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En matemáticas —más específicamente, en geometría diferencial— el isomorfismo musical ( o isomorfismo canónico ) es un isomorfismo entre el fibrado tangente y el fibrado cotangente de una variedad riemanniana o pseudoriemanniana inducido por su tensor métrico . Existen isomorfismos similares en variedades simplécticas . El término musical se refiere al uso de los símbolos de notación musical (bemol) y (sostenido) . [1] [2]
En la notación del cálculo de Ricci , la idea se expresa como elevación y disminución de índices .
En ciertas aplicaciones especializadas, como en las variedades de Poisson , la relación puede no ser un isomorfismo en puntos singulares y, por lo tanto, para estos casos, técnicamente es solo un homomorfismo.
En álgebra lineal , un espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual , pero no canónicamente isomorfo a él. Por otra parte, un espacio vectorial de dimensión finita dotado de una forma bilineal no degenerada , es canónicamente isomorfo a su dual. El isomorfismo canónico está dado por
La no degeneración de significa exactamente que el mapa anterior es un isomorfismo.
Un ejemplo es donde , y es el producto escalar .
Los isomorfismos musicales son la versión global de este isomorfismo y su inverso para el fibrado tangente y fibrado cotangente de una variedad (pseudo-)riemanniana . Son isomorfismos canónicos de fibrados vectoriales que son en cualquier punto p el isomorfismo anterior aplicado al espacio tangente de M en p dotado del producto interno .
Dado que cada variedad paracompacta puede estar (no canónicamente) dotada de una métrica riemanniana, los isomorfismos musicales muestran que un fibrado vectorial en una variedad paracompacta es (no canónicamente) isomorfo a su dual.
Sea ( M , g ) una variedad (pseudo-)riemanniana. En cada punto p , la función g p es una forma bilineal no degenerada en el espacio tangente T p M . Si v es un vector en T p M , su plano es el covector
En T*
pág.M . Como se trata de una función suavizada que conserva el punto p , define un morfismo de fibrados vectoriales suavizados . Por no degeneración de la métrica,tiene una inversaen cada punto, caracterizada por
para α en T*
pág.M y v en T p M . El vectorse llama agudo de α . El mapa agudo es un mapa de fibrado suave.
Plano y agudo son isomorfismos mutuamente inversos de fibrados vectoriales suaves, por lo tanto, para cada p en M , existen isomorfismos de espacio vectorial mutuamente inversos entre T p M y T*
pág.METRO .
Las funciones planas y nítidas se pueden aplicar a campos vectoriales y covectoriales aplicándolas a cada punto. Por lo tanto, si X es un campo vectorial y ω es un campo covectorial,
y
Supóngase que { e i } es un sistema tangente móvil (véase también sistema liso ) para el fibrado tangente T M con, como sistema dual (véase también base dual ), el cosistema móvil (un sistema tangente móvil para el fibrado cotangente ; véase también cosistema ) { e i } . Entonces la métrica pseudo-riemanniana , que es un campo tensorial 2 -covariante simétrico y no degenerado, se puede escribir localmente en términos de este cosistema como g = g ij e i ⊗ e j utilizando la notación de suma de Einstein .
Dado un campo vectorial X = X i e i y denotando g ij X i = X j , su plano es
A esto se le llama bajar un índice .
De la misma manera, dado un campo covectorial ω = ω i e i y denotando g ij ω i = ω j , su agudo es
donde g ij son los componentes del tensor métrico inverso (dado por las entradas de la matriz inversa a g ij ). Tomar el valor sostenido de un campo covectorial se denomina elevar un índice .
Los isomorfismos musicales también pueden extenderse a los haces.
Se debe indicar qué índice se va a aumentar o disminuir. Por ejemplo, considere el campo tensorial (0, 2) X = X ij e i ⊗ e j . Al aumentar el segundo índice, obtenemos el campo tensorial (1, 1)
En el contexto del álgebra exterior , se puede definir una extensión de los operadores musicales en ⋀ V y su dual ⋀∗
V , que con un pequeño abuso de notación pueden denotarse como iguales, y son nuevamente inversas mutuas: [3]
definidas por
En esta extensión, en la que ♭ asigna p -vectores a p -covectores y ♯ asigna p -covectores a p -vectores, todos los índices de un tensor totalmente antisimétrico se elevan o bajan simultáneamente, por lo que no es necesario indicar ningún índice:
De manera más general, siempre existen isomorfismos musicales entre un fibrado vectorial dotado de una métrica de fibrado y su dual.
Dado un campo tensorial de tipo (0, 2) X = X ij e i ⊗ e j , definimos la traza de X a través del tensor métrico g por
Obsérvese que la definición de traza es independiente de la elección del índice a elevar, ya que el tensor métrico es simétrico.