Número ordinal

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En teoría de conjuntos , un número ordinal , u ordinal , es una generalización de los numerales ordinales (primero, segundo, n -ésimo, etc.) cuyo objetivo es extender la enumeración a conjuntos infinitos . ^[1]

Un conjunto finito puede enumerarse etiquetando sucesivamente cada elemento con el menor número natural que no haya sido usado previamente. Para extender este proceso a varios conjuntos infinitos , los números ordinales se definen de manera más general usando variables de letras griegas ordenadas linealmente que incluyen los números naturales y tienen la propiedad de que cada conjunto de ordinales tiene un elemento menor o "más pequeño" (esto es necesario para dar un significado a "el menor elemento no usado"). ^[2] Esta definición más general nos permite definir un número ordinal (omega) como el menor elemento que es mayor que cada número natural, junto con los números ordinales ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , etc., que son incluso mayores que ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +2}$${\displaystyle \omega }$

Un orden lineal tal que cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo se denomina bien ordenado . El axioma de elección implica que cada conjunto puede estar bien ordenado y, dados dos conjuntos bien ordenados, uno es isomorfo a un segmento inicial del otro. Por lo tanto, los números ordinales existen y son esencialmente únicos.

Los números ordinales son distintos de los números cardinales , que miden el tamaño de los conjuntos. Aunque la distinción entre ordinales y cardinales no siempre es evidente en los conjuntos finitos (se puede pasar de uno a otro simplemente contando las etiquetas), son muy diferentes en el caso infinito, donde diferentes ordinales infinitos pueden corresponder a conjuntos que tienen el mismo cardinal. Al igual que otros tipos de números, los ordinales se pueden sumar, multiplicar y potenciar , aunque ninguna de estas operaciones es conmutativa .

Los ordinales fueron introducidos por Georg Cantor en 1883 ^[3] para dar cabida a secuencias infinitas y clasificar conjuntos derivados , que había introducido previamente en 1872 mientras estudiaba la unicidad de las series trigonométricas . ^[4]

Un número natural (que, en este contexto, incluye el número 0 ) puede utilizarse con dos propósitos: para describir el tamaño de un conjunto o para describir la posición de un elemento en una secuencia. Cuando se restringe a conjuntos finitos, estos dos conceptos coinciden, ya que todos los órdenes lineales de un conjunto finito son isomorfos .

Sin embargo, cuando se trabaja con conjuntos infinitos, hay que distinguir entre la noción de tamaño, que conduce a los números cardinales , y la noción de posición, que conduce a los números ordinales descritos aquí. Esto se debe a que, si bien cualquier conjunto tiene un solo tamaño (su cardinalidad ), existen muchos ordenamientos no isomorfos de cualquier conjunto infinito, como se explica a continuación.

Mientras que la noción de número cardinal se asocia con un conjunto sin una estructura particular, los ordinales están íntimamente vinculados con el tipo especial de conjuntos que se denominan bien ordenados . Un conjunto bien ordenado es un conjunto totalmente ordenado en el que cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo (un conjunto totalmente ordenado es un conjunto ordenado tal que, dados dos elementos distintos, uno es menor que el otro). De manera equivalente, asumiendo el axioma de elección dependiente , es un conjunto totalmente ordenado sin ninguna secuencia infinita decreciente, aunque puede haber infinitas secuencias crecientes. Los ordinales pueden usarse para etiquetar los elementos de cualquier conjunto bien ordenado dado (el elemento más pequeño se etiqueta como 0, el siguiente como 1, el siguiente como 2, "y así sucesivamente"), y para medir la "longitud" de todo el conjunto por el ordinal más pequeño que no es una etiqueta para un elemento del conjunto. Esta "longitud" se llama el tipo de orden del conjunto.

Cualquier ordinal se define por el conjunto de ordinales que lo preceden. De hecho, la definición más común de ordinales identifica cada ordinal como el conjunto de ordinales que lo preceden. Por ejemplo, el ordinal 42 se identifica generalmente como el conjunto {0, 1, 2, ..., 41}. Por el contrario, cualquier conjunto S de ordinales que esté cerrado hacia abajo (es decir, que para cualquier ordinal α en S y cualquier ordinal β < α, β también está en S ) es (o puede identificarse con) un ordinal.

Esta definición de ordinales en términos de conjuntos permite la existencia de ordinales infinitos. El ordinal infinito más pequeño es ⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ , que puede identificarse con el conjunto de los números naturales (de modo que el ordinal asociado a cada número natural precede a ). De hecho, el conjunto de los números naturales está bien ordenado (como lo está cualquier conjunto de ordinales) y, dado que es cerrado hacia abajo, puede identificarse con el ordinal asociado a él.${\displaystyle \omega }$

Tal vez se pueda tener una idea más clara de los ordinales examinando algunos de ellos: como se mencionó anteriormente, comienzan con los números naturales, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Después de todos los números naturales viene el primer ordinal infinito, ω, y después vienen ω+1, ω+2, ω+3, y así sucesivamente. (Más adelante definiremos exactamente qué significa la adición: considérelos simplemente como nombres). Después de todos estos vienen ω·2 (que es ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, y así sucesivamente, luego ω·3, y luego más tarde ω·4. Ahora bien, el conjunto de ordinales formado de esta manera (el ω· m + n , donde m y n son números naturales) debe tener un ordinal asociado a él: y ese es ω ² . Más adelante, habrá ω ³ , luego ω ⁴ , y así sucesivamente, y ω ^ω , luego ω ^{ω ω} , luego más tarde ω ^{ω ω ω} , y aún más tarde ε ₀ ( épsilon cero ) (para dar algunos ejemplos de ordinales relativamente pequeños —contables—). Esto puede continuar indefinidamente (ya que cada vez que uno dice "y así sucesivamente" al enumerar ordinales, define un ordinal más grande). El ordinal incontable más pequeño es el conjunto de todos los ordinales contables, expresado como ω ₁ o ⁠ ⁠${\displaystyle \Omega }$ . ^[5]

En un conjunto bien ordenado , cada subconjunto no vacío contiene un elemento más pequeño distinto. Dado el axioma de elección dependiente , esto equivale a decir que el conjunto está totalmente ordenado y no hay una secuencia infinita decreciente (siendo esto último más fácil de visualizar). En la práctica, la importancia del buen orden se justifica por la posibilidad de aplicar la inducción transfinita , que dice, esencialmente, que cualquier propiedad que pase de los predecesores de un elemento a ese elemento mismo debe ser verdadera para todos los elementos (del conjunto bien ordenado dado). Si los estados de un cómputo (programa de computadora o juego) pueden estar bien ordenados, de tal manera que cada paso sea seguido por un paso "inferior", entonces el cómputo terminará.

No es apropiado distinguir entre dos conjuntos bien ordenados si solo difieren en el "etiquetado de sus elementos", o más formalmente: si los elementos del primer conjunto pueden emparejarse con los elementos del segundo conjunto de tal manera que si un elemento es más pequeño que otro en el primer conjunto, entonces el compañero del primer elemento es más pequeño que el compañero del segundo elemento en el segundo conjunto, y viceversa. Tal correspondencia uno a uno se llama isomorfismo de orden , y se dice que los dos conjuntos bien ordenados son isomorfos en orden o similares (en el entendimiento de que esta es una relación de equivalencia ).

Formalmente, si se define un orden parcial ≤ en el conjunto S , y se define un orden parcial ≤' en el conjunto S' , entonces los conjuntos parciales ( S ,≤) y ( S' ,≤') son isomorfos en orden si existe una biyección f que preserva el orden. Es decir, f ( a ) ≤' f ( b ) si y solo si a ≤ b . Siempre que exista un isomorfismo de orden entre dos conjuntos bien ordenados, el isomorfismo de orden es único: esto hace que sea bastante justificable considerar los dos conjuntos como esencialmente idénticos y buscar un representante "canónico" del tipo (clase) de isomorfismo. Esto es exactamente lo que proporcionan los ordinales, y también proporciona un etiquetado canónico de los elementos de cualquier conjunto bien ordenado. Todo conjunto bien ordenado ( S ,<) es isomorfo en orden al conjunto de ordinales menores que un número ordinal específico bajo su orden natural. Este conjunto canónico es el tipo de orden de ( S ,<).

En esencia, se pretende definir un ordinal como una clase de isomorfismo de conjuntos bien ordenados: es decir, como una clase de equivalencia para la relación de equivalencia de "ser isomorfo en cuanto al orden". Sin embargo, existe una dificultad técnica en el hecho de que la clase de equivalencia es demasiado grande para ser un conjunto en la formalización habitual de Zermelo-Fraenkel (ZF) de la teoría de conjuntos. Pero esto no es una dificultad grave. Se puede decir que el ordinal es el tipo de orden de cualquier conjunto de la clase.

La definición original de números ordinales, que se encuentra por ejemplo en los Principia Mathematica , define el tipo de orden de un buen ordenamiento como el conjunto de todos los buenos ordenamientos similares (isomorfos al orden) a ese buen ordenamiento: en otras palabras, un número ordinal es genuinamente una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados. Esta definición debe abandonarse en ZF y sistemas relacionados de teoría axiomática de conjuntos porque estas clases de equivalencia son demasiado grandes para formar un conjunto. Sin embargo, esta definición todavía puede usarse en la teoría de tipos y en la teoría axiomática de conjuntos de Quine, New Foundations y sistemas relacionados (donde ofrece una solución alternativa bastante sorprendente a la paradoja de Burali-Forti del ordinal más grande).

En lugar de definir un ordinal como una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados, se lo definirá como un conjunto bien ordenado particular que (canónicamente) representa la clase. Por lo tanto, un número ordinal será un conjunto bien ordenado; y cada conjunto bien ordenado será isomorfo en orden a exactamente un número ordinal.

Para cada conjunto bien ordenado T , se define un isomorfismo de orden entre T y el conjunto de todos los subconjuntos de T que tienen la forma ordenados por inclusión. Esto motiva la definición estándar, sugerida por John von Neumann a la edad de 19 años, ahora llamada definición de ordinales de von Neumann : "cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales más pequeños". En símbolos, ⁠ ⁠ . ^{[6] [7]} Formalmente:${\displaystyle a\mapsto T_{<a}}$${\displaystyle T_{<a}:=\{x\in T\mid x<a\}}$${\displaystyle \lambda =[0,\lambda )}$

Un conjunto S es un ordinal si y sólo si S está estrictamente bien ordenado con respecto a la pertenencia al conjunto y cada elemento de S es también un subconjunto de S.

Los números naturales son, por tanto, ordinales según esta definición. Por ejemplo, 2 es un elemento de 4 = {0, 1, 2, 3}, y 2 es igual a {0, 1} y, por tanto, es un subconjunto de {0, 1, 2, 3} .

Se puede demostrar por inducción transfinita que todo conjunto bien ordenado es isomorfo en orden a exactamente uno de estos ordinales, es decir, hay una función biyectiva que preserva el orden entre ellos.

Además, los elementos de cada ordinal son ordinales en sí mismos. Dados dos ordinales S y T , S es un elemento de T si y solo si S es un subconjunto propio de T . Además, o bien S es un elemento de T , o bien T es un elemento de S , o bien son iguales. Por lo tanto, todo conjunto de ordinales está totalmente ordenado . Además, todo conjunto de ordinales está bien ordenado. Esto generaliza el hecho de que todo conjunto de números naturales está bien ordenado.

En consecuencia, todo ordinal S es un conjunto que tiene como elementos precisamente los ordinales menores que S . Por ejemplo, todo conjunto de ordinales tiene un supremo , el ordinal que se obtiene tomando la unión de todos los ordinales del conjunto. Esta unión existe independientemente del tamaño del conjunto, por el axioma de unión .

La clase de todos los ordinales no es un conjunto. Si lo fuera, se podría demostrar que es un ordinal y, por lo tanto, un miembro de sí mismo, lo que contradeciría su ordenación estricta por pertenencia. Esta es la paradoja de Burali-Forti . La clase de todos los ordinales se denomina de diversas formas: "Ord", "ON" o "∞".

Un ordinal es finito si y solo si el orden opuesto también está bien ordenado, lo que es el caso si y solo si cada uno de sus subconjuntos no vacíos tiene un máximo .

Existen otras formulaciones modernas de la definición de ordinal. Por ejemplo, suponiendo el axioma de regularidad , los siguientes son equivalentes para un conjunto x :

• x es un ordinal (de von Neumann),
• x es un conjunto transitivo y la pertenencia al conjunto es tricotómica en x ,
• x es un conjunto transitivo totalmente ordenado por inclusión de conjuntos,
• x es un conjunto transitivo de conjuntos transitivos.

Estas definiciones no se pueden utilizar en teorías de conjuntos que no estén bien fundamentadas . En teorías de conjuntos con urelementos , hay que asegurarse además de que la definición excluya la aparición de urelementos en ordinales.

Si α es cualquier ordinal y X es un conjunto, una secuencia de elementos de X indexada en α es una función de α a X. Este concepto, una secuencia transfinita (si α es infinito) o secuencia indexada en ordinal , es una generalización del concepto de secuencia . Una secuencia ordinaria corresponde al caso α = ω, mientras que una α finita corresponde a una tupla , también conocida como cadena .

La inducción transfinita es válida en cualquier conjunto bien ordenado , pero es tan importante en relación con los ordinales que vale la pena repetirla aquí.

Cualquier propiedad que pase del conjunto de ordinales menores que un ordinal dado α a α mismo, es verdadera para todos los ordinales.

Es decir, si P (α) es verdadera siempre que P (β) es verdadera para todo β < α , entonces P (α) es verdadera para todo α. O, de manera más práctica: para demostrar una propiedad P para todos los ordinales α, se puede suponer que ya se conoce para todos los β < α más pequeños .

La inducción transfinita puede utilizarse no sólo para demostrar cosas, sino también para definirlas. Normalmente se dice que una definición de este tipo se realiza por recursión transfinita : la prueba de que el resultado está bien definido utiliza la inducción transfinita. Sea F una función (de clase) F que se definirá en los ordinales. La idea ahora es que, al definir F (α) para un ordinal α no especificado, se puede suponer que F (β) ya está definida para todo β < α y así dar una fórmula para F (α) en términos de estos F (β). Entonces se sigue por inducción transfinita que hay una y sólo una función que satisface la fórmula de recursión hasta α inclusive.

He aquí un ejemplo de definición por recursión transfinita sobre los ordinales (se dará más información más adelante): defina la función F haciendo que F (α) sea el ordinal más pequeño que no esté en el conjunto { F (β) | β < α} , es decir, el conjunto que consiste en todos los F (β) para β < α . Esta definición supone que el F (β) se conoce en el proceso mismo de definición de F ; este aparente círculo vicioso es exactamente lo que permite la definición por recursión transfinita. De hecho, F (0) tiene sentido ya que no hay ningún ordinal β < 0 , y el conjunto { F (β) | β < 0} está vacío. Por lo tanto, F (0) es igual a 0 (el ordinal más pequeño de todos). Ahora que se conoce F (0), la definición aplicada a F (1) tiene sentido (es el ordinal más pequeño que no está en el conjunto singleton { F (0)} = {0} ), y así sucesivamente (el y así sucesivamente es exactamente inducción transfinita). Resulta que este ejemplo no es muy interesante, ya que es demostrable que F (α) = α para todos los ordinales α, lo que se puede demostrar, con precisión, mediante inducción transfinita.

Cualquier ordinal distinto de cero tiene como elemento mínimo el cero. Puede tener o no un elemento máximo. Por ejemplo, 42 tiene como máximo 41 y ω+6 tiene como máximo ω+5. Por otro lado, ω no tiene un máximo ya que no existe un número natural más grande. Si un ordinal tiene como máximo α, entonces es el ordinal siguiente a α, y se le llama ordinal sucesor , es decir, el sucesor de α, escrito α+1. En la definición de von Neumann de ordinales, el sucesor de α es ya que sus elementos son los de α y α mismo. ^[6]${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}$

Un ordinal distinto de cero que no es sucesor se denomina ordinal límite . Una justificación de este término es que un ordinal límite es el límite en un sentido topológico de todos los ordinales más pequeños (según la topología de orden ).

Cuando es una sucesión indexada por ordinales, indexada por un límite y la sucesión es creciente , es decir, siempre que su límite se defina como la cota superior mínima del conjunto , es decir, el ordinal más pequeño (siempre existe) mayor que cualquier término de la sucesión. En este sentido, un ordinal límite es el límite de todos los ordinales más pequeños (indexado por sí mismo). Dicho de forma más directa, es el supremo del conjunto de ordinales más pequeños.${\displaystyle \langle \alpha _{\iota }|\iota <\gamma \rangle }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha _{\iota }<\alpha _{\rho }}$${\displaystyle \iota <\rho ,}$${\displaystyle \{\alpha _{\iota }|\iota <\gamma \},}$

Otra forma de definir un ordinal límite es decir que α es un ordinal límite si y solo si:

Existe un ordinal menor que α y siempre que ζ es un ordinal menor que α, entonces existe un ordinal ξ tal que ζ < ξ < α.

Así que en la siguiente secuencia:

0, 1, 2, ..., ω, ω+1

ω es un ordinal límite porque para cualquier ordinal menor (en este ejemplo, un número natural) hay otro ordinal (número natural) mayor que él, pero aún menor que ω.

Por lo tanto, cada ordinal es cero, sucesor (de un predecesor bien definido) o límite. Esta distinción es importante, porque muchas definiciones por recursión transfinita se basan en ella. Muy a menudo, al definir una función F por recursión transfinita sobre todos los ordinales, se define F (0) y F (α+1) suponiendo que F (α) está definida, y luego, para los ordinales límite δ se define F (δ) como el límite de F (β) para todos los β<δ (ya sea en el sentido de límites ordinales, como se explicó anteriormente, o para alguna otra noción de límite si F no toma valores ordinales). Por lo tanto, el paso interesante en la definición es el paso sucesor, no los ordinales límite. Tales funciones (especialmente para F no decreciente y que toma valores ordinales) se llaman continuas. La adición, multiplicación y exponenciación de ordinales son continuas como funciones de su segundo argumento (pero se pueden definir de forma no recursiva).

Cualquier conjunto bien ordenado es similar (isomorfo en orden) a un número ordinal único ; en otras palabras, sus elementos pueden ser indexados de manera creciente por los ordinales menores que ⁠ ⁠ . Esto se aplica, en particular, a cualquier conjunto de ordinales: cualquier conjunto de ordinales está indexado naturalmente por los ordinales menores que algún ⁠ ⁠ . Lo mismo se aplica, con una ligera modificación, a las clases de ordinales (una colección de ordinales, posiblemente demasiado grande para formar un conjunto, definida por alguna propiedad): cualquier clase de ordinales puede ser indexada por ordinales (y, cuando la clase no está acotada en la clase de todos los ordinales, esto la pone en biyección de clase con la clase de todos los ordinales). De modo que se puede hablar libremente del -ésimo elemento de la clase (con la convención de que el "0-ésimo" es el más pequeño, el "1-er" es el siguiente más pequeño, y así sucesivamente). Formalmente, la definición es por inducción transfinita: el -ésimo elemento de la clase se define (siempre que ya haya sido definido para todos los ), como el elemento más pequeño mayor que el -ésimo elemento para todos los ⁠ ⁠ .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \beta <\gamma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta <\gamma }$

Esto podría aplicarse, por ejemplo, a la clase de ordinales límite: el -ésimo ordinal, que es un límite o cero es (ver aritmética ordinal para la definición de multiplicación de ordinales). De manera similar, uno puede considerar ordinales aditivamente indescomponibles (es decir, un ordinal distinto de cero que no es la suma de dos ordinales estrictamente más pequeños): el -ésimo ordinal aditivamente indescomponible se indexa como ⁠ ⁠ . La técnica de indexar clases de ordinales es a menudo útil en el contexto de puntos fijos: por ejemplo, el -ésimo ordinal tal que se escribe ⁠ ⁠ . Estos se llaman los " números épsilon ".${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega \cdot \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega ^{\gamma }}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }}$

Se dice que una clase de ordinales es ilimitada , o cofinal , cuando dado cualquier ordinal ⁠ ⁠ , hay un en tal que (entonces la clase debe ser una clase propia, es decir, no puede ser un conjunto). Se dice que es cerrada cuando el límite de una secuencia de ordinales en la clase está nuevamente en la clase: o, equivalentemente, cuando la función (de clase) de indexación es continua en el sentido de que, para un ordinal límite, (el -ésimo ordinal en la clase) es el límite de todos para ; esto también es lo mismo que estar cerrada, en el sentido topológico , para la topología de orden (para evitar hablar de topología en clases propias, se puede exigir que la intersección de la clase con cualquier ordinal dado esté cerrada para la topología de orden en ese ordinal, esto es nuevamente equivalente).${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha <\beta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle F(\delta )}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle F(\gamma )}$${\displaystyle \gamma <\delta }$

De particular importancia son aquellas clases de ordinales que son cerrados e ilimitados , a veces llamados clubes . Por ejemplo, la clase de todos los ordinales límite es cerrada e ilimitada: esto traduce el hecho de que siempre hay un ordinal límite mayor que un ordinal dado, y que un límite de ordinales límite es un ordinal límite (¡un hecho afortunado si la terminología tiene algún sentido!). La clase de ordinales aditivamente indescomponibles, o la clase de ordinales, o la clase de cardinales, son todas cerradas ilimitadas; el conjunto de cardinales regulares, sin embargo, es ilimitado pero no cerrado, y cualquier conjunto finito de ordinales es cerrado pero no ilimitado.${\displaystyle \varepsilon _{\cdot }}$

Una clase es estacionaria si tiene una intersección no vacía con cada clase no acotada cerrada. Todas las superclases de clases no acotadas cerradas son estacionarias, y las clases estacionarias son no acotadas, pero hay clases estacionarias que no son cerradas y clases estacionarias que no tienen subclases no acotadas cerradas (como la clase de todos los ordinales límite con cofinalidad contable). Dado que la intersección de dos clases no acotadas cerradas es cerrada e no acotada, la intersección de una clase estacionaria y una clase no acotada cerrada es estacionaria. Pero la intersección de dos clases estacionarias puede estar vacía, por ejemplo, la clase de ordinales con cofinalidad ω con la clase de ordinales con cofinalidad incontable.

En lugar de formular estas definiciones para clases (propias) de ordinales, se pueden formular para conjuntos de ordinales por debajo de un ordinal dado : Se dice que un subconjunto de un ordinal límite es ilimitado (o cofinal) bajo siempre que cualquier ordinal menor que sea menor que algún ordinal en el conjunto. De manera más general, se puede llamar cofinal a un subconjunto de cualquier ordinal en siempre que todo ordinal menor que sea menor o igual a algún ordinal en el conjunto. Se dice que el subconjunto es cerrado bajo siempre que sea cerrado para la topología de orden en ⁠ ⁠ , es decir, un límite de ordinales en el conjunto está en el conjunto o es igual a sí mismo.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Existen tres operaciones habituales con los ordinales: suma, multiplicación y exponenciación. Cada una de ellas puede definirse básicamente de dos formas diferentes: ya sea construyendo un conjunto explícito bien ordenado que represente la operación o utilizando la recursión transfinita. La forma normal de Cantor proporciona una forma estandarizada de escribir ordinales. Representa de forma única cada ordinal como una suma finita de potencias ordinales de ω. Sin embargo, esto no puede formar la base de una notación ordinal universal debido a representaciones autorreferenciales como ε ₀ = ω ^{ε ₀} .

Los ordinales son una subclase de la clase de números surrealistas , y las llamadas operaciones aritméticas "naturales" para números surrealistas son una forma alternativa de combinar ordinales aritméticamente. Conservan la conmutatividad a expensas de la continuidad.

Interpretados como nimbers , una variante de los números basada en la teoría de juegos, los ordinales también se pueden combinar mediante operaciones aritméticas de nimbers. Estas operaciones son conmutativas, pero la restricción a los números naturales no suele ser la misma que la de la suma ordinaria de números naturales.

Cada ordinal se asocia con un cardinal , su cardinalidad. Si hay una biyección entre dos ordinales (por ejemplo, ω = 1 + ω y ω + 1 > ω ), entonces se asocian con el mismo cardinal. Cualquier conjunto bien ordenado que tenga un ordinal como su tipo de orden tiene la misma cardinalidad que ese ordinal. El ordinal menos asociado con un cardinal dado se llama ordinal inicial de ese cardinal. Todo ordinal finito (número natural) es inicial, y ningún otro ordinal se asocia con su cardinal. Pero la mayoría de los ordinales infinitos no son iniciales, ya que muchos ordinales infinitos se asocian con el mismo cardinal. El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que todo conjunto puede estar bien ordenado, es decir, que todo cardinal tiene un ordinal inicial. En las teorías con el axioma de elección, el número cardinal de cualquier conjunto tiene un ordinal inicial, y se puede emplear la asignación cardinal de Von Neumann como representación del cardinal. (Sin embargo, debemos tener cuidado de distinguir entre aritmética cardinal y aritmética ordinal). En las teorías de conjuntos sin el axioma de elección, un cardinal puede representarse por el conjunto de conjuntos con esa cardinalidad que tiene rango mínimo (véase el truco de Scott ).

Un problema con el truco de Scott es que identifica el número cardinal con ⁠ ⁠ , que en algunas formulaciones es el número ordinal ⁠ ⁠ . Puede ser más claro aplicar la asignación cardinal de Von Neumann a casos finitos y usar el truco de Scott para conjuntos que son infinitos o no admiten buenos ordenamientos. Nótese que la aritmética cardinal y ordinal concuerdan para números finitos.${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{\emptyset \}}$${\displaystyle 1}$

El α-ésimo ordinal inicial infinito se escribe ⁠ ⁠${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ , siempre es un ordinal límite. Su cardinalidad se escribe ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ . Por ejemplo, la cardinalidad de ω ₀ = ω es ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$ , que también es la cardinalidad de ω ² o ε ₀ (todos son ordinales contables). Por lo tanto, ω se puede identificar con ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$ , excepto que la notación se usa cuando se escriben cardinales, y ω cuando se escriben ordinales (esto es importante ya que, por ejemplo, = mientras que ). Además, es el ordinal incontable más pequeño (para ver que existe, considere el conjunto de clases de equivalencia de buenos ordenamientos de los números naturales: cada buen ordenamiento define un ordinal contable, y es el tipo de orden de ese conjunto), es el ordinal más pequeño cuya cardinalidad es mayor que ⁠ ⁠ , y así sucesivamente, y es el límite de para números naturales n (cualquier límite de cardinales es un cardinal, por lo que este límite es de hecho el primer cardinal después de todo el ).${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}^{2}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega ^{2}>\omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

La cofinalidad de un ordinal es el ordinal más pequeño que es el tipo de orden de un subconjunto cofinal de ⁠ ⁠ . Nótese que varios autores definen la cofinalidad o la usan solo para ordinales límite. La cofinalidad de un conjunto de ordinales o cualquier otro conjunto bien ordenado es la cofinalidad del tipo de orden de ese conjunto.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$

Así, para un ordinal límite, existe una sucesión estrictamente creciente indexada con límite ⁠ ⁠ . Por ejemplo, la cofinalidad de ω ² es ω, porque la sucesión ω· m (donde m abarca los números naturales) tiende a ω ² ; pero, de forma más general, cualquier ordinal límite contable tiene cofinalidad ω. Un ordinal límite incontable puede tener cofinalidad ω como la tiene o una cofinalidad incontable.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{\omega }}$

La cofinalidad de 0 es 0. Y la cofinalidad de cualquier ordinal sucesor es 1. La cofinalidad de cualquier ordinal límite es al menos ⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ .

Un ordinal que es igual a su cofinalidad se llama regular y siempre es un ordinal inicial. Cualquier límite de ordinales regulares es un límite de ordinales iniciales y, por lo tanto, también es inicial incluso si no es regular, lo que generalmente no es. Si el axioma de elección, entonces es regular para cada α. En este caso, los ordinales 0, 1, ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , y son regulares, mientras que 2, 3, ⁠ ⁠ , y ω _ω·2 son ordinales iniciales que no son regulares.${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$

La cofinalidad de cualquier ordinal α es un ordinal regular, es decir, la cofinalidad de la cofinalidad de α es la misma que la cofinalidad de α . Por lo tanto, la operación de cofinalidad es idempotente .

Como se mencionó anteriormente (ver forma normal de Cantor ), el ordinal ε ₀ es el más pequeño que satisface la ecuación ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$ , por lo que es el límite de la secuencia 0, 1, ⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$ , etc. Muchos ordinales se pueden definir de tal manera como puntos fijos de ciertas funciones ordinales (el -ésimo ordinal tal que se llama ⁠ ⁠ , luego uno podría seguir tratando de encontrar el -ésimo ordinal tal que ⁠ ⁠ , "y así sucesivamente", pero toda la sutileza radica en el "y así sucesivamente"). Uno podría tratar de hacer esto sistemáticamente, pero no importa qué sistema se use para definir y construir ordinales, siempre hay un ordinal que se encuentra justo por encima de todos los ordinales construidos por el sistema. Tal vez el ordinal más importante que limita un sistema de construcción de esta manera es el ordinal de Church-Kleene ( a pesar de que en el nombre, este ordinal es contable), que es el ordinal más pequeño que no puede ser representado de ninguna manera por una función computable (esto puede hacerse rigurosamente, por supuesto). Sin embargo, se pueden definir ordinales considerablemente grandes a continuación , que miden la "fuerza de la teoría de la prueba" de ciertos sistemas formales (por ejemplo, mide la fuerza de la aritmética de Peano ). También se pueden definir ordinales contables grandes, como los ordinales contables admisibles , por encima del ordinal de Church-Kleene, que son de interés en varias partes de la lógica. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varepsilon _{\iota }}$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Cualquier número ordinal puede convertirse en un espacio topológico dotándolo de la topología de orden ; esta topología es discreta si y solo si el ordinal es un cardinal contable, es decir, como máximo ω. Un subconjunto de ω + 1 es abierto en la topología de orden si y solo si es cofinito o no contiene a ω como elemento.

Consulte la sección Topología y ordinales del artículo "Topología de orden".

Los números ordinales transfinitos, que aparecieron por primera vez en 1883, ^[8] se originaron en el trabajo de Cantor con conjuntos derivados . Si P es un conjunto de números reales, el conjunto derivado P ′ es el conjunto de puntos límite de P . En 1872, Cantor generó los conjuntos P ^{( n )} aplicando la operación de conjunto derivado n veces a P . En 1880, señaló que estos conjuntos forman la secuencia P' ⊇ ··· ⊇ P ^{( n )} ⊇ P ^{( n + 1)} ⊇ ···, y continuó el proceso de derivación definiendo P ^(∞) como la intersección de estos conjuntos. Luego iteró la operación de conjunto derivada y las intersecciones para extender su secuencia de conjuntos hasta el infinito: P ^(∞) ⊇ P ^{(∞ + 1)} ⊇ P ^{(∞ + 2)} ⊇ ··· ⊇ P ^(2∞) ⊇ ··· ⊇ P ^{(∞ 2 )} ⊇ ···. ^[9] Los superíndices que contienen ∞ son simplemente índices definidos por el proceso de derivación. ^[10]

Cantor utilizó estos conjuntos en los teoremas:

Estos teoremas se demuestran dividiendo P ′ en conjuntos disjuntos por pares : P ′ = ( P ′ \ P ⁽²⁾ ) ∪ ( P ⁽²⁾ \ P ⁽³⁾ ) ∪ ··· ∪ ( P ^(∞) \ P ^{(∞ + 1)} ) ∪ ··· ∪ P ^{( α )} . Para β < α : dado que P ^{( β + 1)} contiene los puntos límite de P ^{( β )} , los conjuntos P ^{( β )} \ P ^{( β + 1)} no tienen puntos límite. Por lo tanto, son conjuntos discretos , por lo que son contables. Demostración del primer teorema: Si P ^{( α )} = ∅ para algún índice α , entonces P ′ es la unión contable de conjuntos contables. Por lo tanto, P ′ es contable. ^[11]

El segundo teorema requiere probar la existencia de un α tal que P ^{( α )} = ∅ . Para probar esto, Cantor consideró el conjunto de todos los α que tienen un número contable de predecesores. Para definir este conjunto, definió los números ordinales transfinitos y transformó los índices infinitos en ordinales reemplazando ∞ por ω , el primer número ordinal transfinito. Cantor llamó al conjunto de ordinales finitos la primera clase de números . La segunda clase de números es el conjunto de ordinales cuyos predecesores forman un conjunto contablemente infinito. El conjunto de todos los α que tienen un número contable de predecesores, es decir, el conjunto de ordinales contables, es la unión de estas dos clases de números. Cantor demostró que la cardinalidad de la segunda clase de números es la primera cardinalidad incontable. ^[12]

El segundo teorema de Cantor se convierte en: Si P ′ es numerable, entonces existe un ordinal numerable α tal que P ^{( α )} = ∅ . Su prueba utiliza la prueba por contradicción . Sea P ′ numerable y supongamos que no existe tal α. Esta suposición produce dos casos.

En ambos casos, P ′ es incontable, lo que contradice que P ′ sea contable. Por lo tanto, existe un ordinal contable α tal que P ^{( α )} = ∅ . El trabajo de Cantor con conjuntos derivados y números ordinales condujo al teorema de Cantor-Bendixson . ^[14]

Usando sucesores, límites y cardinalidad, Cantor generó una secuencia ilimitada de números ordinales y clases numéricas. ^[15] La ( α + 1) -ésima clase numérica es el conjunto de ordinales cuyos predecesores forman un conjunto de la misma cardinalidad que la α -ésima clase numérica. La cardinalidad de la ( α + 1) -ésima clase numérica es la cardinalidad inmediatamente siguiente a la de la α -ésima clase numérica. ^[16] Para un ordinal límite α , la α -ésima clase numérica es la unión de las β -ésimas clases numéricas para β < α . ^[17] Su cardinalidad es el límite de las cardinalidades de estas clases numéricas.

Si n es finito, la n -ésima clase numérica tiene cardinalidad ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{n-1}}$ . Si α ≥ ω , la α -ésima clase numérica tiene cardinalidad ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ . ^[18] Por lo tanto, las cardinalidades de las clases numéricas se corresponden uno a uno con los números aleph . Además, la α -ésima clase numérica consta de ordinales diferentes de los de las clases numéricas anteriores si y solo si α es un ordinal no límite. Por lo tanto, las clases numéricas no límite dividen los ordinales en conjuntos disjuntos por pares.

• Cálculo
• Ordinales pares e impares
• Primer ordinal incontable
• Espacio ordinal
• Número surrealista , una generalización de los ordinales que incluye valores negativos, reales e infinitesimales.

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Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Números ordinales .

• "Número ordinal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Números ordinales en ProvenMath
• Calculadora ordinal Software libre con licencia GPL para realizar cálculos con ordinales y notaciones ordinales
• El capítulo 4 de las notas de clase de Don Monk sobre la teoría de conjuntos es una introducción a los ordinales.