensión n con curvatura seccional positiva, entonces la suma de sus números de Betti es como máximo C .
3. Teorema de finitud de Grove-Petersen. Dadas las constantes C , D y V , solo hay un número finito de tipos de homotopía de variedades riemannianas compactas n -dimensionales con curvatura seccional K ≥ C , diámetro ≤ D y volumen ≥ V .

1. El teorema de Cartan-Hadamard establece que una variedad de Riemann completa, simplemente conexa , con curvatura seccional no positiva es difeomorfa al espacio euclidiano R ⁿ con n = dim M a través de la función exponencial en cualquier punto. Esto implica que dos puntos cualesquiera de una variedad de Riemann completa, simplemente conexa, con curvatura seccional no positiva están unidos por una geodésica única.
2. El flujo geodésico de cualquier variedad riemanniana compacta con curvatura seccional negativa es ergódico .
3. Si M es una variedad riemanniana completa con curvatura seccional acotada por encima por una constante estrictamente negativa k, entonces es un espacio CAT( k ) . En consecuencia, su grupo fundamental Γ =  π ₁ ( M ) es hiperbólico de Gromov . Esto tiene muchas implicaciones para la estructura del grupo fundamental:

• se presenta finitamente ;
• El problema verbal para Γ tiene una solución positiva;
• el grupo Γ tiene dimensión cohomológica virtual finita ;
• contiene sólo un número finito de clases de conjugación de elementos de orden finito ;
• Los subgrupos abelianos de Γ son virtualmente cíclicos , de modo que no contiene un subgrupo isomorfo a Z × Z .

1. Teorema de Myers . Si una variedad riemanniana completa tiene curvatura de Ricci positiva, entonces su grupo fundamental es finito.
2. Fórmula de Bochner . Si una variedad riemanniana compacta de n -variedades tiene una curvatura de Ricci no negativa, entonces su primer número de Betti es como máximo n , con igualdad si y solo si la variedad riemanniana es un toro plano.
3. Teorema de desdoblamiento . Si una variedad de Riemann completa de dimensión n tiene una curvatura de Ricci no negativa y una línea recta (es decir, una geodésica que minimiza la distancia en cada intervalo), entonces es isométrica a un producto directo de la línea real y una variedad de Riemann completa de dimensión ( n -1) que tiene una curvatura de Ricci no negativa.
4. Desigualdad de Bishop-Gromov . El volumen de una bola métrica de radio r en una variedad riemanniana completa de n dimensiones con curvatura de Ricci positiva tiene un volumen como máximo igual al volumen de una bola del mismo radio r en el espacio euclidiano.
5. Teorema de compacidad de Gromov . El conjunto de todas las variedades de Riemann con curvatura de Ricci positiva y diámetro como máximo D es precompacto en la métrica de Gromov-Hausdorff .

1. El grupo de isometría de una variedad riemanniana compacta con curvatura de Ricci negativa es discreto .
2. Cualquier variedad suave de dimensión n ≥ 3 admite una métrica riemanniana con curvatura de Ricci negativa. ^[4] ( Esto no es cierto para las superficies ).

1. El toro n -dimensional no admite una métrica con curvatura escalar positiva.
2. Si el radio de inyectividad de una variedad riemanniana compacta n -dimensional es ≥ π, entonces la curvatura escalar promedio es como máximo n ( n -1).

• Forma del universo
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general
• Coordenadas normales
• Geometría sistólica
• Geometría de Riemann-Cartan en la teoría de Einstein-Cartan (motivación)
• Superficie mínima de Riemann
• Fórmula de Reilly

Libros

• Berger, Marcel (2000), Geometría de Riemann durante la segunda mitad del siglo XX , University Lecture Series, vol. 17, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2052-4(Proporciona una revisión y un estudio histórico, incluyendo cientos de referencias).
• Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (2008), Teoremas de comparación en geometría de Riemann , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing;Reimpresión revisada del original de 1975.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004), Geometría de Riemann , Universitext (3.ª ed.), Berlín: Springer-Verlag.
• Jost, Jürgen (2002), Geometría riemanniana y análisis geométrico , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Petersen, Peter (2006), Geometría de Riemann , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4

• De Riemann a la geometría diferencial y la relatividad (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos y Sumio Yamada, eds.) Springer, 2017, XXXIV, 647 págs. ISBN 978-3-319-60039-0 

Papeles

• Brendle, Simon ; Schoen, Richard M. (2008), "Clasificación de variedades con curvaturas débilmente pellizcadas 1/4", Acta Math , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , Bibcode :2007arXiv0705.3963B, doi :10.1007/s11511-008-0022-7, S2CID  15463483

• Geometría de Riemann de VA Toponogov en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. , "Geometría de Riemann", MathWorld