Conjunto derivado (matemáticas)

En matemáticas, más específicamente en topología de conjuntos de puntos , el conjunto derivado de un subconjunto de un espacio topológico es el conjunto de todos los puntos límite de Suele denotarse por${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S.}$${\displaystyle S'.}$

El concepto fue introducido por primera vez por Georg Cantor en 1872 y desarrolló la teoría de conjuntos en gran parte para estudiar los conjuntos derivados en la línea real .

El conjunto derivado de un subconjunto de un espacio topológico denotado por es el conjunto de todos los puntos que son puntos límite de , es decir, puntos tales que cada vecindad de contiene un punto de distinto de él mismo.${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización X,}$${\estilo de visualización S',}$${\displaystyle x\en X}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización x}$

Si está dotado de su topología euclidiana habitual , entonces el conjunto derivado del intervalo semiabierto es el intervalo cerrado.${\displaystyle \mathbb {R}}$ ${\estilo de visualización [0,1)}$ ${\estilo de visualización [0,1].}$

Consideremos la topología (conjuntos abiertos) que consta del conjunto vacío y cualquier subconjunto de éste que contenga 1. El conjunto derivado de es ^[1]${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle A:=\{1\}}$${\displaystyle A'=\mathbb {R} \setminus \{1\}.}$

Si y son subconjuntos del espacio topológico entonces el conjunto derivado tiene las siguientes propiedades: ^[2]${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle (X,{\mathcal {F}}),}$

• ${\displaystyle \varnothing '=\varnothing }$
• ${\displaystyle a\en A'}$implica${\displaystyle a\en (A\setmenos \{a\})'}$
• ${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cup B'}$
• ${\displaystyle A\subseteq B}$implica${\displaystyle A'\subseteq B'}$

Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado precisamente cuando ^[1] es decir, cuando contiene todos sus puntos límite. Para cualquier subconjunto el conjunto es cerrado y es la clausura de (es decir, el conjunto ). ^[3]${\estilo de visualización S}$${\displaystyle S'\subseteq S,}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S,}$${\displaystyle S\cup S'}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle {\overline {S}}}$

El conjunto derivado de un subconjunto de un espacio no necesita ser cerrado en general. Por ejemplo, si con la topología trivial , el conjunto tiene un conjunto derivado que no es cerrado en Pero el conjunto derivado de un conjunto cerrado siempre es cerrado. ^{[prueba 1]} Además, si es un espacio T ₁ , el conjunto derivado de cada subconjunto de es cerrado en ^{[4] [5]}${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle S=\{a\}}$${\displaystyle S'=\{b\},}$${\estilo de visualización X.}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X.}$

Dos subconjuntos y están separados precisamente cuando son disjuntos y cada uno es disjunto del conjunto derivado del otro ^[6]${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización T}$${\textstyle S'\cap T=\varnothing =T'\cap S.}$

Una biyección entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si y sólo si el conjunto derivado de la imagen (en el segundo espacio) de cualquier subconjunto del primer espacio es la imagen del conjunto derivado de ese subconjunto. ^[7]

Un espacio es un espacio T ₁ si cada subconjunto que consiste en un único punto es cerrado. ^[8] En un espacio T _{1 , el conjunto derivado de un conjunto que consiste en un único elemento está vacío (el Ejemplo 2 anterior no es un espacio T 1} ). De ello se deduce que en espacios T ₁ , el conjunto derivado de cualquier conjunto finito está vacío y, además, para cualquier subconjunto y cualquier punto del espacio. En otras palabras, el conjunto derivado no se modifica añadiendo o quitando del conjunto dado un número finito de puntos. ^[9] También se puede demostrar que en un espacio T ₁ , para cualquier subconjunto ^[10]$${\displaystyle (S-\{p\})'=S'=(S\cup \{p\})',}$$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \left(S'\right)'\subseteq S'}$${\displaystyle S.}$

Un conjunto con (es decir, que no contiene puntos aislados ) se llama denso en sí mismo . Un conjunto con se llama conjunto perfecto . ^[11] De manera equivalente, un conjunto perfecto es un conjunto cerrado denso en sí mismo o, dicho de otra manera, un conjunto cerrado sin puntos aislados. Los conjuntos perfectos son particularmente importantes en las aplicaciones del teorema de la categoría de Baire .${\displaystyle S}$${\displaystyle S\subseteq S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=S'}$

El teorema de Cantor-Bendixson establece que cualquier espacio polaco puede escribirse como la unión de un conjunto numerable y un conjunto perfecto. Como cualquier subconjunto G _δ de un espacio polaco es a su vez un espacio polaco, el teorema también muestra que cualquier subconjunto G _δ de un espacio polaco es la unión de un conjunto numerable y un conjunto que es perfecto con respecto a la topología inducida .

Debido a que los homeomorfismos pueden describirse completamente en términos de conjuntos derivados, los conjuntos derivados se han utilizado como la noción primitiva en topología . Un conjunto de puntos puede equiparse con un operador que mapee subconjuntos de a subconjuntos de tal manera que para cualquier conjunto y cualquier punto :${\displaystyle X}$${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a\in S^{*}}$implica${\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{*}}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T}$implica${\displaystyle S^{*}\subseteq T^{*}.}$

Llamar a un conjunto cerrado si definirá una topología en el espacio en el que está el operador del conjunto derivado, es decir,${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$${\displaystyle S^{*}=S'.}$

Para los números ordinales, la derivada de Cantor - Bendixson -ésima de un espacio topológico se define aplicando repetidamente la operación de conjunto derivada usando recursión transfinita de la siguiente manera:${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }}$para ordinales límite ${\displaystyle \lambda .}$

La secuencia transfinita de las derivadas de Cantor-Bendixson de es decreciente y eventualmente debe ser constante. El ordinal más pequeño tal que se llama${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$Rango de Cantor-Bendixson${\displaystyle X.}$

Esta investigación sobre el proceso de derivación fue una de las motivaciones para la introducción de los números ordinales por Georg Cantor .

• Punto adherente  : Punto que pertenece a la clausura de algún subconjunto dado de un espacio topológico.
• Punto de condensación  : un análogo más fuerte del punto límitePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Punto aislado  – Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Punto límite  – Punto de agrupación en un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets

Pruebas

• Baker, Crump W. (1991), Introducción a la topología , Wm C. Brown Publishers, ISBN 0-697-05972-3
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Kuratowski, K. (1966), Topología , vol. 1, Academic Press, ISBN 0-12-429201-1
• Pervin, William J. (1964), Fundamentos de topología general , Academic Press

• Kechris, Alexander S. (1995). Teoría clásica de conjuntos descriptivos ( Textos de posgrado en matemáticas, 156.ª ed.). Springer. ISBN 978-0-387-94374-9.
• Sierpiński, Wacław F .; traducido por Krieger, C. Cecilia (1952). Topología general . Prensa de la Universidad de Toronto .

• Artículo de PlanetMath sobre la derivada de Cantor-Bendixson