Ordinales pares e impares

En matemáticas , los ordinales pares e impares extienden el concepto de paridad de los números naturales a los números ordinales . Son útiles en algunas demostraciones de inducción transfinita .

La literatura contiene algunas definiciones equivalentes de la paridad de un ordinal α:

• Todo ordinal límite (incluido el 0) es par. El sucesor de un ordinal par es impar, y viceversa. ^{[1] [2]}
• Sea α = λ + n , donde λ es un ordinal límite y n es un número natural. La paridad de α es la paridad de n . ^[3]
• Sea n el término finito de la forma normal de Cantor de α. La paridad de α es la paridad de n . ^[4]
• Sea α = ωβ + n , donde n es un número natural. La paridad de α es la paridad de n . ^[5]
• Si α = 2β, entonces α es par. En caso contrario, α = 2β + 1 y α es impar. ^{[5] [6]}

A diferencia del caso de los números enteros pares , no se puede caracterizar a los ordinales pares como números ordinales de la forma β2 = β + β. La multiplicación ordinal no es conmutativa, por lo que en general 2β ≠ β2. De hecho, el ordinal par ω + 4 no se puede expresar como β + β, y el número ordinal

(ω + 3)2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3

Ni siquiera es

Una aplicación sencilla de la paridad ordinal es la ley de idempotencia para la adición de cardinales (dado el teorema de buen ordenamiento ). Dado un cardinal infinito κ, o en general cualquier ordinal límite κ, κ es isomorfo en orden tanto a su subconjunto de ordinales pares como a su subconjunto de ordinales impares. Por lo tanto, se tiene la suma de cardinales κ + κ = κ. ^{[2] [7]}