Continuo (teoría de conjuntos)

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el continuo significa los números reales , o el número cardinal (infinito) correspondiente , denotado por . ^{[1] [2]} Georg Cantor demostró que la cardinalidad es mayor que el infinito más pequeño, es decir, . También demostró que es igual a , la cardinalidad del conjunto potencia de los números naturales .${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$$estilo de visualización {\aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}\!}$

La cardinalidad del continuo es el tamaño del conjunto de números reales. La hipótesis del continuo se enuncia a veces diciendo que no existe ninguna cardinalidad entre la del continuo y la de los números naturales , , o alternativamente, que . ^[1]$estilo de visualización {\aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _ {1}}$

Según Raymond Wilder (1965), hay cuatro axiomas que convierten un conjunto C y la relación < en un continuo lineal :

• C simplemente se ordena con respecto a <.
• Si [ A,B ] es un corte de C , entonces A tiene un último elemento o B tiene un primer elemento. (compara el corte de Dedekind )
• Existe un subconjunto numerable no vacío S de C tal que, si x,y ∈ C tal que x < y , entonces existe z ∈ S tal que x < z < y . ( axioma de separabilidad )
• C no tiene primer ni último elemento. ( Axioma de ilimitación )

Estos axiomas caracterizan el tipo de orden de la recta de números reales .

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