Diofanto
Matemático griego (siglo III d. C.)

Diofanto de Alejandría [1] (nacido c.  200 d. C.  - c.  214 ; fallecido c.  284 d. C.  - c.  298 ) fue un matemático griego , autor de dos obras principales: Sobre los números poligonales , que sobrevive incompleta, y la Aritmética en trece libros, la mayoría de los cuales se conservan, compuestos de problemas aritméticos que se resuelven mediante ecuaciones algebraicas . [2]

Su Arithmetica influyó en el desarrollo del álgebra por parte de los árabes, y sus ecuaciones influyeron en el trabajo moderno tanto en álgebra abstracta como en informática . [3] Los primeros cinco libros de su obra son puramente algebraicos. [3] Además, estudios recientes de la obra de Diofanto han revelado que el método de solución enseñado en su Arithmetica coincide con el álgebra árabe medieval posterior en sus conceptos y procedimiento general. [4]

Diofanto fue el primer matemático griego que reconoció los números racionales positivos como números, al permitir fracciones como coeficientes y soluciones. Acuñó el término παρισότης ( parisotēs ) para referirse a una igualdad aproximada. [5] Este término se tradujo como adaequalitas en latín y se convirtió en la técnica de adecuación desarrollada por Pierre de Fermat para encontrar máximos para funciones y líneas tangentes a curvas.

Aunque no es la más antigua, la Arithmetica tiene el uso más conocido de la notación algebraica para resolver problemas aritméticos que proviene de la antigüedad griega, [6] [2] y algunos de sus problemas sirvieron de inspiración para matemáticos posteriores que trabajaron en análisis y teoría de números . [7] En el uso moderno, las ecuaciones diofánticas son ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros para las que se buscan soluciones enteras. La geometría diofántica y las aproximaciones diofánticas son otras dos subáreas de la teoría de números que llevan su nombre.

Biografía

Diofanto nació en una familia griega y se sabe que vivió en Alejandría , Egipto , durante la era romana , entre los años 200 y 214 d. C. y 284 o 298. [6] [8] [9] [a] Gran parte de nuestro conocimiento sobre la vida de Diofanto se deriva de una antología griega del siglo V de juegos numéricos y acertijos creada por Metrodoro . Uno de los problemas (a veces llamado su epitafio) dice:

Aquí yace Diofanto, contempla la maravilla. A través del arte algebraico, la piedra dice cuántos años tiene: 'Dios le dio de su niñez una sexta parte de su vida, una doceava parte más como joven mientras le crecían las patillas; y luego una séptima parte antes de que comenzara el matrimonio; a los cinco años llegó un nuevo hijo que rebosaba de vitalidad. ¡Ay!, el querido hijo del maestro y el sabio, después de alcanzar la mitad de la medida de la vida de su padre, el frío destino lo atrapó. Después de consolar su destino con la ciencia de los números durante cuatro años, terminó su vida.'

Este rompecabezas implica que la edad x de Diofanto se puede expresar como

x = ⁠incógnita/6⁠ + ⁠incógnita/12⁠ + ⁠incógnita/7+ 5 +incógnita/2+ 4

lo que da a x un valor de 84 años. Sin embargo, no se puede confirmar la exactitud de la información.

En la cultura popular, este rompecabezas era el rompecabezas n.° 142 en El profesor Layton y la caja de Pandora , ya que era uno de los rompecabezas más difíciles de resolver del juego y debía desbloquearse resolviendo otros rompecabezas primero.

Aritmética

Portada de la traducción latina de Arithmetica de Diofanto por Bachet (1621).

Arithmetica es la obra principal de Diofanto y la obra más destacada sobre álgebra premoderna en las matemáticas griegas. Es una colección de problemas que ofrecen soluciones numéricas tanto de ecuaciones determinadas como indeterminadas . De los trece libros originales de los que constaba Arithmetica , solo han sobrevivido seis, aunque hay quienes creen que cuatro libros árabes descubiertos en 1968 también son de Diofanto. [14] Se han encontrado algunos problemas diofánticos de Arithmetica en fuentes árabes.

Cabe mencionar aquí que Diofanto nunca utilizó métodos generales en sus soluciones. Hermann Hankel , renombrado matemático alemán, hizo la siguiente observación sobre Diofanto:

Nuestro autor (Diofantos) no encuentra el menor rastro de un método general y completo; cada problema requiere un método especial que no funciona ni siquiera en los problemas más relacionados. Por esta razón, es difícil para el erudito moderno resolver el problema 101 incluso después de haber estudiado 100 de las soluciones de Diofanto. [15]

Historia

Al igual que muchos otros tratados matemáticos griegos, Diofanto cayó en el olvido en Europa occidental durante la Edad Oscura , ya que el estudio del griego antiguo y la alfabetización en general habían declinado enormemente. Sin embargo, la parte de la Arithmetica griega que sobrevivió fue, como todos los textos griegos antiguos transmitidos al mundo moderno temprano, copiada por los eruditos bizantinos medievales y, por lo tanto, conocida por ellos. Los escolios sobre Diofanto del erudito griego bizantino Juan Chortasmenos (1370-1437) se conservan junto con un comentario completo escrito por el erudito griego anterior Maximos Planudes (1260-1305), quien produjo una edición de Diofanto dentro de la biblioteca del Monasterio de Chora en la Constantinopla bizantina . [16] Además, es probable que alguna parte de la Arithmetica sobreviviera en la tradición árabe (véase más arriba). En 1463, el matemático alemán Regiomontano escribió:

Nadie ha traducido aún del griego al latín los trece libros de Diofanto, en los que se esconde la flor y nata de toda la aritmética.

Arithmetica fue traducida por primera vez del griego al latín por Bombelli en 1570, pero la traducción nunca se publicó. Sin embargo, Bombelli tomó prestados muchos de los problemas para su propio libro Álgebra . La editio princeps de Arithmetica fue publicada en 1575 por Xylander . La traducción latina de Arithmetica por Bachet en 1621 se convirtió en la primera edición latina que estuvo ampliamente disponible. Pierre de Fermat tenía una copia, la estudió y tomó notas en los márgenes. Se dijo que una traducción latina posterior de 1895 por Paul Tannery era una mejora de Thomas L. Heath , quien la utilizó en la segunda edición de 1910 de su traducción al inglés.

Escritura marginal de Fermat y Chortasmenos

Problema II.8 de la Arithmetica (edición de 1670), anotado con el comentario de Fermat que se convirtió en el Último Teorema de Fermat .

La edición de 1621 de Arithmetica de Bachet ganó fama después de que Pierre de Fermat escribiera su famoso " Último teorema " en los márgenes de su copia:

Si un entero n es mayor que 2, entonces a n + b n = c n no tiene soluciones en los enteros distintos de cero a , b y c . Tengo una prueba verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener.

La prueba de Fermat nunca se encontró, y el problema de encontrar una prueba para el teorema quedó sin resolver durante siglos. Una prueba fue finalmente encontrada en 1994 por Andrew Wiles después de trabajar en ella durante siete años. Se cree que Fermat en realidad no tenía la prueba que afirmaba tener. Aunque la copia original en la que Fermat escribió esto se ha perdido hoy en día, el hijo de Fermat editó la siguiente edición de Diofanto, publicada en 1670. Aunque el texto es en todo lo demás inferior a la edición de 1621, las anotaciones de Fermat, incluido el "Último teorema", se imprimieron en esta versión.

Fermat no fue el primer matemático que se sintió impulsado a escribir en sus propias notas marginales a Diofanto; el erudito bizantino Juan Chortasmenos (1370-1437) había escrito "Tu alma, Diofanto, esté con Satanás debido a la dificultad de tus otros teoremas y particularmente del presente teorema" junto al mismo problema. [16]

Otras obras

Diofanto escribió varios otros libros además de Aritmética , pero sólo unos pocos de ellos han sobrevivido.

ElPorismos

El propio Diofanto hace referencia a una obra que consiste en una colección de lemas llamada Los Porismos (o Porismata ), pero este libro está completamente perdido. [17]

Aunque se ha perdido el Porismo , conocemos tres lemas que contiene, ya que Diofanto se refiere a ellos en la Aritmética . Un lema establece que la diferencia de los cubos de dos números racionales es igual a la suma de los cubos de otros dos números racionales, es decir, dados a y b cualesquiera , con a > b , existen c y d , todos positivos y racionales, tales que

a3 − b3 = c3 + d3 .​​​​

Números poligonales y elementos geométricos

También se sabe que Diofanto escribió sobre números poligonales , un tema de gran interés para Pitágoras y los pitagóricos . Se conservan fragmentos de un libro que trata sobre números poligonales. [18]

Tradicionalmente se ha atribuido a Herón de Alejandría un libro llamado Preliminares de los elementos geométricos . Recientemente, Wilbur Knorr lo ha estudiado y ha sugerido que la atribución a Herón es incorrecta y que el verdadero autor es Diofanto. [19]

Influencia

La obra de Diofanto ha tenido una gran influencia en la historia. Las ediciones de Aritmética ejercieron una profunda influencia en el desarrollo del álgebra en Europa a finales del siglo XVI y durante los siglos XVII y XVIII. Diofanto y sus obras también influyeron en las matemáticas árabes y fueron muy famosas entre los matemáticos árabes. La obra de Diofanto sentó las bases para el trabajo sobre álgebra y, de hecho, gran parte de las matemáticas avanzadas se basan en el álgebra. [20] En qué medida afectó a la India es un tema de debate.

Diofanto ha sido considerado "el padre del álgebra" debido a sus contribuciones a la teoría de números, notaciones matemáticas y el uso más antiguo conocido de notación sincopada en su serie de libros Arithmetica . [2] Sin embargo, esto suele debatirse, porque a Al-Khwarizmi también se le dio el título de "el padre del álgebra", sin embargo, ambos matemáticos fueron responsables de allanar el camino para el álgebra actual.

Análisis diofántico

Hoy en día, el análisis diofántico es el área de estudio donde se buscan soluciones enteras (números enteros) para ecuaciones, y las ecuaciones diofánticas son ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros para las que solo se buscan soluciones enteras. Por lo general, es bastante difícil decir si una ecuación diofántica dada es solucionable. La mayoría de los problemas en Arithmetica conducen a ecuaciones cuadráticas . Diofanto analizó 3 tipos diferentes de ecuaciones cuadráticas: ax 2 + bx = c , ax 2 = bx + c y ax 2 + c = bx . La razón por la que hubo tres casos para Diofanto, mientras que hoy tenemos solo un caso, es que no tenía ninguna noción de cero y evitó los coeficientes negativos al considerar que los números dados a , b , c eran todos positivos en cada uno de los tres casos anteriores. Diofanto siempre estaba satisfecho con una solución racional y no requería un número entero, lo que significa que aceptaba fracciones como soluciones a sus problemas. Diofanto consideraba que las soluciones de raíces cuadradas negativas o irracionales eran "inútiles", "sin sentido" e incluso "absurdas". Para dar un ejemplo específico, llama a la ecuación 4 = 4 x + 20 "absurda" porque conduciría a un valor negativo para x . Una solución era todo lo que buscaba en una ecuación cuadrática. No hay evidencia que sugiera que Diofanto siquiera se diera cuenta de que podría haber dos soluciones para una ecuación cuadrática. También consideró ecuaciones cuadráticas simultáneas .

Notación matemática

Diofanto realizó importantes avances en la notación matemática, convirtiéndose en la primera persona conocida en utilizar la notación algebraica y el simbolismo. Antes de él, todos escribían ecuaciones completas. Diofanto introdujo un simbolismo algebraico que utilizaba una notación abreviada para operaciones que ocurrían con frecuencia y una abreviatura para lo desconocido y para las potencias de lo desconocido. El historiador matemático Kurt Vogel afirma: [21]

El simbolismo que Diofanto introdujo por primera vez, y sin duda ideó él mismo, proporcionó un medio breve y fácilmente comprensible de expresar una ecuación... Dado que también se emplea una abreviatura para la palabra "igual", Diofanto dio un paso fundamental desde el álgebra verbal hacia el álgebra simbólica.

Aunque Diofanto hizo importantes avances en el simbolismo, todavía carecía de la notación necesaria para expresar métodos más generales. Esto hizo que su trabajo se centrara más en problemas particulares que en situaciones generales. Algunas de las limitaciones de la notación de Diofanto son que solo tenía notación para una incógnita y, cuando los problemas involucraban más de una incógnita, Diofanto se vio reducido a expresar "primera incógnita", "segunda incógnita", etc. en palabras. También carecía de un símbolo para un número general n . Donde escribiríamos ⁠12 + 6 n/n 2 − 3⁠ , Diofanto tiene que recurrir a construcciones como: "... un número séxtuple aumentado por doce, que se divide por la diferencia por la cual el cuadrado del número excede tres". El álgebra aún tenía un largo camino por recorrer antes de que los problemas muy generales pudieran escribirse y resolverse sucintamente.

Véase también

Notas

  1. ^ Ha habido varias teorías marginales sobre los orígenes de Diofanto. En tiempos modernos, algunos autores lo han descrito como posiblemente un árabe, un judío, un egipcio helenizado, [10] o un babilonio helenizado. [11] Algunos incluso han afirmado que Diofanto era un converso al cristianismo . Todas estas afirmaciones se consideran infundadas y especulativas. [12] [13] Estos conceptos erróneos sobre su origen se deben a confusiones (por ejemplo, con Diofanto el árabe ), fusión de diferentes eras históricas, transposiciones de problemas matemáticos en categorías étnicas y razones racialistas. [13]

Referencias

  1. ^ Griego antiguo : Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς , romanizado :  Diophantos ho Alexandreus
  2. ^ abc Carl B. Boyer, Una historia de las matemáticas, segunda edición (Wiley, 1991), página 228
  3. ^ ab Hettle, Cyrus (2015). "La influencia simbólica y matemática de la aritmética de Diofanto". Revista de Matemática Humanística . 5 (1): 139–166. doi : 10.5642/jhummath.201501.08 .
  4. ^ Christianidis, Jean; Megremi, Atanasia (2019). "Seguimiento de la historia temprana del álgebra: testimonios sobre Diofanto en el mundo de habla griega (siglos IV-VII d.C.)". Historia Matemática . 47 : 16–38. doi :10.1016/j.hm.2019.02.002.
  5. ^ Katz, Mikhail G .; Schaps, David; Shnider, Steve (2013), "Casi igual: el método de la igualdad desde Diofanto hasta Fermat y más allá", Perspectivas de la ciencia , 21 (3): 283–324, arXiv : 1210.7750 , Bibcode :2012arXiv1210.7750K, doi :10.1162/POSC_a_00101, S2CID  57569974
  6. ^ ab Research Machines plc. (2004). Diccionario Hutchinson de biografía científica . Abingdon, Oxon: Helicon Publishing. pág. 312. Diofanto (vivió c. 270-280 d. C.) Matemático griego que, al resolver problemas matemáticos lineales, desarrolló una forma temprana de álgebra.
  7. ' ^ D. Mary, R. Flamary, C. Theys y C. Aime (2016). Herramientas matemáticas para instrumentación y procesamiento de señales en astronomía, volumen 78-79, 2016.Serie de publicaciones de la EAS, págs. 73-98.Diofanto de Alejandría, matemático griego, conocido como el padre del álgebra. Estudió ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros y soluciones enteras, llamadas ecuaciones diofánticas.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  8. ^ Boyer, Carl B. (1991). "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas". Una historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc., pág. 178. ISBN 0-471-54397-7Al comienzo de este período, también conocido como la Edad Alejandrina Tardía, encontramos al principal algebrista griego, Diofanto de Alejandría, y hacia su final apareció el último geómetra griego significativo, Pappus de Alejandría .
  9. ^ Cooke, Roger (1997). "La naturaleza de las matemáticas". Historia de las matemáticas: un breve curso . Wiley-Interscience. pág. 7. ISBN 0-471-18082-3. En los escritos del matemático griego del siglo III Diofanto de Alejandría se produjo cierta ampliación en el ámbito en el que se utilizaban los símbolos, pero estaba presente el mismo defecto que en el caso de los acadios.
  10. ^ Victor J. Katz (1998). Una historia de las matemáticas: una introducción , pág. 184. Addison Wesley, ISBN 0-321-01618-1 . 

    "Pero lo que realmente queremos saber es hasta qué punto los matemáticos alejandrinos del período comprendido entre los siglos I y V d.C. eran griegos. Ciertamente, todos ellos escribieron en griego y formaban parte de la comunidad intelectual griega de Alejandría. Y la mayoría de los estudios modernos concluyen que la comunidad griega coexistió [...] Entonces, ¿debemos asumir que Ptolomeo y Diofanto, Pappus e Hipatia eran étnicamente griegos, que sus antepasados ​​habían venido de Grecia en algún momento del pasado pero habían permanecido efectivamente aislados de los egipcios? Por supuesto, es imposible responder a esta pregunta definitivamente. Pero la investigación en papiros que datan de los primeros siglos de la era común demuestra que tuvo lugar una cantidad significativa de matrimonios mixtos entre las comunidades griega y egipcia [...] Y se sabe que los contratos matrimoniales griegos se parecían cada vez más a los egipcios. Además, incluso desde la fundación de Alejandría, un pequeño número de egipcios fueron admitidos en las clases privilegiadas de la ciudad para cumplir numerosos roles cívicos. Por supuesto, era esencial en tales casos que los egipcios se "helenizaran", que adoptaran los hábitos griegos y la lengua griega. "Dado que los matemáticos alejandrinos mencionados aquí estuvieron activos varios cientos de años después de la fundación de la ciudad, parecería al menos igualmente posible que fueran étnicamente egipcios como que siguieran siendo étnicamente griegos. En cualquier caso, no es razonable retratarlos con rasgos puramente europeos cuando no existen descripciones físicas".

  11. ^ DM Burton (1991, 1995). Historia de las matemáticas , Dubuque, IA (Wm.C. Brown Publishers).

    "Lo más probable es que Diofanto fuera un babilonio helenizado".

  12. ↑ Ad Meskens, Travelling Mathematics: The Fate of Diophantos' Arithmetic (Springer, 2010), p. 48: "Desde 1500, más de mil años después de su muerte, varios autores han especulado sobre la vida de Diofanto, identificándolo como un árabe, un judío, un griego converso o un babilonio helenizado. Sin embargo, ninguna de estas caracterizaciones resiste el escrutinio crítico". n. 28: "Puede haber cierta confusión aquí con Diofanto el Árabe, maestro de Libanio, que vivió durante el reinado de Juliano el Apóstata".
  13. ^ ab Para un análisis y una refutación de estas afirmaciones, véase: Schappacher, Norbert (2005). Diofanto de Alejandría: un texto y su historia . Instituto de Investigación Matemática Avanzada.
  14. ^ J. Sesiano (1982). Libros IV a VII de la Arithmetica de Diofanto en la traducción árabe atribuida a Qusta ibn Luqa . Nueva York/Heidelberg/Berlín: Springer-Verlag. pag. 502.
  15. ^ Hankel H., “Geschichte der mathematic im altertum und mittelalter, Leipzig, 1874. (traducido al inglés por Ulrich Lirecht en Chinese Mathematics in the XIII Century, publicaciones de Dover, Nueva York, 1973.
  16. ^ ab Herrin, Judith (18 de marzo de 2013). Márgenes y metrópolis: autoridad en todo el Imperio bizantino. Princeton University Press. pág. 322. ISBN 978-1400845224.
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  18. ^ "Biografía de Diofanto". www-history.mcs.st-and.ac.uk . Consultado el 10 de abril de 2018 .
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  20. ^ Sesiano, Jacques. «Diophantus - Biography & Facts» (Diofanto: biografía y hechos). Britannica . Consultado el 23 de agosto de 2022 .
  21. ^ Kurt Vogel, "Diofanto de Alejandría". en Diccionario completo de biografía científica, Encyclopedia.com, 2008.

Fuentes

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  • Sesiano, Jacques. El texto árabe de los libros IV a VII de la traducción y comentario de Diofanto . Tesis. Providencia: Universidad de Brown, 1975.
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Lectura adicional

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  • Bashmakova, Izabella G. Diophantus and Diophantine Equations . Moscú: Nauka 1972 [en ruso]. Traducción al alemán: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basilea/ Stuttgart, 1974. Traducción al inglés: Diophantus and Diophantine Equations . Traducido por Abe Shenitzer con la asistencia editorial de Hardy Grant y actualizado por Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
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  • Heath, Sir Thomas (1981). Una historia de las matemáticas griegas. Vol. 2. Cambridge University Press: Cambridge.
  • Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture historique et mathématique , Berlín, Nueva York: Walter de Gruyter, 2013.
  • Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat , Berlín, Nueva York: Walter de Gruyter.
  • Vogel, Kurt (1970). "Diofanto de Alejandría". Diccionario de biografías científicas . Vol. 4. Nueva York: Scribner.
  • Medios relacionados con Diofanto en Wikimedia Commons
Wikiquote tiene citas relacionadas con Diofanto .
Wikisource tiene el texto del artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 " Diofanto ".
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