Ordinal aditivamente indescomponible

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En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un ordinal aditivamente indescomponible α es cualquier número ordinal que no sea 0 tal que para cualquier , tenemos Los ordinales aditivamente indescomponibles fueron denominados números gamma por Cantor, ^{[1] p.20} y también se denominan números principales aditivos . La clase de ordinales aditivamente indescomponibles puede denotarse , del alemán "Hauptzahl". ^[2] Los ordinales aditivamente indescomponibles son precisamente aquellos ordinales de la forma para algún ordinal .${\displaystyle \beta ,\gamma <\alpha }$${\displaystyle \beta +\gamma <\alpha .}$${\displaystyle \mathbb {H}}$${\displaystyle \omega ^{\beta }}$${\estilo de visualización \beta}$

De la continuidad de la adición en su argumento derecho, obtenemos que si y α es aditivamente indescomponible, entonces${\displaystyle \beta <\alpha}$${\displaystyle \beta +\alpha =\alpha .}$

Obviamente 1 es aditivamente indescomponible, ya que ningún ordinal finito distinto de es aditivamente indescomponible. Además, es aditivamente indescomponible, ya que la suma de dos ordinales finitos sigue siendo finita. De manera más general, todo ordinal inicial infinito (un ordinal correspondiente a un número cardinal ) es aditivamente indescomponible.${\displaystyle 0+0<1.}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización \omega}$

La clase de números aditivamente indescomponibles es cerrada e ilimitada. Su función enumeratoria es normal , dada por .${\displaystyle \omega ^{\alpha }}$

La derivada de (que enumera sus puntos fijos) se escribe Los ordinales de esta forma (es decir, los puntos fijos de ) se denominan números épsilon . Por lo tanto, el número es el primer punto fijo de la secuencia${\displaystyle \omega ^{\alpha }}$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$${\displaystyle \omega ^{\alpha }}$${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}}}$ ${\displaystyle \omega ,\omega ^{\omega }\!,\omega ^{\omega ^{\omega }}\!\!,\ldots }$

Una noción similar puede definirse para la multiplicación. Si α es mayor que la identidad multiplicativa, 1, y β < α y γ < α implican β · γ < α , entonces α es multiplicativamente indecomponible. El ordinal finito 2 es multiplicativamente indecomponible ya que 1·1 = 1 < 2. Además de 2, los ordinales multiplicativamente indecomponibles (llamados números delta por Cantor ^{[1] p.20} ) son aquellos de la forma para cualquier ordinal α . Todo número épsilon es multiplicativamente indecomponible; y todo ordinal multiplicativamente indecomponible (distinto de 2) es aditivamente indecomponible. Los números delta (distinto de 2) son los mismos que los ordinales primos que son límites.${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\alpha }}\,}$

Los ordinales exponencialmente indescomponibles son iguales a los números épsilon, los ordinales tetracionalmente indescomponibles son iguales a los números zeta (puntos fijos de ), y así sucesivamente. Por lo tanto, es el primer ordinal que es -indescomponible para todo , donde denota la notación de flecha hacia arriba de Knuth . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$${\displaystyle \varphi _{\omega }(0)}$${\displaystyle \flecha arriba ^{n}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \flecha arriba}$

• Aritmética ordinal

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