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Las matemáticas son un campo de estudio que descubre y organiza métodos, teorías y teoremas que se desarrollan y prueban para las necesidades de las ciencias empíricas y de las matemáticas en sí. Existen muchas áreas de las matemáticas, que incluyen la teoría de números (el estudio de los números), el álgebra (el estudio de fórmulas y estructuras relacionadas), la geometría (el estudio de las formas y los espacios que las contienen), el análisis (el estudio de los cambios continuos) y la teoría de conjuntos (que actualmente se utiliza como base de todas las matemáticas).

Las matemáticas implican la descripción y manipulación de objetos abstractos que consisten en abstracciones de la naturaleza o, en las matemáticas modernas, entidades puramente abstractas que se estipula que tienen ciertas propiedades, llamadas axiomas . Las matemáticas utilizan la razón pura para demostrar propiedades de objetos, una prueba que consiste en una sucesión de aplicaciones de reglas deductivas a resultados ya establecidos. Estos resultados incluyen teoremas y axiomas previamente demostrados y, en caso de abstracción de la naturaleza, algunas propiedades básicas que se consideran verdaderos puntos de partida de la teoría en consideración. ^[1]

Las matemáticas son esenciales en las ciencias naturales , la ingeniería , la medicina , las finanzas , la informática y las ciencias sociales . Aunque las matemáticas se utilizan ampliamente para modelar fenómenos, las verdades fundamentales de las matemáticas son independientes de cualquier experimentación científica. Algunas áreas de las matemáticas, como la estadística y la teoría de juegos , se desarrollan en estrecha correlación con sus aplicaciones y a menudo se agrupan bajo las matemáticas aplicadas . Otras áreas se desarrollan independientemente de cualquier aplicación (y, por lo tanto, se denominan matemáticas puras ), pero a menudo encuentran aplicaciones prácticas más adelante. ^{[2] [3]}

Históricamente, el concepto de prueba y su rigor matemático asociado aparecieron por primera vez en las matemáticas griegas , más notablemente en los Elementos de Euclides . ^[4] Desde sus inicios, las matemáticas se dividieron principalmente en geometría y aritmética (la manipulación de números naturales y fracciones ), hasta los siglos XVI y XVII, cuando se introdujeron el álgebra ^[a] y el cálculo infinitesimal como nuevos campos. Desde entonces, la interacción entre las innovaciones matemáticas y los descubrimientos científicos ha llevado a un aumento correlacionado en el desarrollo de ambos. ^[5] A fines del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas llevó a la sistematización del método axiomático , ^{[6] que anunció un aumento dramático en el número de áreas matemáticas y sus campos de aplicación. La} Clasificación de Matemáticas Asignaturas contemporánea enumera más de sesenta áreas de primer nivel de las matemáticas.

Antes del Renacimiento , las matemáticas se dividían en dos áreas principales: la aritmética , relativa a la manipulación de números, y la geometría , relativa al estudio de las formas. ^[7] Algunos tipos de pseudociencias , como la numerología y la astrología , no se distinguían entonces claramente de las matemáticas. ^[8]

Durante el Renacimiento, aparecieron dos áreas más. La notación matemática condujo al álgebra que, en términos generales, consiste en el estudio y la manipulación de fórmulas . El cálculo , que consta de los dos subcampos cálculo diferencial y cálculo integral , es el estudio de funciones continuas , que modelan las relaciones típicamente no lineales entre cantidades variables, representadas por variables . Esta división en cuatro áreas principales (aritmética, geometría, álgebra y cálculo) ^[9] perduró hasta finales del siglo XIX. Los matemáticos estudiaron áreas como la mecánica celeste y la mecánica de sólidos , pero ahora se consideran pertenecientes a la física. ^[10] El tema de la combinatoria se ha estudiado durante gran parte de la historia registrada, pero no se convirtió en una rama separada de las matemáticas hasta el siglo XVII. ^[11]

A finales del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas y la consiguiente sistematización del método axiomático dieron lugar a una explosión de nuevas áreas de las matemáticas. ^{[12] [6]} La Clasificación de Matemáticas por Temas de 2020 contiene no menos de sesenta y tres áreas de primer nivel. ^[13] Algunas de estas áreas corresponden a la división más antigua, como es el caso de la teoría de números (el nombre moderno de la aritmética superior ) y la geometría. Varias otras áreas de primer nivel tienen "geometría" en sus nombres o se consideran comúnmente parte de la geometría. El álgebra y el cálculo no aparecen como áreas de primer nivel, sino que se dividen respectivamente en varias áreas de primer nivel. Otras áreas de primer nivel surgieron durante el siglo XX o no se habían considerado previamente como matemáticas, como la lógica matemática y los fundamentos . ^[14]

La teoría de números comenzó con la manipulación de números , es decir, números naturales y luego se expandió a números enteros y racionales. La teoría de números alguna vez se llamó aritmética, pero hoy en día este término se usa principalmente para cálculos numéricos . ^[15] La teoría de números se remonta a la antigua Babilonia y probablemente a China . Dos destacados teóricos de números tempranos fueron Euclides de la antigua Grecia y Diofanto de Alejandría. ^[16] El estudio moderno de la teoría de números en su forma abstracta se atribuye en gran parte a Pierre de Fermat y Leonhard Euler . El campo llegó a su plena concreción con las contribuciones de Adrien-Marie Legendre y Carl Friedrich Gauss . ^[17]${\displaystyle (\mathbb {N}),}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q}).}$

Muchos problemas numéricos de fácil formulación tienen soluciones que requieren métodos sofisticados, a menudo de toda la matemática. Un ejemplo destacado es el Último Teorema de Fermat . Esta conjetura fue enunciada en 1637 por Pierre de Fermat, pero fue demostrada recién en 1994 por Andrew Wiles , quien utilizó herramientas que incluían la teoría de esquemas de la geometría algebraica , la teoría de categorías y el álgebra homológica . ^[18] Otro ejemplo es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo entero par mayor que 2 es la suma de dos números primos . Enunciada en 1742 por Christian Goldbach , sigue sin demostrarse a pesar de un esfuerzo considerable. ^[19]

La teoría de números incluye varias subáreas, entre ellas la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números , la geometría de números (orientada a métodos), las ecuaciones diofánticas y la teoría de la trascendencia (orientada a problemas). ^[14]

La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Comenzó con fórmulas empíricas relacionadas con formas, como líneas , ángulos y círculos , que se desarrollaron principalmente para las necesidades de la topografía y la arquitectura , pero desde entonces ha florecido en muchos otros subcampos. ^[20]

Una innovación fundamental fue la introducción por parte de los antiguos griegos del concepto de pruebas , que exigen que toda afirmación debe ser probada . Por ejemplo, no es suficiente verificar mediante medición que, digamos, dos longitudes son iguales; su igualdad debe probarse mediante razonamiento a partir de resultados previamente aceptados ( teoremas ) y unas pocas afirmaciones básicas. Las afirmaciones básicas no están sujetas a prueba porque son evidentes por sí mismas ( postulados ), o son parte de la definición del tema de estudio ( axiomas ). Este principio, fundamental para todas las matemáticas, fue elaborado por primera vez para la geometría, y fue sistematizado por Euclides alrededor del año 300 a. C. en su libro Elementos . ^{[21] [22]}

La geometría euclidiana resultante es el estudio de las formas y sus disposiciones construidas a partir de líneas, planos y círculos en el plano euclidiano ( geometría plana ) y el espacio euclidiano tridimensional . ^{[b] [20]}

La geometría euclidiana se desarrolló sin cambios de métodos ni de alcance hasta el siglo XVII, cuando René Descartes introdujo lo que hoy se llama coordenadas cartesianas . Esto constituyó un importante cambio de paradigma : en lugar de definir los números reales como longitudes de segmentos de línea (véase línea numérica ), permitió la representación de puntos utilizando sus coordenadas , que son números. El álgebra (y más tarde, el cálculo) puede así utilizarse para resolver problemas geométricos. La geometría se dividió en dos nuevos subcampos: la geometría sintética , que utiliza métodos puramente geométricos, y la geometría analítica , que utiliza coordenadas de forma sistémica. ^[23]

La geometría analítica permite el estudio de curvas no relacionadas con círculos y líneas. Dichas curvas pueden definirse como el gráfico de funciones , cuyo estudio dio lugar a la geometría diferencial . También pueden definirse como ecuaciones implícitas , a menudo ecuaciones polinómicas (que dieron origen a la geometría algebraica ). La geometría analítica también permite considerar espacios euclidianos de más de tres dimensiones. ^[20]

En el siglo XIX, los matemáticos descubrieron geometrías no euclidianas , que no siguen el postulado de las paralelas . Al cuestionar la verdad de ese postulado, este descubrimiento ha sido visto como una unión a la paradoja de Russell al revelar la crisis fundacional de las matemáticas . Este aspecto de la crisis se resolvió mediante la sistematización del método axiomático y la adopción de que la verdad de los axiomas elegidos no es un problema matemático. ^{[24] [6]} A su vez, el método axiomático permite el estudio de varias geometrías obtenidas ya sea cambiando los axiomas o considerando propiedades que no cambian bajo transformaciones específicas del espacio . ^[25]

Las subáreas actuales de la geometría incluyen: ^[14]

• La geometría proyectiva , introducida en el siglo XVI por Girard Desargues , amplía la geometría euclidiana añadiendo puntos en el infinito en los que se intersecan las líneas paralelas . Esto simplifica muchos aspectos de la geometría clásica al unificar los tratamientos para las líneas que se intersecan y las paralelas.
• Geometría afín , estudio de las propiedades relativas al paralelismo e independientes del concepto de longitud.
• Geometría diferencial , el estudio de curvas, superficies y sus generalizaciones, que se definen mediante funciones diferenciables .
• Teoría de variedades , el estudio de formas que no están necesariamente insertas en un espacio mayor.
• Geometría de Riemann , el estudio de las propiedades de la distancia en espacios curvos.
• Geometría algebraica , el estudio de curvas, superficies y sus generalizaciones, que se definen mediante polinomios .
• Topología , el estudio de las propiedades que se mantienen bajo deformaciones continuas .
  • Topología algebraica , uso en topología de métodos algebraicos, principalmente álgebra homológica .
• Geometría discreta , el estudio de configuraciones finitas en geometría.
• Geometría convexa , el estudio de conjuntos convexos , que toma su importancia de sus aplicaciones en optimización .
• Geometría compleja , la geometría obtenida al reemplazar números reales por números complejos .

El álgebra es el arte de manipular ecuaciones y fórmulas. Diofanto (siglo III) y al-Juarizmi (siglo IX) fueron los dos principales precursores del álgebra. ^{[27] [28]} Diofanto resolvió algunas ecuaciones que involucraban números naturales desconocidos deduciendo nuevas relaciones hasta que obtuvo la solución. ^[29] Al-Juarizmi introdujo métodos sistemáticos para transformar ecuaciones, como mover un término de un lado de una ecuación al otro lado. ^[30] El término álgebra se deriva de la palabra árabe al-jabr que significa 'la reunión de partes rotas' que utilizó para nombrar uno de estos métodos en el título de su tratado principal . ^{[31] [32]}

El álgebra se convirtió en un área por derecho propio recién con François Viète (1540-1603), quien introdujo el uso de variables para representar números desconocidos o no especificados. ^[33] Las variables permiten a los matemáticos describir las operaciones que deben realizarse con los números representados mediante fórmulas matemáticas . ^[34]

Hasta el siglo XIX, el álgebra consistía principalmente en el estudio de ecuaciones lineales (actualmente álgebra lineal ), y ecuaciones polinómicas en una sola incógnita , que se denominaban ecuaciones algebraicas (término aún en uso, aunque puede resultar ambiguo). Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a utilizar variables para representar cosas distintas de números (como matrices , números enteros modulares y transformaciones geométricas ), sobre las que suelen ser válidas generalizaciones de operaciones aritméticas. ^[35] A esto se dirige el concepto de estructura algebraica , consistente en un conjunto cuyos elementos no están especificados, de operaciones que actúan sobre los elementos del conjunto y de reglas que deben seguir estas operaciones. El ámbito del álgebra creció así hasta incluir el estudio de las estructuras algebraicas. Este objeto del álgebra se denominó álgebra moderna o álgebra abstracta , tal y como lo estableció la influencia y los trabajos de Emmy Noether . ^[36]

Algunos tipos de estructuras algebraicas tienen propiedades útiles y a menudo fundamentales en muchas áreas de las matemáticas. Su estudio se convirtió en partes autónomas del álgebra e incluyen: ^[14]

• teoría de grupos
• teoría de campo
• espacios vectoriales , cuyo estudio es esencialmente el mismo que el álgebra lineal
• teoría del anillo
• El álgebra conmutativa , que es el estudio de los anillos conmutativos , incluye el estudio de los polinomios y es una parte fundamental de la geometría algebraica.
• álgebra homológica
• Álgebra de Lie y teoría de grupos de Lie
• Álgebra de Boole , que se utiliza ampliamente para el estudio de la estructura lógica de las computadoras.

El estudio de los tipos de estructuras algebraicas como objetos matemáticos es el propósito del álgebra universal y la teoría de categorías . ^[37] Esta última se aplica a toda estructura matemática (no solo a las algebraicas). En sus orígenes, se introdujo, junto con el álgebra homológica, para permitir el estudio algebraico de objetos no algebraicos como los espacios topológicos ; esta área particular de aplicación se denomina topología algebraica . ^[38]

El cálculo, antiguamente llamado cálculo infinitesimal, fue introducido independientemente y simultáneamente por los matemáticos del siglo XVII Newton y Leibniz . ^[39] Es fundamentalmente el estudio de la relación entre variables que dependen unas de otras. El cálculo fue ampliado en el siglo XVIII por Euler con la introducción del concepto de función y muchos otros resultados. ^[40] En la actualidad, "cálculo" se refiere principalmente a la parte elemental de esta teoría, y "análisis" se utiliza comúnmente para las partes avanzadas. ^[41]

El análisis se subdivide en análisis real , donde las variables representan números reales , y análisis complejo , donde las variables representan números complejos . El análisis incluye muchas subáreas compartidas por otras áreas de las matemáticas, entre las que se incluyen: ^[14]

• Cálculo multivariable
• Análisis funcional , donde las variables representan funciones variables.
• Integración , teoría de la medida y teoría del potencial , todas ellas fuertemente relacionadas con la teoría de la probabilidad en un continuo.
• Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Ecuaciones diferenciales parciales
• Análisis numérico , dedicado principalmente al cálculo en computadoras de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales que surgen en muchas aplicaciones.

En términos generales, las matemáticas discretas son el estudio de objetos matemáticos individuales y contables . Un ejemplo es el conjunto de todos los números enteros. ^[42] Debido a que los objetos de estudio aquí son discretos, los métodos de cálculo y análisis matemático no se aplican directamente. ^[c] Los algoritmos —especialmente su implementación y complejidad computacional— desempeñan un papel importante en las matemáticas discretas. ^[43]

El teorema de los cuatro colores y el empaquetamiento óptimo de esferas fueron dos problemas importantes de las matemáticas discretas resueltos en la segunda mitad del siglo XX. ^[44] El problema P versus NP , que permanece abierto hasta el día de hoy, también es importante para las matemáticas discretas, ya que su solución potencialmente afectaría a una gran cantidad de problemas computacionalmente difíciles . ^[45]

Las matemáticas discretas incluyen: ^[14]

• Combinatoria , el arte de enumerar objetos matemáticos que satisfacen ciertas restricciones dadas. Originalmente, estos objetos eran elementos o subconjuntos de un conjunto dado ; esto se ha extendido a varios objetos, lo que establece un fuerte vínculo entre la combinatoria y otras partes de las matemáticas discretas. Por ejemplo, la geometría discreta incluye el conteo de configuraciones de formas geométricas .
• Teoría de grafos e hipergrafos
• Teoría de la codificación , incluidos los códigos de corrección de errores y una parte de la criptografía
• Teoría de matroides
• Geometría discreta
• Distribuciones de probabilidad discretas
• Teoría de juegos (aunque también se estudian los juegos continuos , la mayoría de los juegos comunes, como el ajedrez y el póquer, son discretos)
• Optimización discreta , incluida la optimización combinatoria , la programación entera y la programación con restricciones.

Las dos materias, la lógica matemática y la teoría de conjuntos, han pertenecido a las matemáticas desde finales del siglo XIX. ^{[46] [47]} Antes de este período, los conjuntos no se consideraban objetos matemáticos, y la lógica , aunque se utilizaba para pruebas matemáticas, pertenecía a la filosofía y no era estudiada específicamente por los matemáticos. ^[48]

Antes del estudio de los conjuntos infinitos de Cantor , los matemáticos eran reacios a considerar conjuntos realmente infinitos , y consideraban que el infinito era el resultado de una enumeración sin fin . El trabajo de Cantor ofendió a muchos matemáticos no solo al considerar conjuntos realmente infinitos ^[49] sino al mostrar que esto implica diferentes tamaños de infinito, según el argumento diagonal de Cantor . Esto condujo a la controversia sobre la teoría de conjuntos de Cantor . ^[50] En el mismo período, varias áreas de las matemáticas concluyeron que las antiguas definiciones intuitivas de los objetos matemáticos básicos eran insuficientes para garantizar el rigor matemático . ^[51]

Esta se convirtió en la crisis fundacional de las matemáticas. ^[52] Finalmente se resolvió en las matemáticas convencionales mediante la sistematización del método axiomático dentro de una teoría de conjuntos formalizada . En términos generales, cada objeto matemático se define por el conjunto de todos los objetos similares y las propiedades que estos objetos deben tener. ^[12] Por ejemplo, en la aritmética de Peano , los números naturales se definen por "cero es un número", "cada número tiene un sucesor único", "cada número excepto cero tiene un predecesor único" y algunas reglas de razonamiento. ^[53] Esta abstracción matemática de la realidad está incorporada en la filosofía moderna del formalismo , fundada por David Hilbert alrededor de 1910. ^[54]

La "naturaleza" de los objetos definidos de esta manera es un problema filosófico que los matemáticos dejan a los filósofos, incluso si muchos matemáticos tienen opiniones sobre esta naturaleza y usan su opinión, a veces llamada "intuición", para guiar su estudio y sus demostraciones. El enfoque permite considerar "lógicas" (es decir, conjuntos de reglas de deducción permitidas), teoremas, demostraciones, etc. como objetos matemáticos y demostrar teoremas sobre ellos. Por ejemplo, los teoremas de incompletitud de Gödel afirman, en términos generales, que, en cada sistema formal consistente que contiene los números naturales, hay teoremas que son verdaderos (es decir, demostrables en un sistema más fuerte), pero no demostrables dentro del sistema. ^[55] Este enfoque de los fundamentos de las matemáticas fue cuestionado durante la primera mitad del siglo XX por matemáticos liderados por Brouwer , quien promovió la lógica intuicionista , que carece explícitamente de la ley del medio excluido . ^{[56] [57]}

Estos problemas y debates llevaron a una amplia expansión de la lógica matemática, con subáreas como la teoría de modelos (modelado de algunas teorías lógicas dentro de otras teorías), la teoría de la prueba , la teoría de tipos , la teoría de la computabilidad y la teoría de la complejidad computacional . ^[14] Aunque estos aspectos de la lógica matemática se introdujeron antes del surgimiento de las computadoras , su uso en el diseño de compiladores , la verificación formal , el análisis de programas , los asistentes de prueba y otros aspectos de la informática , contribuyeron a su vez a la expansión de estas teorías lógicas. ^[58]

El campo de la estadística es una aplicación matemática que se emplea para la recolección y procesamiento de muestras de datos, utilizando procedimientos basados ​​en métodos matemáticos, especialmente la teoría de la probabilidad . Los estadísticos generan datos con muestreos aleatorios o experimentos aleatorios . ^[60]

La teoría estadística estudia problemas de decisión como la minimización del riesgo ( pérdida esperada ) de una acción estadística, como usar un procedimiento en, por ejemplo, la estimación de parámetros , la prueba de hipótesis y la selección de la mejor . En estas áreas tradicionales de la estadística matemática , un problema de decisión estadística se formula minimizando una función objetivo , como la pérdida esperada o el costo , bajo restricciones específicas. Por ejemplo, diseñar una encuesta a menudo implica minimizar el costo de estimar una media poblacional con un nivel de confianza dado. ^[61] Debido a su uso de la optimización , la teoría matemática de la estadística se superpone con otras ciencias de la decisión , como la investigación de operaciones , la teoría del control y la economía matemática . ^[62]

Las matemáticas computacionales son el estudio de problemas matemáticos que son típicamente demasiado grandes para la capacidad numérica humana. ^{[63] [64]} El análisis numérico estudia métodos para problemas en análisis usando análisis funcional y teoría de aproximación ; el análisis numérico incluye ampliamente el estudio de aproximación y discretización con especial foco en errores de redondeo . ^[65] El análisis numérico y, más ampliamente, la computación científica también estudian temas no analíticos de la ciencia matemática, especialmente teoría algorítmica, matricial y de grafos . Otras áreas de las matemáticas computacionales incluyen álgebra computacional y computación simbólica .

La palabra matemáticas proviene del griego antiguo máthēma ( μάθημα ), que significa ' algo aprendido, conocimiento, matemáticas ' , y la expresión derivada mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ), que significa ' ciencia matemática ' . Ingresó al idioma inglés durante el período del inglés medio tardío a través del francés y el latín. ^[66]

De manera similar, una de las dos escuelas de pensamiento principales del pitagorismo era la conocida como mathēmatikoi (μαθηματικοί), que en ese momento significaba «aprendices» en lugar de «matemáticos» en el sentido moderno. Los pitagóricos fueron probablemente los primeros en restringir el uso de la palabra al estudio de la aritmética y la geometría. En la época de Aristóteles (384-322 a. C.) este significado ya estaba plenamente establecido. ^[67]

En latín e inglés, hasta alrededor de 1700, el término matemáticas significaba más comúnmente " astrología " (o a veces " astronomía ") en lugar de "matemáticas"; el significado cambió gradualmente a su actual desde aproximadamente 1500 hasta 1800. Este cambio ha dado lugar a varias traducciones erróneas: por ejemplo, la advertencia de San Agustín de que los cristianos deben tener cuidado con mathematici , que significa "astrólogos", a veces se traduce erróneamente como una condena a los matemáticos. ^[68]

La forma plural aparente en inglés se remonta al plural neutro latino mathematica ( Cicerón ), basado en el plural griego ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) y significa aproximadamente "todas las cosas matemáticas", aunque es plausible que el inglés haya tomado prestado solo el adjetivo mathematic(al) y haya formado el sustantivo mathematics de nuevo, siguiendo el patrón de física y metafísica , heredado del griego. ^[69] En inglés, el sustantivo mathematics toma un verbo singular. A menudo se abrevia como maths ^[70] o, en Norteamérica, math . ^[71]

Además de reconocer cómo contar objetos físicos, los pueblos prehistóricos también pueden haber sabido cómo contar cantidades abstractas, como el tiempo: días, estaciones o años. ^{[72] [73]} La evidencia de matemáticas más complejas no aparece hasta alrededor del 3000  a. C. , cuando los babilonios y los egipcios comenzaron a usar la aritmética, el álgebra y la geometría para los impuestos y otros cálculos financieros, para la construcción y la astronomía. ^[74] Los textos matemáticos más antiguos de Mesopotamia y Egipto son del 2000 al 1800 a. C. ^[75] Muchos textos tempranos mencionan ternas pitagóricas y, por lo tanto, por inferencia, el teorema de Pitágoras parece ser el concepto matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas. Es en las matemáticas babilónicas donde la aritmética elemental ( suma , resta , multiplicación y división ) aparece por primera vez en el registro arqueológico. Los babilonios también poseían un sistema de valor posicional y utilizaban un sistema de numeración sexagesimal que todavía se utiliza hoy en día para medir ángulos y tiempo. ^[76]

En el siglo VI a. C., las matemáticas griegas comenzaron a surgir como una disciplina distinta y algunos griegos antiguos, como los pitagóricos, parecen haberlas considerado una materia por derecho propio. ^[77] Alrededor del 300 a. C., Euclides organizó el conocimiento matemático por medio de postulados y primeros principios, que evolucionaron hasta convertirse en el método axiomático que se utiliza en matemáticas hoy en día, que consiste en definición, axioma, teorema y prueba. ^[78] Su libro, Elementos , es ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. ^[79] A menudo se considera que el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes ( c.  287  - c.  212 a. C. ) de Siracusa . ^[80] Desarrolló fórmulas para calcular el área de superficie y el volumen de sólidos de revolución y utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , de una manera no muy diferente del cálculo moderno. ^[81] Otros logros notables de las matemáticas griegas son las secciones cónicas ( Apolonio de Perge , siglo III a. C.), ^[82] la trigonometría ( Hiparco de Nicea , siglo II a. C.), ^[83] y los inicios del álgebra (Diofanto, siglo III d. C.). ^[84]

El sistema de numeración hindú-arábigo y las reglas para el uso de sus operaciones, que se utilizan hoy en día en todo el mundo, evolucionaron a lo largo del primer milenio d. C. en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas . ^[85] Otros desarrollos notables de las matemáticas indias incluyen la definición y aproximación modernas del seno y el coseno , y una forma temprana de serie infinita . ^{[86] [87]}

Durante la Edad de Oro del Islam , especialmente durante los siglos IX y X, las matemáticas fueron testigos de muchas innovaciones importantes basadas en las matemáticas griegas. El logro más notable de las matemáticas islámicas fue el desarrollo del álgebra . Otros logros del período islámico incluyen avances en la trigonometría esférica y la adición del punto decimal al sistema de numeración árabe. ^[88] Muchos matemáticos notables de este período eran persas, como Al-Khwarizmi , Omar Khayyam y Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī . ^[89] Los textos matemáticos griegos y árabes fueron a su vez traducidos al latín durante la Edad Media y puestos a disposición en Europa. ^[90]

Durante el período moderno temprano , las matemáticas comenzaron a desarrollarse a un ritmo acelerado en Europa occidental , con innovaciones que revolucionaron las matemáticas, como la introducción de variables y notación simbólica por François Viète (1540-1603), la introducción de los logaritmos por John Napier en 1614, que simplificaron enormemente los cálculos numéricos, especialmente para la astronomía y la navegación marítima , la introducción de coordenadas por René Descartes (1596-1650) para reducir la geometría al álgebra, y el desarrollo del cálculo por Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716). Leonhard Euler (1707-1783), el matemático más notable del siglo XVIII, unificó estas innovaciones en un solo corpus con una terminología estandarizada, y las completó con el descubrimiento y la prueba de numerosos teoremas. ^[91]

Quizás el matemático más importante del siglo XIX fue el matemático alemán Carl Gauss , quien realizó numerosas contribuciones a campos como el álgebra, el análisis, la geometría diferencial , la teoría de matrices , la teoría de números y la estadística . ^[92] A principios del siglo XX, Kurt Gödel transformó las matemáticas al publicar sus teoremas de incompletitud , que muestran en parte que cualquier sistema axiomático consistente (si es lo suficientemente poderoso para describir la aritmética) contendrá proposiciones verdaderas que no se pueden demostrar. ^[55]

Desde entonces, las matemáticas se han extendido enormemente y ha habido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia , en beneficio de ambas. Los descubrimientos matemáticos continúan hasta el día de hoy. Según Mikhail B. Sevryuk, en la edición de enero de 2006 del Bulletin of the American Mathematical Society , "El número de artículos y libros incluidos en la base de datos Mathematical Reviews (MR) desde 1940 (el primer año de funcionamiento de MR) es ahora más de 1,9 millones, y más de 75 mil artículos se agregan a la base de datos cada año. La abrumadora mayoría de las obras en este océano contienen nuevos teoremas matemáticos y sus demostraciones". ^[93]

La notación matemática se utiliza ampliamente en ciencia e ingeniería para representar conceptos y propiedades complejas de una manera concisa, inequívoca y precisa. Esta notación consiste en símbolos utilizados para representar operaciones , números no especificados, relaciones y cualquier otro objeto matemático, y luego ensamblarlos en expresiones y fórmulas. ^[94] Más precisamente, los números y otros objetos matemáticos se representan mediante símbolos llamados variables, que generalmente son letras latinas o griegas , y a menudo incluyen subíndices . Las operaciones y relaciones generalmente se representan mediante símbolos o glifos específicos , ^[95] como + ( más ), × ( multiplicación ), ( integral ), = ( igual ) y < ( menor que ). ^[96] Todos estos símbolos generalmente se agrupan de acuerdo con reglas específicas para formar expresiones y fórmulas. ^[97] Normalmente, las expresiones y fórmulas no aparecen solas, sino que se incluyen en oraciones del lenguaje corriente, donde las expresiones juegan el papel de frases nominales y las fórmulas juegan el papel de cláusulas .${\textstyle\int}$

Las matemáticas han desarrollado una rica terminología que abarca una amplia gama de campos que estudian las propiedades de varios objetos abstractos e idealizados y cómo interactúan. Se basa en definiciones rigurosas que proporcionan una base estándar para la comunicación. Un axioma o postulado es una afirmación matemática que se considera verdadera sin necesidad de prueba. Si una afirmación matemática aún no se ha demostrado (o refutado), se denomina conjetura . A través de una serie de argumentos rigurosos que emplean el razonamiento deductivo , una afirmación que se demuestra como verdadera se convierte en un teorema. Un teorema especializado que se utiliza principalmente para demostrar otro teorema se denomina lema . Una instancia demostrada que forma parte de un hallazgo más general se denomina corolario . ^[98]

Numerosos términos técnicos utilizados en matemáticas son neologismos , como polinomio y homeomorfismo . ^[99] Otros términos técnicos son palabras del lenguaje común que se utilizan con un significado preciso que puede diferir ligeramente de su significado común. Por ejemplo, en matemáticas, " o " significa "uno, el otro o ambos", mientras que, en el lenguaje común, es ambiguo o significa "uno o el otro pero no ambos" (en matemáticas, esto último se llama " o exclusivo "). Finalmente, muchos términos matemáticos son palabras comunes que se utilizan con un significado completamente diferente. ^[100] Esto puede dar lugar a frases que son afirmaciones matemáticas correctas y verdaderas, pero que parecen tonterías para las personas que no tienen los antecedentes necesarios. Por ejemplo, "todo módulo libre es plano " y "un cuerpo es siempre un anillo ".

Las matemáticas se utilizan en la mayoría de las ciencias para modelar fenómenos, lo que luego permite hacer predicciones a partir de leyes experimentales. ^[101] La independencia de la verdad matemática de cualquier experimentación implica que la precisión de tales predicciones depende solo de la adecuación del modelo. ^[102] Las predicciones inexactas, en lugar de ser causadas por conceptos matemáticos inválidos, implican la necesidad de cambiar el modelo matemático utilizado. ^[103] Por ejemplo, la precesión del perihelio de Mercurio solo pudo explicarse después de la aparición de la relatividad general de Einstein , que reemplazó a la ley de gravitación de Newton como un mejor modelo matemático. ^[104]

Todavía existe un debate filosófico sobre si las matemáticas son una ciencia. Sin embargo, en la práctica, los matemáticos suelen agruparse con los científicos, y las matemáticas comparten mucho en común con las ciencias físicas. Como ellas, son falsables , lo que significa en matemáticas que, si un resultado o una teoría es incorrecto, esto se puede demostrar proporcionando un contraejemplo . De manera similar a lo que ocurre en la ciencia, las teorías y los resultados (teoremas) a menudo se obtienen a partir de la experimentación . ^[105] En matemáticas, la experimentación puede consistir en el cálculo de ejemplos seleccionados o en el estudio de figuras u otras representaciones de objetos matemáticos (a menudo representaciones mentales sin soporte físico). Por ejemplo, cuando se le preguntó cómo llegó a sus teoremas, Gauss respondió una vez "durch planmässiges Tattonieren" (a través de la experimentación sistemática). ^[106] Sin embargo, algunos autores enfatizan que las matemáticas difieren de la noción moderna de ciencia al no depender de evidencia empírica. ^{[107] [108] [109] [110]}

Hasta el siglo XIX, el desarrollo de las matemáticas en Occidente estuvo motivado principalmente por las necesidades de la tecnología y la ciencia, y no había una distinción clara entre las matemáticas puras y las aplicadas. ^[111] Por ejemplo, los números naturales y la aritmética se introdujeron por la necesidad de contar, y la geometría fue motivada por la topografía, la arquitectura y la astronomía. Más tarde, Isaac Newton introdujo el cálculo infinitesimal para explicar el movimiento de los planetas con su ley de gravitación. Además, la mayoría de los matemáticos también eran científicos, y muchos científicos también eran matemáticos. ^[112] Sin embargo, una notable excepción ocurrió con la tradición de las matemáticas puras en la Antigua Grecia . ^[113] El problema de la factorización de números enteros , por ejemplo, que se remonta a Euclides en el año 300 a. C., no tenía aplicación práctica antes de su uso en el criptosistema RSA , ahora ampliamente utilizado para la seguridad de las redes informáticas . ^[114]

En el siglo XIX, matemáticos como Karl Weierstrass y Richard Dedekind centraron cada vez más su investigación en problemas internos, es decir, matemáticas puras . ^{[111] [115]} Esto llevó a dividir las matemáticas en matemáticas puras y matemáticas aplicadas , siendo estas últimas consideradas a menudo como de menor valor entre los puristas matemáticos. Sin embargo, las líneas entre las dos son frecuentemente borrosas. ^[116]

Las secuelas de la Segunda Guerra Mundial llevaron a un aumento en el desarrollo de las matemáticas aplicadas en los EE. UU. y en otros lugares. ^{[117] [118]} Muchas de las teorías desarrolladas para aplicaciones se consideraron interesantes desde el punto de vista de las matemáticas puras, y se demostró que muchos resultados de las matemáticas puras tenían aplicaciones fuera de las matemáticas; a su vez, el estudio de estas aplicaciones puede brindar nuevas perspectivas sobre la "teoría pura". ^{[119] [120]}

Un ejemplo del primer caso es la teoría de distribuciones , introducida por Laurent Schwartz para validar los cálculos realizados en mecánica cuántica , que se convirtió inmediatamente en una herramienta importante del análisis matemático (puro). ^[121] Un ejemplo del segundo caso es la decidibilidad de la teoría de primer orden de los números reales , un problema de matemáticas puras que fue demostrado verdadero por Alfred Tarski , con un algoritmo que es imposible de implementar debido a una complejidad computacional demasiado alta. ^[122] Para obtener un algoritmo que pueda implementarse y pueda resolver sistemas de ecuaciones polinómicas y desigualdades, George Collins introdujo la descomposición algebraica cilíndrica que se convirtió en una herramienta fundamental en la geometría algebraica real . ^[123]

En la actualidad, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más una cuestión de objetivos de investigación personales de los matemáticos que una división de las matemáticas en áreas amplias. ^{[124] [125]} La Clasificación de Matemáticas por Temas tiene una sección para "matemáticas aplicadas generales" pero no menciona las "matemáticas puras". ^[14] Sin embargo, estos términos todavía se utilizan en los nombres de algunos departamentos universitarios , como en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Cambridge .

La eficacia irrazonable de las matemáticas es un fenómeno que fue nombrado y explicitado por primera vez por el físico Eugene Wigner . ^[3] Se trata del hecho de que muchas teorías matemáticas (incluso las "más puras") tienen aplicaciones fuera de su objeto inicial. Estas aplicaciones pueden estar completamente fuera de su área inicial de las matemáticas y pueden referirse a fenómenos físicos que eran completamente desconocidos cuando se introdujo la teoría matemática. ^[126] Se pueden encontrar ejemplos de aplicaciones inesperadas de teorías matemáticas en muchas áreas de las matemáticas.

Un ejemplo notable es la factorización prima de los números naturales que fue descubierta más de 2.000 años antes de su uso común para las comunicaciones seguras por internet a través del criptosistema RSA . ^[127] Un segundo ejemplo histórico es la teoría de las elipses . Fueron estudiadas por los antiguos matemáticos griegos como secciones cónicas (es decir, intersecciones de conos con planos). Fue casi 2.000 años después cuando Johannes Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas son elipses. ^[128]

En el siglo XIX, el desarrollo interno de la geometría (matemáticas puras) condujo a la definición y estudio de geometrías no euclidianas, espacios de dimensión superior a tres y variedades . En esa época, estos conceptos parecían totalmente desconectados de la realidad física, pero a principios del siglo XX, Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad que utiliza fundamentalmente estos conceptos. En particular, el espacio-tiempo de la relatividad especial es un espacio no euclidiano de dimensión cuatro, y el espacio-tiempo de la relatividad general es una variedad (curva) de dimensión cuatro. ^{[129] [130]}

Un aspecto llamativo de la interacción entre las matemáticas y la física es cuando las matemáticas impulsan la investigación en física. Esto se ilustra con los descubrimientos del positrón y el barión. En ambos casos, las ecuaciones de las teorías tenían soluciones inexplicables, lo que llevó a la conjetura de la existencia de una partícula desconocida y a la búsqueda de estas partículas. En ambos casos, estas partículas se descubrieron unos años después mediante experimentos específicos. ^{[131] [132] [133]}${\displaystyle \Omega ^{-}.}$

Las matemáticas y la física se han influido mutuamente a lo largo de su historia moderna. La física moderna utiliza abundantemente las matemáticas ^[134] y también se considera que es la motivación de los principales avances matemáticos ^{[135] .}

La informática está estrechamente relacionada con las matemáticas de varias maneras. ^[136] La informática teórica se considera de naturaleza matemática. ^[137] Las tecnologías de la comunicación aplican ramas de las matemáticas que pueden ser muy antiguas (por ejemplo, la aritmética), especialmente con respecto a la seguridad de la transmisión, en criptografía y teoría de la codificación . Las matemáticas discretas son útiles en muchas áreas de la informática, como la teoría de la complejidad , la teoría de la información y la teoría de grafos . ^[138] En 1998, la conjetura de Kepler sobre el empaquetamiento de esferas pareció también ser parcialmente probada por computadora. ^[139]

La biología utiliza la probabilidad ampliamente en campos como la ecología o la neurobiología . ^[140] La mayoría de las discusiones sobre la probabilidad se centran en el concepto de aptitud evolutiva . ^[140] La ecología utiliza en gran medida el modelado para simular la dinámica de poblaciones , ^{[140] [141]} estudiar ecosistemas como el modelo depredador-presa, medir la difusión de la contaminación, ^[142] o para evaluar el cambio climático. ^[143] La dinámica de una población se puede modelar mediante ecuaciones diferenciales acopladas, como las ecuaciones de Lotka-Volterra . ^[144]

Las pruebas de hipótesis estadísticas se realizan con datos de ensayos clínicos para determinar si un nuevo tratamiento funciona. ^[145] Desde principios del siglo XX, la química ha utilizado la informática para modelar moléculas en tres dimensiones. ^[146]

La geología estructural y la climatología utilizan modelos probabilísticos para predecir el riesgo de catástrofes naturales. ^[147] De manera similar, la meteorología , la oceanografía y la planetología también utilizan las matemáticas debido a su uso intensivo de modelos. ^{[148] [149] [150]}

Las áreas de las matemáticas que se utilizan en las ciencias sociales incluyen la probabilidad/estadística y las ecuaciones diferenciales. Estas se utilizan en lingüística, economía , sociología ^[151] y psicología ^[152] .

A menudo, el postulado fundamental de la economía matemática es el del actor individual racional: el Homo economicus ( lit. ' hombre económico ' ). ^[153] En este modelo, el individuo busca maximizar su propio interés , ^[153] y siempre toma decisiones óptimas utilizando información perfecta . ^[154] Esta visión atomista de la economía le permite matematizar su pensamiento con relativa facilidad, porque los cálculos individuales se transponen en cálculos matemáticos. Tal modelado matemático permite investigar los mecanismos económicos. Algunos rechazan o critican el concepto de Homo economicus . Los economistas señalan que las personas reales tienen información limitada, toman malas decisiones y se preocupan por la justicia, el altruismo, no solo el beneficio personal. ^[155] 

Sin modelos matemáticos, es difícil ir más allá de las observaciones estadísticas o de la especulación no comprobable. Los modelos matemáticos permiten a los economistas crear marcos estructurados para comprobar hipótesis y analizar interacciones complejas. Los modelos aportan claridad y precisión, lo que permite traducir conceptos teóricos en predicciones cuantificables que se pueden comprobar con datos del mundo real. ^[156]

A principios del siglo XX, se produjo un desarrollo de la expresión de los movimientos históricos en fórmulas. En 1922, Nikolai Kondratiev distinguió el ciclo de Kondratiev de ~50 años de duración , que explica las fases de crecimiento o crisis económica. ^[157] Hacia finales del siglo XIX, los matemáticos extendieron su análisis a la geopolítica . ^[158] Peter Turchin desarrolló la cliodinámica desde la década de 1990. ^[159]

La matematización de las ciencias sociales no está exenta de riesgos. En el polémico libro Fashionable Nonsense (1997), Sokal y Bricmont denunciaron el uso infundado o abusivo de la terminología científica, en particular de las matemáticas o la física, en las ciencias sociales. ^[160] El estudio de sistemas complejos (evolución del desempleo, capital empresarial, evolución demográfica de una población, etc.) utiliza conocimientos matemáticos. Sin embargo, la elección de criterios de recuento, en particular del desempleo, o de modelos, puede ser objeto de controversia. ^{[161] [162]}

La conexión entre las matemáticas y la realidad material ha dado lugar a debates filosóficos desde al menos la época de Pitágoras . El antiguo filósofo Platón argumentó que las abstracciones que reflejan la realidad material tienen en sí mismas una realidad que existe fuera del espacio y el tiempo. Como resultado, la visión filosófica de que los objetos matemáticos de alguna manera existen por sí mismos en abstracción a menudo se conoce como platonismo . Independientemente de sus posibles opiniones filosóficas, los matemáticos modernos pueden considerarse generalmente como platónicos, ya que piensan y hablan de sus objetos de estudio como objetos reales. ^[163]

Armand Borel resumió esta visión de la realidad matemática de la siguiente manera y proporcionó citas de G. H. Hardy , Charles Hermite , Henri Poincaré y Albert Einstein que respaldan sus puntos de vista. ^[131]

Algo se vuelve objetivo (en contraposición a "subjetivo") tan pronto como estamos convencidos de que existe en las mentes de los demás en la misma forma que existe en las nuestras y de que podemos pensar en ello y discutirlo juntos. ^[164] Debido a que el lenguaje de las matemáticas es tan preciso, es idealmente adecuado para definir conceptos para los cuales existe tal consenso. En mi opinión, eso es suficiente para proporcionarnos una sensación de una existencia objetiva, de una realidad de las matemáticas...

Sin embargo, el platonismo y las opiniones concurrentes sobre la abstracción no explican la irrazonable eficacia de las matemáticas. ^[165]

No existe un consenso general sobre la definición de las matemáticas o su estatus epistemológico , es decir, su lugar dentro del conocimiento. A muchos matemáticos profesionales no les interesa una definición de las matemáticas, o las consideran indefinibles. Ni siquiera hay consenso sobre si las matemáticas son un arte o una ciencia. Algunos simplemente dicen: "las matemáticas son lo que hacen los matemáticos". ^{[166] [167]} Un enfoque común es definir las matemáticas por su objeto de estudio. ^{[168] [169] [170] [171]}

Aristóteles definió las matemáticas como "la ciencia de la cantidad" y esta definición prevaleció hasta el siglo XVIII. Sin embargo, Aristóteles también señaló que un enfoque únicamente en la cantidad puede no distinguir las matemáticas de ciencias como la física; en su opinión, la abstracción y el estudio de la cantidad como una propiedad "separable en el pensamiento" de las instancias reales distinguen a las matemáticas. ^[172] En el siglo XIX, cuando los matemáticos comenzaron a abordar temas (como los conjuntos infinitos) que no tienen una relación clara con la realidad física, se dieron una variedad de nuevas definiciones. ^[173] Con la gran cantidad de nuevas áreas de las matemáticas que han aparecido desde principios del siglo XX, definir las matemáticas por su objeto de estudio se ha vuelto cada vez más difícil. ^[174] Por ejemplo, en lugar de una definición, Saunders Mac Lane en Mathematics, form and function resume los conceptos básicos de varias áreas de las matemáticas, enfatizando su interconexión, y observa: ^[175]

El desarrollo de las matemáticas proporciona una red estrechamente conectada de reglas, conceptos y sistemas formales. Los nodos de esta red están estrechamente vinculados a procedimientos útiles en las actividades humanas y a cuestiones que surgen en la ciencia. La transición de las actividades a los sistemas matemáticos formales está guiada por una variedad de ideas y percepciones generales.

Otro enfoque para definir las matemáticas es utilizar sus métodos. Por ejemplo, un área de estudio suele calificarse de matemática tan pronto como se pueden demostrar teoremas, afirmaciones cuya validez depende de una prueba, es decir, una deducción puramente lógica. ^{[d] [176] [ verificación fallida ]}

El razonamiento matemático requiere rigor . Esto significa que las definiciones deben ser absolutamente inequívocas y las pruebas deben ser reducibles a una sucesión de aplicaciones de reglas de inferencia , ^[e] sin ningún uso de evidencia empírica e intuición . ^{[f] [177]} El razonamiento riguroso no es específico de las matemáticas, pero, en matemáticas, el estándar de rigor es mucho más alto que en otras partes. A pesar de la concisión de las matemáticas , las pruebas rigurosas pueden requerir cientos de páginas para expresarse, como el teorema de Feit-Thompson de 255 páginas . ^[g] La aparición de pruebas asistidas por computadora ha permitido que las longitudes de las pruebas se expandan aún más. ^{[h] [178]} El resultado de esta tendencia es una filosofía de la prueba cuasi-empirista que no puede considerarse infalible, pero tiene una probabilidad asociada a ella. ^[6]

El concepto de rigor en matemáticas se remonta a la antigua Grecia, donde su sociedad fomentaba el razonamiento lógico y deductivo. Sin embargo, este enfoque riguroso tendía a desalentar la exploración de nuevos enfoques, como los números irracionales y los conceptos de infinito. El método de demostración rigurosa se mejoró en el siglo XVI mediante el uso de la notación simbólica. En el siglo XVIII, la transición social llevó a los matemáticos a ganarse la vida mediante la enseñanza, lo que llevó a un pensamiento más cuidadoso sobre los conceptos subyacentes de las matemáticas. Esto produjo enfoques más rigurosos, al tiempo que se pasaba de los métodos geométricos a las pruebas algebraicas y luego a las aritméticas. ^[6]

A finales del siglo XIX, se hizo evidente que las definiciones de los conceptos básicos de las matemáticas no eran lo suficientemente precisas para evitar paradojas (geometrías no euclidianas y función de Weierstrass ) y contradicciones (paradoja de Russell). Esto se resolvió con la inclusión de axiomas en las reglas de inferencia apodíctica de las teorías matemáticas y la reintroducción del método axiomático iniciado por los antiguos griegos. ^[6] De ello se deduce que el "rigor" ya no es un concepto relevante en matemáticas, ya que una prueba es correcta o errónea, y una "prueba rigurosa" es simplemente un pleonasmo . Donde entra en juego un concepto especial de rigor es en los aspectos socializados de una prueba, en los que puede ser refutada de forma demostrable por otros matemáticos. Después de que una prueba ha sido aceptada durante muchos años o incluso décadas, puede considerarse confiable. ^[179]

Sin embargo, el concepto de "rigor" puede seguir siendo útil para enseñar a los principiantes qué es una prueba matemática. ^[180]

Las matemáticas tienen una notable capacidad para cruzar fronteras culturales y períodos de tiempo. Como actividad humana , la práctica de las matemáticas tiene un lado social, que incluye educación , carreras , reconocimiento , popularización , etc. En educación, las matemáticas son una parte central del currículo y forman un elemento importante de las disciplinas académicas STEM . Las carreras destacadas para los matemáticos profesionales incluyen profesor o profesor de matemáticas, estadístico , actuario , analista financiero , economista , contador , comerciante de materias primas o consultor informático . ^[181]

La evidencia arqueológica muestra que la instrucción en matemáticas ocurrió tan temprano como el segundo milenio a. C. en la antigua Babilonia. ^[182] Se ha desenterrado evidencia comparable de entrenamiento matemático de escribas en el antiguo Cercano Oriente y luego para el mundo grecorromano a partir de alrededor del 300 a. C. ^[183] ​​El libro de texto de matemáticas más antiguo conocido es el papiro Rhind , que data de c.  1650 a. C. en Egipto. ^[184] Debido a la escasez de libros, las enseñanzas matemáticas en la antigua India se comunicaban utilizando la tradición oral memorizada desde el período védico ( c.  1500  - c.  500 a. C. ). ^[185] En la China imperial durante la dinastía Tang (618-907 d. C.), se adoptó un plan de estudios de matemáticas para el examen de servicio civil para unirse a la burocracia estatal. ^[186]

Después de la Edad Oscura , la educación matemática en Europa fue proporcionada por escuelas religiosas como parte del Quadrivium . La instrucción formal en pedagogía comenzó con las escuelas jesuitas en los siglos XVI y XVII. La mayoría de los planes de estudio matemáticos se mantuvieron en un nivel básico y práctico hasta el siglo XIX, cuando comenzó a florecer en Francia y Alemania. La revista más antigua que abordaba la instrucción en matemáticas fue L'Enseignement Mathématique , que comenzó a publicarse en 1899. ^[187] Los avances occidentales en ciencia y tecnología llevaron al establecimiento de sistemas educativos centralizados en muchos estados-nación, con las matemáticas como un componente central, inicialmente para sus aplicaciones militares. ^[188] Si bien el contenido de los cursos varía, en la actualidad casi todos los países enseñan matemáticas a los estudiantes durante cantidades significativas de tiempo. ^[189]

Durante la escuela, las capacidades matemáticas y las expectativas positivas tienen una fuerte asociación con el interés profesional en el campo. Factores extrínsecos como la motivación de retroalimentación por parte de maestros, padres y grupos de pares pueden influir en el nivel de interés en las matemáticas. ^[190] Algunos estudiantes que estudian matemáticas pueden desarrollar aprensión o miedo sobre su desempeño en la materia. Esto se conoce como ansiedad matemática o fobia matemática, y se considera el trastorno más destacado que afecta el desempeño académico. La ansiedad matemática puede desarrollarse debido a varios factores como las actitudes de los padres y maestros, los estereotipos sociales y los rasgos personales. La ayuda para contrarrestar la ansiedad puede provenir de cambios en los enfoques instructivos, mediante interacciones con padres y maestros y mediante tratamientos personalizados para el individuo. ^[191]

La validez de un teorema matemático depende únicamente del rigor de su demostración, que teóricamente podría realizarse automáticamente mediante un programa informático . Esto no significa que no haya lugar para la creatividad en un trabajo matemático. Por el contrario, muchos resultados matemáticos importantes (teoremas) son soluciones de problemas que otros matemáticos no lograron resolver, y la invención de una forma de resolverlos puede ser una forma fundamental del proceso de resolución. ^{[192] [193]} Un ejemplo extremo es el teorema de Apery : Roger Apery proporcionó únicamente las ideas para una demostración, y la demostración formal fue dada solo varios meses después por otros tres matemáticos. ^[194]

La creatividad y el rigor no son los únicos aspectos psicológicos de la actividad de los matemáticos. Algunos matemáticos pueden ver su actividad como un juego, más específicamente como la resolución de acertijos . ^[195] Este aspecto de la actividad matemática se enfatiza en las matemáticas recreativas .

Los matemáticos pueden encontrar un valor estético en las matemáticas. Al igual que la belleza , es difícil de definir, y se relaciona comúnmente con la elegancia , que involucra cualidades como la simplicidad , la simetría , la completitud y la generalidad. GH Hardy en A Mathematician's Apology expresó la creencia de que las consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. También identificó otros criterios como la importancia, lo inesperado y la inevitabilidad, que contribuyen a la estética matemática. ^[196] Paul Erdős expresó este sentimiento de manera más irónica al hablar de "El Libro", una supuesta colección divina de las pruebas más hermosas. El libro de 1998 Pruebas de EL LIBRO , inspirado por Erdős, es una colección de argumentos matemáticos particularmente sucintos y reveladores. Algunos ejemplos de resultados particularmente elegantes incluidos son la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos y la transformada rápida de Fourier para el análisis armónico . ^[197]

Algunos creen que considerar las matemáticas como una ciencia es restarle importancia a su arte y a su historia en las siete artes liberales tradicionales . ^[198] Una forma en que se manifiesta esta diferencia de puntos de vista es en el debate filosófico sobre si los resultados matemáticos se crean (como en el arte) o se descubren (como en la ciencia). ^[131] La popularidad de las matemáticas recreativas es otra señal del placer que muchos encuentran en resolver cuestiones matemáticas.

Las notas que suenan bien juntas para el oído occidental son sonidos cuyas frecuencias fundamentales de vibración están en proporciones simples. Por ejemplo, una octava duplica la frecuencia y una quinta perfecta la multiplica por . ^{[199] [200]}${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

Los seres humanos, así como otros animales, encuentran más bellos los patrones simétricos. ^[201] Matemáticamente, las simetrías de un objeto forman un grupo conocido como el grupo de simetría . ^[202] Por ejemplo, el grupo subyacente a la simetría especular es el grupo cíclico de dos elementos, . Una prueba de Rorschach es una figura invariante por esta simetría, ^[203] como lo son los cuerpos de las mariposas y los animales de manera más general (al menos en la superficie). ^[204] Las olas en la superficie del mar poseen simetría de traslación: mover el punto de vista de uno por la distancia entre las crestas de las olas no cambia la vista del mar. ^[205] Los fractales poseen autosimilitud . ^{[206] [207]}${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Las matemáticas populares son el acto de presentar las matemáticas sin términos técnicos. ^[208] Presentar las matemáticas puede ser difícil ya que el público en general sufre de ansiedad matemática y los objetos matemáticos son altamente abstractos. ^[209] Sin embargo, la escritura de matemáticas populares puede superar esto mediante el uso de aplicaciones o vínculos culturales. ^[210] A pesar de esto, las matemáticas rara vez son el tema de popularización en los medios impresos o televisados.

El premio más prestigioso en matemáticas es la Medalla Fields , ^{[211] [212]} establecida en 1936 y otorgada cada cuatro años (excepto alrededor de la Segunda Guerra Mundial ) a un máximo de cuatro individuos. ^{[213] [214]} Se considera el equivalente matemático del Premio Nobel . ^[214]

Otros prestigiosos premios de matemáticas incluyen: ^[215]

• El Premio Abel , instituido en 2002 ^[216] y otorgado por primera vez en 2003 ^[217]
• La Medalla Chern por los logros de toda una vida, introducida en 2009 ^[218] y otorgada por primera vez en 2010 ^[219]
• Premio Leroy P. Steele de la AMS , otorgado desde 1970 ^[220]
• El Premio Wolf en Matemáticas , también por los logros de toda una vida, ^[221] instituido en 1978 ^[222]

Una famosa lista de 23 problemas abiertos , llamada " problemas de Hilbert ", fue compilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. ^[223] Esta lista ha alcanzado gran celebridad entre los matemáticos, ^[224] y al menos trece de los problemas (dependiendo de cómo se interpreten algunos) han sido resueltos. ^[223]

En 2000 se publicó una nueva lista de siete problemas importantes, titulada « Problemas del Premio del Milenio ». Sólo uno de ellos, la hipótesis de Riemann , duplica uno de los problemas de Hilbert. La solución de cualquiera de estos problemas conlleva una recompensa de un millón de dólares. ^[225] Hasta la fecha, sólo uno de estos problemas, la conjetura de Poincaré , ha sido resuelto por el matemático ruso Grigori Perelman . ^[226]