Punto aislado

En matemáticas , un punto x se denomina punto aislado de un subconjunto S (en un espacio topológico X ) si x es un elemento de S y existe un entorno de x que no contiene ningún otro punto de S. Esto es equivalente a decir que el singleton { x } es un conjunto abierto en el espacio topológico S (considerado como un subespacio de X ). Otra formulación equivalente es: un elemento x de S es un punto aislado de S si y solo si no es un punto límite de S.

Si el espacio X es un espacio métrico , por ejemplo un espacio euclidiano , entonces un elemento x de S es un punto aislado de S si existe una bola abierta alrededor de x que contiene solo un número finito de elementos de S. Un conjunto de puntos que está formado solo por puntos aislados se denomina conjunto discreto o conjunto de puntos discretos (véase también espacio discreto ).

Todo subconjunto discreto S del espacio euclidiano debe ser numerable , ya que el aislamiento de cada uno de sus puntos junto con el hecho de que los racionales son densos en los reales significa que los puntos de S pueden ser mapeados inyectivamente sobre un conjunto de puntos con coordenadas racionales, de los cuales solo hay un número numerable. Sin embargo, no todo conjunto numerable es discreto, de los cuales los números racionales bajo la métrica euclidiana usual son el ejemplo canónico.

Un conjunto sin ningún punto aislado se dice que es denso en sí mismo (cada entorno de un punto contiene otros puntos del conjunto). Un conjunto cerrado sin ningún punto aislado se llama conjunto perfecto (contiene todos sus puntos límite y ningún punto aislado).

El número de puntos aislados es un invariante topológico , es decir, si dos espacios topológicos X, Y son homeomorfos , el número de puntos aislados en cada uno es igual.

Los espacios topológicos en los tres ejemplos siguientes se consideran subespacios de la línea real con la topología estándar.

• Para el conjunto el punto 0 es un punto aislado.${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2],}$
• Para el conjunto cada uno de los puntos ⁠ ⁠ es un punto aislado, pero 0 no es un punto aislado porque hay otros puntos en S tan cercanos a 0 como se desee.${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\puntos \},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}}$
• El conjunto de números naturales es un conjunto discreto.${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$

En el espacio topológico con topología el elemento a es un punto aislado, aunque pertenece a la clausura de (y por tanto, en cierto sentido, está "cerca" de a ). Tal situación no es posible en un espacio de Hausdorff .${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle \tau =\{\conjunto vacío,\{a\},X\},}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización \{a\}}$

El lema de Morse establece que los puntos críticos no degenerados de ciertas funciones están aislados.

Considérese el conjunto F de puntos x en el intervalo real (0,1) tales que cada dígito x _i de su representación binaria cumple las siguientes condiciones:

• O bien o bien${\displaystyle x_{i}=0}$${\displaystyle x_{i}=1.}$
• ${\displaystyle x_{i}=1}$sólo para un número finito de índices i .
• Si m denota el índice más grande tal que entonces${\displaystyle x_{m}=1,}$${\displaystyle x_{m-1}=0.}$
• Si y entonces se cumple exactamente una de las dos condiciones siguientes: o${\displaystyle x_{i}=1}$${\displaystyle yo<soy,}$$Estilo de visualización x_{i-1}=1$${\displaystyle x_{i+1}=1.}$

De manera informal, estas condiciones significan que cada dígito de la representación binaria que es igual a 1 pertenece a un par ...0110..., excepto ...010... al final.${\estilo de visualización x}$

Ahora bien, F es un conjunto explícito que consiste enteramente en puntos aislados pero tiene la propiedad contra-intuitiva de que su cierre es un conjunto incontable . ^[1]

Otro conjunto F con las mismas propiedades se puede obtener de la siguiente manera. Sea C el conjunto de Cantor de tercios medios , sean los intervalos componentes de , y sea F un conjunto que consiste en un punto de cada I _k . Como cada I _k contiene solo un punto de F , cada punto de F es un punto aislado. Sin embargo, si p es cualquier punto en el conjunto de Cantor, entonces cada entorno de p contiene al menos un I _k , y por lo tanto al menos un punto de F . De ello se deduce que cada punto del conjunto de Cantor se encuentra en la clausura de F , y por lo tanto F tiene clausura incontable.${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots ,I_{k},\ldots }$${\displaystyle [0,1]-C}$

• Acnódulo
• Punto adherente
• Punto de acumulación
• Nube de puntos

• Weisstein, Eric W. "Punto aislado". MathWorld .