Integral de superficie

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En matemáticas , particularmente en cálculo multivariable , una integral de superficie es una generalización de integrales múltiples para la integración sobre superficies . Puede considerarse como el análogo integral doble de la integral de línea . Dada una superficie, se puede integrar sobre esta superficie un campo escalar (es decir, una función de posición que devuelve un escalar como valor) o un campo vectorial (es decir, una función que devuelve un vector como valor). Si una región R no es plana, entonces se denomina superficie , como se muestra en la ilustración.

Las integrales de superficie tienen aplicaciones en física , particularmente en las teorías del electromagnetismo clásico .

Supongamos que f es un campo escalar, vectorial o tensorial definido en una superficie S . Para encontrar una fórmula explícita para la integral de superficie de f sobre S , necesitamos parametrizar S definiendo un sistema de coordenadas curvilíneas en S , como la latitud y la longitud en una esfera . Sea dicha parametrización r ( s , t ) , donde ( s , t ) varía en alguna región T en el plano . Entonces, la integral de superficie está dada por

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

donde la expresión entre las barras del lado derecho es la magnitud del producto vectorial de las derivadas parciales de r ( s , t ) , y se conoce como elemento de superficie (que, por ejemplo, produciría un valor menor cerca de los polos de una esfera, donde las líneas de longitud convergen de manera más dramática y las coordenadas latitudinales están espaciadas de manera más compacta). La integral de superficie también se puede expresar en la forma equivalente

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

donde g es el determinante de la primera forma fundamental de la aplicación de superficie r ( s , t ) . ^{[1] [2]}

Por ejemplo, si queremos encontrar el área de superficie de la gráfica de alguna función escalar, digamos z = f ( x , y ) , tenemos

${\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

donde r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . De modo que , y . Por lo tanto,${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

que es la fórmula estándar para el área de una superficie descrita de esta manera. Se puede reconocer el vector en la segunda última línea anterior como el vector normal a la superficie.

Debido a la presencia del producto vectorial, las fórmulas anteriores solo funcionan para superficies incrustadas en el espacio tridimensional.

Esto puede verse como la integración de una forma de volumen de Riemann en la superficie parametrizada, donde el tensor métrico está dado por la primera forma fundamental de la superficie.

Consideremos un campo vectorial v sobre una superficie S , es decir, para cada r = ( x , y , z ) en S , v ( r ) es un vector.

La integral de v sobre S se definió en la sección anterior. Supongamos ahora que se desea integrar únicamente el componente normal del campo vectorial sobre la superficie, siendo el resultado un escalar, generalmente llamado flujo que pasa por la superficie. Por ejemplo, imaginemos que tenemos un fluido que fluye a través de S , de modo que v ( r ) determina la velocidad del fluido en r . El flujo se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo.

Esta ilustración implica que si el campo vectorial es tangente a S en cada punto, entonces el flujo es cero porque el fluido simplemente fluye en paralelo a S , y ni hacia adentro ni hacia afuera. Esto también implica que si v no fluye simplemente a lo largo de S , es decir, si v tiene un componente tangencial y uno normal, entonces solo el componente normal contribuye al flujo. Con base en este razonamiento, para encontrar el flujo, necesitamos tomar el producto escalar de v con la normal de superficie unitaria n a S en cada punto, lo que nos dará un campo escalar, e integrar el campo obtenido como se indicó anteriormente. En otras palabras, tenemos que integrar v con respecto al elemento de superficie vectorial , que es el vector normal a S en el punto dado, cuya magnitud es${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s}$${\displaystyle \mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.}$

Encontramos la fórmula

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

El producto vectorial en el lado derecho de esta expresión es una normal de superficie (no necesariamente unitaria) determinada por la parametrización.

Esta fórmula define la integral de la izquierda (observe el punto y la notación vectorial para el elemento de superficie).

También podemos interpretar esto como un caso especial de integración de 2-formas, donde identificamos el campo vectorial con una 1-forma y luego integramos su dual de Hodge sobre la superficie. Esto es equivalente a integrar sobre la superficie sumergida, donde es la forma de volumen inducida en la superficie, obtenida por la multiplicación interior de la métrica de Riemann del espacio ambiente con la normal exterior de la superficie.${\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S}$${\displaystyle \mathrm {d} S}$

Dejar

${\displaystyle f=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\,f_{z}+\mathrm {d} y\mathrm {d} z\,f_{x}+\mathrm {d} z\mathrm {d} x\,f_{y}}$

sea ​​una 2-forma diferencial definida en una superficie S , y sea

${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$

sea ​​una parametrización que preserve la orientación de S con en D . Al cambiar las coordenadas de a , las formas diferenciales se transforman como${\displaystyle (s,t)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (s,t)}$

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Por lo tanto , se transforma en , donde denota el determinante del jacobiano de la función de transición de a . La transformación de las otras formas es similar.${\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\mathrm {d} t}$${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$${\displaystyle (s,t)}$${\displaystyle (x,y)}$

Entonces, la integral de superficie de f en S está dada por

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

dónde

${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

es el elemento de superficie normal a S.

Observemos que la integral de superficie de esta 2-forma es la misma que la integral de superficie del campo vectorial que tiene como componentes , y .${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{z}}$

Se pueden derivar varios resultados útiles para integrales de superficie utilizando geometría diferencial y cálculo vectorial , como el teorema de divergencia , el flujo magnético y su generalización, el teorema de Stokes .

Observemos que definimos la integral de superficie utilizando una parametrización de la superficie S . Sabemos que una superficie dada puede tener varias parametrizaciones. Por ejemplo, si movemos las ubicaciones del Polo Norte y el Polo Sur en una esfera, la latitud y la longitud cambian para todos los puntos de la esfera. Una pregunta natural es entonces si la definición de la integral de superficie depende de la parametrización elegida. Para las integrales de campos escalares, la respuesta a esta pregunta es simple: el valor de la integral de superficie será el mismo sin importar qué parametrización se utilice.

En el caso de las integrales de campos vectoriales, las cosas son más complicadas porque interviene la normal de superficie. Se puede demostrar que, dadas dos parametrizaciones de la misma superficie, cuyas normales de superficie apuntan en la misma dirección, se obtiene el mismo valor para la integral de superficie con ambas parametrizaciones. Sin embargo, si las normales de estas parametrizaciones apuntan en direcciones opuestas, el valor de la integral de superficie obtenida utilizando una parametrización es el negativo de la obtenida mediante la otra parametrización. De ello se deduce que, dada una superficie, no es necesario ceñirse a ninguna parametrización única, pero, al integrar campos vectoriales, sí es necesario decidir de antemano en qué dirección apuntará la normal y, a continuación, elegir cualquier parametrización coherente con esa dirección.

Otro problema es que a veces las superficies no tienen parametrizaciones que cubran toda la superficie. La solución obvia es dividir esa superficie en varias partes, calcular la integral de superficie en cada parte y luego sumarlas todas. De hecho, así es como funcionan las cosas, pero al integrar campos vectoriales, uno debe tener cuidado de nuevo con la forma en que elige el vector que apunta a la normal para cada parte de la superficie, de modo que cuando las partes se vuelvan a unir, los resultados sean consistentes. Para el cilindro, esto significa que si decidimos que para la región lateral la normal apuntará hacia afuera del cuerpo, entonces para las partes circulares superior e inferior, la normal también debe apuntar hacia afuera del cuerpo.

Por último, existen superficies que no admiten una normal a la superficie en cada punto con resultados consistentes (por ejemplo, la banda de Möbius ). Si se divide dicha superficie en partes, se elige en cada parte una parametrización y la normal a la superficie correspondiente, y se vuelven a unir las partes, se encontrará que los vectores normales que provienen de diferentes partes no se pueden conciliar. Esto significa que en alguna unión entre dos partes tendremos vectores normales que apuntan en direcciones opuestas. Una superficie de este tipo se llama no orientable y en este tipo de superficie no se puede hablar de campos vectoriales integradores.

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• Integral de superficie — de MathWorld
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