Topología de órdenes

En matemáticas , una topología de orden es una topología específica que se puede definir sobre cualquier conjunto totalmente ordenado . Es una generalización natural de la topología de los números reales a conjuntos totalmente ordenados arbitrarios.

Si X es un conjunto totalmente ordenado, la topología de orden en X se genera por la subbase de "rayos abiertos"

${\displaystyle \{x\mid a<x\}}$

${\displaystyle \{x\mid x<b\}}$

para todo a, b en X. Siempre que X tenga al menos dos elementos, esto es equivalente a decir que los intervalos abiertos

${\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\}}$

Junto con los rayos anteriores, forman una base para la topología de orden. Los conjuntos abiertos en X son los conjuntos que son una unión de (posiblemente infinitos) tales intervalos y rayos abiertos.

Un espacio topológico X se denomina ordenable u linealmente ordenable ^[1] si existe un orden total en sus elementos tal que la topología de orden inducida por ese orden y la topología dada en X coinciden. La topología de orden convierte a X en un espacio de Hausdorff completamente normal .

Las topologías estándar en R , Q , Z y N son las topologías de orden.

Si Y es un subconjunto de X , X es un conjunto totalmente ordenado, entonces Y hereda un orden total de X . Por lo tanto, el conjunto Y tiene una topología de orden, la topología de orden inducido . Como subconjunto de X , Y también tiene una topología de subespacio . La topología de subespacio siempre es al menos tan fina como la topología de orden inducido, pero en general no son iguales.

Por ejemplo, considere el subconjunto Y = {−1} ∪ {1/ n  } _{n ∈ N} de los racionales . Bajo la topología de subespacio, el conjunto singleton {−1} es abierto en Y , pero bajo la topología de orden inducido, cualquier conjunto abierto que contenga −1 debe contener todos los miembros del espacio, excepto un número finito.

Aunque se muestra que la topología del subespacio de Y = {−1} ∪ {1/ n  } _{n ∈ N} en la sección anterior no se genera por el orden inducido en Y , no obstante es una topología de orden en Y ; de hecho, en la topología del subespacio cada punto está aislado (es decir, singleton { y } es abierto en Y para cada y en Y ), por lo que la topología del subespacio es la topología discreta en Y (la topología en la que cada subconjunto de Y es abierto), y la topología discreta en cualquier conjunto es una topología de orden. Para definir un orden total en Y que genere la topología discreta en Y , simplemente modifique el orden inducido en Y definiendo −1 como el mayor elemento de Y y, de lo contrario, manteniendo el mismo orden para los otros puntos, de modo que en este nuevo orden (llamémoslo < ₁ ) tengamos 1/ n < ₁ −1 para todo n  ∈  N . Entonces, en la topología de orden en Y generada por < ₁ , cada punto de Y está aislado en Y .

Deseamos definir aquí un subconjunto Z de un espacio topológico linealmente ordenado X tal que ningún orden total en Z genere la topología del subespacio en Z , de modo que la topología del subespacio no será una topología de orden aunque sea la topología del subespacio de un espacio cuya topología es una topología de orden.

Sea la línea real . El mismo argumento que antes muestra que la topología del subespacio en Z no es igual a la topología de orden inducida en Z , pero se puede demostrar que la topología del subespacio en Z no puede ser igual a ninguna topología de orden en Z .${\displaystyle Z=\{-1\}\cup (0,1)}$

Se sigue un argumento. Supongamos, a modo de contradicción, que existe un orden total estricto < en Z tal que la topología de orden generada por < es igual a la topología del subespacio en Z (nótese que no estamos asumiendo que < es el orden inducido en Z , sino más bien un orden total dado arbitrariamente en Z que genera la topología del subespacio).

Sea M  =  Z  \ {−1} = (0,1), entonces M es conexo , por lo que M es denso sobre sí mismo y no tiene huecos, con respecto a <. Si −1 no es el elemento más pequeño ni el más grande de Z , entonces y separa M , una contradicción. Supóngase sin pérdida de generalidad que −1 es el elemento más pequeño de Z . Como {−1} es abierto en Z , hay algún punto p en M tal que el intervalo (−1, p ) está vacío , por lo que p es el mínimo de M . Entonces M  \ { p } = (0, p ) ∪ ( p ,1) no es conexo con respecto a la topología del subespacio heredada de R . Por otro lado, la topología del subespacio de M  \ { p } heredada de la topología de orden de Z coincide con la topología de orden de M  \ { p } inducida por <, que es conexa ya que no hay huecos en M  \ { p } y es densa. Esto es una contradicción.${\displaystyle (-\infty ,-1)}$${\displaystyle (-1,\infty )}$

Se pueden dar varias variantes de la topología de orden:

• La topología de orden correcto ^[2] en X es la topología que tiene como base todos los intervalos de la forma , junto con el conjunto X .${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}}$
• La topología de orden izquierdo en X es la topología que tiene como base todos los intervalos de la forma , junto con el conjunto X .${\displaystyle (-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}}$

Las topologías de orden izquierdo y derecho se pueden utilizar para dar contraejemplos en topología general. Por ejemplo, la topología de orden izquierdo o derecho en un conjunto acotado proporciona un ejemplo de un espacio compacto que no es de Hausdorff.

La topología de orden izquierdo es la topología estándar utilizada para muchos propósitos de teoría de conjuntos en un álgebra de Boole . ^{[ aclaración necesaria ]}

Para cualquier número ordinal λ se pueden considerar los espacios de números ordinales

${\displaystyle [0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}}$

${\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}$

junto con la topología de orden natural. Estos espacios se denominan espacios ordinales . (Obsérvese que en la construcción habitual de números ordinales en teoría de conjuntos tenemos λ = [0, λ ) y λ + 1 = [0, λ ]). Obviamente, estos espacios son de mayor interés cuando λ es un ordinal infinito; para ordinales finitos, la topología de orden es simplemente la topología discreta .

Cuando λ = ω (el primer ordinal infinito), el espacio [0,ω) es simplemente N con la topología habitual (aún discreta), mientras que [0,ω] es la compactificación de un punto de N.

De particular interés es el caso cuando λ = ω ₁ , el conjunto de todos los ordinales contables y el primer ordinal incontable . El elemento ω ₁ es un punto límite del subconjunto [0,ω ₁ ) aunque ninguna secuencia de elementos en [0,ω ₁ ) tiene el elemento ω ₁ como su límite. En particular, [0,ω ₁ ] no es contable en primer lugar . Sin embargo, el subespacio [0,ω ₁ ) es contable en primer lugar, ya que el único punto en [0,ω _{1 ] sin una} base local contable es ω ₁ . Algunas propiedades adicionales incluyen

• ni [0,ω ₁ ) ni [0,ω ₁ ] son ​​separables o contables en segundo lugar
• [0,ω ₁ ] es compacto , mientras que [0,ω ₁ ) es secuencialmente compacto y contablemente compacto , pero no compacto ni paracompacto.

Cualquier número ordinal puede considerarse un espacio topológico si se le asigna la topología de orden (de hecho, los ordinales están bien ordenados , por lo que, en particular, están totalmente ordenados ). A menos que se especifique lo contrario, esta es la topología habitual que se les asigna a los ordinales. Además, si estamos dispuestos a aceptar una clase propia como espacio topológico, entonces podemos considerar de manera similar la clase de todos los ordinales como un espacio topológico con la topología de orden.

El conjunto de puntos límite de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales límite menores que α . Los ordinales sucesores (y cero) menores que α son puntos aislados en α . En particular, los ordinales finitos y ω son espacios topológicos discretos , y ningún ordinal más allá de eso es discreto. El ordinal α es compacto como espacio topológico si y solo si α es un ordinal sucesor o cero.

Los conjuntos cerrados de un ordinal límite α son precisamente los conjuntos cerrados en el sentido que ya hemos definido, es decir, aquellos que contienen un ordinal límite siempre que contengan todos los ordinales suficientemente grandes por debajo de él.

Cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto abierto de cualquier ordinal mayor. También podemos definir la topología de los ordinales de la siguiente manera inductiva : 0 es el espacio topológico vacío, α +1 se obtiene tomando la compactificación de un punto de α y, para δ un ordinal límite, δ está equipado con la topología límite inductiva . Nótese que si α es un ordinal sucesor, entonces α es compacto, en cuyo caso su compactificación de un punto α +1 es la unión disjunta de α y un punto.

Como espacios topológicos, todos los ordinales son Hausdorff e incluso normales . También son totalmente desconectados (los componentes conexos son puntos), dispersos (cada subespacio no vacío tiene un punto aislado; en este caso, basta con tomar el elemento más pequeño), de dimensión cero (la topología tiene una base clopen : aquí, escribimos un intervalo abierto ( β , γ ) como la unión de los intervalos clopen ( β , γ '+1) = [ β +1, γ '] para γ '< γ ). Sin embargo, no están extremalmente desconectados en general (hay conjuntos abiertos, por ejemplo los números pares de ω, cuya clausura no es abierta).

Los espacios topológicos ω ₁ y su sucesor ω ₁ +1 se utilizan frecuentemente como ejemplos de libros de texto de espacios topológicos incontables. Por ejemplo, en el espacio topológico ω ₁ +1, el elemento ω ₁ está en la clausura del subconjunto ω ₁ aunque ninguna secuencia de elementos en ω ₁ tenga el elemento ω ₁ como su límite: un elemento en ω ₁ es un conjunto contable; para cualquier secuencia de tales conjuntos, la unión de estos conjuntos es la unión de un número contable de conjuntos contables, por lo que siguen siendo contables; esta unión es una cota superior de los elementos de la secuencia, y por lo tanto del límite de la secuencia, si lo tiene.

El espacio ω ₁ es de primera numeración pero no de segunda numeración , y ω ₁ +1 no tiene ninguna de estas dos propiedades, a pesar de ser compacto . También es digno de notar que cualquier función continua desde ω ₁ hasta R (la línea real ) es eventualmente constante: por lo que la compactificación de Stone–Čech de ω ₁ es ω ₁ +1, al igual que su compactificación de un punto (en marcado contraste con ω, cuya compactificación de Stone–Čech es mucho mayor que ω).

Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una secuencia de elementos de X indexada en α simplemente significa una función de α a X. Este concepto, una secuencia transfinita o secuencia indexada en ordinal , es una generalización del concepto de secuencia . Una secuencia ordinaria corresponde al caso α = ω.

Si X es un espacio topológico, decimos que una secuencia de elementos de X indexada en α converge a un límite x cuando converge como una red , en otras palabras, cuando dado cualquier vecindario U de x hay un ordinal β < α tal que x _ι está en U para todo ι ≥ β .

Las secuencias indexadas en ordinales son más poderosas que las secuencias ordinarias (ω-indexadas) para determinar límites en topología: por ejemplo, ω ₁ es un punto límite de ω ₁ +1 (porque es un ordinal límite), y, de hecho, es el límite de la secuencia indexada en ω ₁ que asigna cualquier ordinal menor que ω ₁ a sí misma: sin embargo, no es el límite de ninguna secuencia ordinaria (ω-indexada) en ω ₁ , ya que cualquier límite de este tipo es menor o igual a la unión de sus elementos, que es una unión contable de conjuntos contables, por lo tanto, en sí misma contable.

Sin embargo, las secuencias indexadas ordinalmente no son lo suficientemente potentes para reemplazar redes (o filtros ) en general: por ejemplo, en la tabla de Tichonoff (el espacio del producto ), el punto de esquina es un punto límite (está en el cierre) del subconjunto abierto , pero no es el límite de una secuencia indexada ordinalmente.${\displaystyle (\omega _{1}+1)\times (\omega +1)}$${\displaystyle (\omega _{1},\omega )}$${\displaystyle \omega _{1}\times \omega }$

• Lista de topologías
• Topología de límite inferior
• Línea larga (topología)
• Continuo lineal
• Topología de órdenes (análisis funcional)
• Espacio parcialmente ordenado

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